东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项.
1.已知集合 ， ，那么 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求得集合 ，结合集合的交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合 ，结合集合交集
的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2.复数 在复平面内的对应点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第四象
限
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.
【详解】 ，对应点为 ，在第三象限.
故答案选 B
【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.
{ }| 1A x x= ≤ { | ( 2)( 1) 0}B x x x= − + < A B =
{ }| 1 2x x− < < { }| 1 1x x− ≤ <
{ }|1 2x x≤ < { }| 1 1x x− < ≤
{ | 1 2}B x x= − < <
{ | ( 2)( 1) 0} { | 1 2}B x x x x x= − + < = − < <
A B = { }| 1 1x x− < ≤
B
( 1)z i i= −
1 iz = − − ( 1, 1)− −3.下列函数中，是偶函数，且在区间 上单调递增的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，对于 A 中，函数 ，所以函数为奇函数，不符合题意；
对于 B 中，函数 满足 ，所以函数为偶函数，
当 时，函数 为 上的单调递增函数，符合题意；
对于 C 中，函数 为非奇非偶函数，不符合题意；
对于 D 中， 为偶函数，当 时，函数 为单调递减函数，不符合题意，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数
的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证
能力，属于基础题.
4.设 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数 为单调递增函数，结合充分条件和必要条件 判定方法，即可求解.
【详解】由题意，函数 为单调递增函数，
当 时，可得 ，即 成立，
的
( )0, ∞+
1y x
= ln | |y x= 2xy =
1 | |y x= −
( ) ( )1f x f xx
− = − = −
( ) ln | |f x x= ( ) ( )ln | | ln | |f x x x f x− = − = =
0x > lny x= ( )0, ∞+
2xy =
1 | |y x= − 0x > 1y x= −
,a b 0a b> > a bπ π>
( ) xf x π=
( ) xf x π=
0a b> > ( ) ( )f a f b> a bπ π>当 ，即 时，可得 ，所以 不一定成立，
所以“ ”是“ ”的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟
记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查
了推理与论证能力，属于中档题.
5.设 ， 是两个不同的平面， 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，对于 A 中，若 ， ，则 或 ，所以不正确；
对于 C 中，若 ， ，则 与 可能平行，相交或在平面 内，所以不正确；
对于 D 中，若 ， ， ，则 与 平行、相交或异面，所以不正确；
对于 B 中，若 ， ， ，，根据线面垂直的性质，可证得 成立，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定
定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
6.从数字 1，2，3，4，5 中，取出 3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于
6，这样的三位数的个数为（ ）
A. 7 B. 9 C. 10 D. 13
【答案】C
【解析】
a bπ π> ( ) ( )f a f b> a b> 0a b> >
0a b> > a bπ π>
α β ,m n
m α⊥ m n⊥ / /n α α β⊥ m α⊥ n β⊥
m n⊥
/ /n α m n⊥ m α⊥ / /α β m α⊂ n β⊂
//m n
m α⊥ m n⊥ / /n α n ⊂ α
/ /n α m n⊥ m α α
/ /α β m α⊂ n β⊂ m n
α β⊥ m α⊥ n β⊥ m n⊥【分析】
由题意，把问题分为三类：当三个数分别为 ， ， 三种情况，结合排列、组
合和计数原理，即可求解.
【详解】从数字 1，2，3，4，5 中，取出 3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之
和等于 6，
可分为三类情况：
（1）当三个数为 时，共有 种排法；
（2）当三个数为 时，共有 种排法；
（3）当三个数为 时，只有 1 中排法，
由分类计数原理可得，共有 种不同排法，即这样的数共有 10 个.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，
结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7.设 ， 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）
A 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】A
【解析】
【分析】
结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案.
【详解】对于 A 中，因为 ，则
又由 ，
所以 是正确的；
对于 B 中，例如 ，此时 ，
所以 不一定成立，所以不正确；
1,1,4 1,2,3 2,2,2
1,1,4 1
3 3C =
1,2,3 3
3 6A =
2,2,2
3 6 1 10+ + =
α β
2
πα β+ < sin sin 2α β+ <
2
πα β+ < cos cos 2α β+ <
2
πα β+ > sin sin 1α β+ >
2
πα β+ > cos cos 1α β+ >
2
πα β+ < 0 ,2 4 4 2 4
α β π π α β π+ −< < − < <
sin sin 2sin cos 2sin cos 2 cos 22 2 4 2 2
α β α β π α β α βα β + − − −+ = < = ≤
sin sin 2α β+ <
,6 6
π πα β= = cos cos 3 26 6
π π+ = >
cos cos 2α β+ 5 ,6 12
π πα β= =
5
6 1
1 6 2sin sin 2 12 4
π π −+ = + <
sin sin 1α β+ >
2
πα β+ > 2 ,3 6
π πα β= = 1 3cos c2
3 os 16 2 2
π π+ = − + <
cos cos 1α β+ >
α
Dandelin
α α
α
1 2 4O O = 3
α【分析】
设圆柱的底面半径为 ，根据题意分别求得 ， ， ，结合椭圆
的结合性质，即可求解.
【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，
设圆柱的底面半径为 ，根据题意可得椭圆的短轴长为 ，即 ，
长轴长为 ，即 ，
在直角 中，可得 ，即 ，
又由 ，
即 ，所以 ，
又因为椭圆中 ，所以 ，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；
由 ，可得 ，又由球的半径为 ，即 ，
在直角 中， ，
由①可知，即 ，所以 ，即椭圆的焦距为 2，所以②是正确的；
由①可得 ， ，所以椭圆的离心率为 ，
所以当当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，
以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档
试题.
R b R=
sin
Ra α=
tan
ROC α=
R 2 2b R= b R=
22 sin
Ra α=
sin
Ra α=
1O OC∆ 1 tanO C
OC
α= 1
tan tan
O C ROC α α= =
2 2
2 2 2 2
2 2 2
11tan tan sin
R ROC b R Rα α α
+ = + = + =
2 2 2OC b a+ = 2 2 2OC a b= −
2 2 2c a b= − OC c=
1 2 4O O = 1 2O O = 3 3R =
1O OC∆ 2 2 2 2 2
1 2 ( 3) 1OC OO R= − = − =
1c = 2 2c =
sin
Ra α=
tan
Rc α= sintan costan
sin
R
ce Ra
αα αα
α
= = = =
α第二部分（非选择题共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9.若双曲线 与 有相同的焦点，则实数 _________.
【答案】4
【解析】
【分析】
结合双曲线的几何性质，得到 ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，双曲线 与 有相同的焦点，
可得 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线
的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
10.已知 是各项均为正的等比数列， 为其前 项和，若 ， ，则公
比 ________， _________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式，得到 ，求得 再由等比数列的前 项和公式，
求得 ，得到答案.
【详解】由题意，在数列 是各项均为正的等比数列，
因为 ， ，可得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又由等比数列的前 项和公式，可得 .
2
2 1x ym
− =
2 2
13 2
x y− = m =
1 3 2m + = +
2
2 1x ym
− =
2 2
13 2
x y− =
1 3 2m + = + 4m =
4
{ }na nS n 1 6a = 2 32 6a a+ =
q =
4S =
1
2
45
4
22 1 0q q+ − = 1
2q = n
4S
{ }na
1 6a = 2 32 6a a+ = 2 2
1 12 6 12 6a q a q q q+ = + =
22 1 0q q+ − = 1
2q = 1q = −
n
4
4
16 [1 ( ) ] 452
1 41 2
S
⋅ −
= =
−故答案为： ， .
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，以及等比数列前 项和公式的应用，其中解
答中熟练等比数列的通项公式和前 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与
运算能力，属于基础题.
11.能说明“直线 与圆 有两个不同的交点”是真命题的
一个 的值为______.
【答案】0
【解析】
【分析】
根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径，得到 ，求得
的取值范围，即可求解.
【详解】由题意，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
若直线 与圆 有两个不同的交点，
则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ，解得 ，
所以命题为真命题的一个 的值为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，
列出不等式求得 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
12.在平行四边形 中，已知 ， ， ，则四边形
的面积是_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
由 ，根据向量的线性运算，得到 ，进而得到四边形
是菱形，即可求得四边形的面积，得到答案.
1
2
45
4
n
n
0x y m− + = 2 2 4 2 0x y x y+ + − =
m
2 2
3 5
1 ( 1)
m− + <
+ − m
2 2 4 2 0x y x y+ + − = ( 2,1)− 5r =
0x y m− + = 2 2 4 2 0x y x y+ + − =
2 2
3 5
1 ( 1)
m− + <
+ − 3 10 3 10m− < < +
m 0
0
m
ABCD AB AC AC AD⋅ = ⋅ | | 4AC = | | 2BD =
ABCD
AB AC AC AD⋅ = ⋅ AC BD⊥ ABCD【详解】由题意，在平行四边形 中， ，
可得 ，所以
所以四边形 是菱形，
又由 ， ，所以面积为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算，
其中解答熟练应用向量的减法运算公式，以及向量的数量积的公式，求得四边形为菱形是解
答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13.已知函数 ，曲线 与直线 相交，若存在相
邻两个交点间的距离为 ，则 的所有可能值为__________．
【答案】2 或 10
【解析】
【分析】
令 ，解得 或 ，
根据存在相邻两个交点间的距离为 ，得到 或 ，即可求
解，得到答案.
【详解】由题意，函数 ，曲线 与直线 相交，
令 ，即 ，
解得 或 ，
由题意存在相邻两个交点间的距离为 ，结合正弦函数的图象与性质，
可得 ，令 ，可得 ，解得 .
或 ，令 ，可得 ，解得 .
故答案为： 或 .
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角方程的求解，其中解答中
熟练应用三角函数的图象与性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算
ABCD AB AC AC AD⋅ = ⋅
( ) 0AB AC AC AD AB AC BD⋅ = ⋅ − = ⋅ = AC BD⊥
ABCD
| | 4AC = | | 2BD = 1 4 2 42S = × × =
4
( ) 2sin( )( 0)f x xω ϕ ω= + > ( )y f x= 3y =
6
π ω
2sin( ) 3xω ϕ+ = 2 ,3x k k Z
πω ϕ π+ = + ∈ 22 ,3x k k Z
πω ϕ π+ = + ∈
6
π
2 1 3 6x x w
π π− = = 2 1
5
3 6x x w
π π− = =
( ) 2sin( )( 0)f x xω ϕ ω= + > ( )y f x= 3y =
2sin( ) 3xω ϕ+ = 3sin( ) 2xω ϕ+ =
2 ,3x k k Z
πω ϕ π+ = + ∈ 22 ,3x k k Z
πω ϕ π+ = + ∈
6
π
2 1
2 2 ( ),3 3 k w x x k Z
π π π− + = − ∈ 0k = 2 1 3 6x x w
π π− = = 2w =
2 1
7 2 2 ( ),3 3 k w x x k Z
π π π− + = − ∈ 0k = 2 1
5
3 6x x w
π π− = = 10w =
2 10鞥能力，属于中档试题.
14.将初始温度为 的物体放在室温恒定为 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，
将第 次测量得到的物体温度记为 ，已知 .已知物体温度的变化与实验室和物体
温度差成正比（比例系数为 ）.给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合
理模型为__________：（填写模型对应的序号）
① ；② ；③ .
在上述模型下，设物体温度从 升到 所需时间为 ，从 上升到 所
需时间为 ，从 上升到 所需时间为 ，那么 与 的大小关系是
________（用“ ”，“ ”或“ ”号填空）
【答案】 (1). ② (2).
【解析】
【分析】
由 温 度 的 变 化 与 实 验 室 和 物 体 温 度 差 成 正 比 （ 比 例 系 数 为 ），即 可 得 到
，再根据函数模型，分别求得 的值，结合作差比较，即可得到答案.
【详解】由题意，将第 次测量得到的物体温度记为 ，则两次的体温变化为 ，
又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为 ），所以
，
当物体温度从 升到 所需时间为 ，可得 ，可得 ，
当物体温度从 上升到 所需时间为 ，可得 ，可得
，
当物体温度从 上升到 所需时间为 ，可得 ，可得 ，
可是 ，
又由 ，
0 C° 30 C°
n nt 1 0t C= °
k
1 30n n
n
kt t t+ − = − ( )1 30n n nt t k t+ − = − ( )1 30n nt k t+ = −
5 C° 10 C° mina 10 C° 15 C°
minb 15 C° 20 C° minC a
b
b
c
> = <
>
k
( )1 30n n nt t k t+ − = − k
n nt 1n nt t+ −
k
( )1 30n n nt t k t+ − = −
5 C° 10 C° mina ( )10 5 30 5k− = − 5 1
25 5k = =
10 C° 15 C° minb ( )15 10 30 10k− = −
1
4k =
15 C° 20 C° minc ( )20 15 30 15k− = − 1
3k =
1 1 1, , , 05 4 3a m b m c m m= = = >
2 2 2
2
2
1 1 1 1 1 1 1( )5 3 4 15 16 15 16 01 1 1 1
4 3 12 12
b
c
m m m m ma ac b
b bc m m m
× − − −−− = = = = >
×即 与 的大小关系是 .
故答案为：② ，
【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择，以及实际应用问题的求解，其中解答中认真审
题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的
能力，属于中档试题.
三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在 中，已知 .
（1）求 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理可得 ，求得 ，即可
求解 的大小；
（2）由正弦定理，可得 ，得到 ，进而得到 ，
结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）因 ，由正弦定理可得
，
又因为 ，所以 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
（2）由正弦定理，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
所以 的面积 .
为
a
b
b
c
a
b
> b
c
>
ABC∆ sin 3 cos 0c A a C+ =
C∠
2b = 2 3c = ABC∆
2
3C
π∠ = 3
sin sin 3 cos sin 0C A C A+ = sin 3 cos 0C C+ =
C∠
1sin 2B =
6B
π∠ =
6A B C
ππ∠ = − ∠ − ∠ =
sin 3 cos 0c A a C+ =
sin sin 3 cos sin 0C A C A+ =
(0, )A π∈ sin 0A > sin 3 cos 0C C+ = tan 3C = −
0 C π< < 2
3C
π∠ =
32sin 12sin 22 3
b CB c
×
= = =
0 3B
π< <
6B
π∠ =
6A B C
ππ∠ = − ∠ − ∠ =
ABC∆ 1 1 1sin 2 2 3 32 2 2S bc A= = × × × =【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三
角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解
是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
16.2019 年 6 月，国内的 运营牌照开始发放.从 到 ，我们国家的移动通信业务用了
不到 20 年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对 的消费
意愿，2019 年 8 月，从某地在校大学生中随机抽取了 1000 人进行调查，样本中各类用户分
布情况如下：
用户分类 预计升级到 的时段 人数
早期体验用户 2019 年 8 月至 2019 年 12 月 270 人
中期跟随用户 2020 年 1 月至 202l 年 12 月 530 人
后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人
我们将大学生升级 时间的早晚与大学生愿意为 套餐支付更多的费用作比较，可得出
下图的关系（例如早期体验用户中愿意为 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的
）.
（1）从该地高校大学生中随机抽取 1 人，估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到
的概率；
5G 2G 5G
5G
5G
5G 5G
5G
40%
5G（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人，以 表示这 2 人中愿意为
升级 多支付 10 元或 10 元以上的人数，求 的分布列和数学期望；
（3）2019 年底，从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 套餐，能否
认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由.
【答案】（1） （2）详见解析（3）事件 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所
以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析
【解析】
【分析】
（1）由从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到 ，结合
古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）由题意 的所有可能值为 ，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应
的概率，得到随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.
（3）设事件 为“从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 套餐”，得
到七概率为 ，即可得到结论.
【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之前
升级到 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即 .
（2）由题意 的所有可能值为 ，
记事件 “从早期体验用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 多支付 10 元或 10 元
以上”，
事件 为“从中期跟随用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 多支付 10 元或 10 元以
上”，
由题意可知，事件 ， 相互独立，且 ， ，
所以 ，
，
，
所以 的分布列为
为
X
5G X
5G
0.8 D
5G
X 0,1,2
D 5G
( )P D
5G 270 530 0.81000
+ =
X 0,1,2
A 5G
B 5G
A B ( ) 1 40% 0.6P A = − = ( ) 1 45% 0.55P B = − =
( 0) ( ) (1 0.6)(1 0.55) 0.18P X P AB= = = − − =
( 1) ( ) ( ) ( )P X P AB AB P AB P AB= = + = + ( )(1 ( )) (1 ( ) ( )P A P B P A P B= − + −
0.6 (1 0.55) (1 0.6) 0.55= × − + − × 0.49=
( 2) ( ) 0.6 0.55 0.33P X P AB= = = × =
X0 1 2
0.18 0.49 0.33
故 的数学期望 .
（3）设事件 为“从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 套餐”，那
么 .
回答一：事件 虽然发生概率小，但是发生可能性为 0.02，所以认为早期体验用户没有发
生变化.
回答二：事件 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加.
【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型
随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散
型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量
概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
17.如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，
.
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的大小；
（3）点 在线段 上，且 ，点 在线段 上，若 平面
X
P
X ( ) 0 0.18 1 0.49 2 0.33 1.15E X = × + × + × =
D 5G
3
270
3
1000
( ) 0.02CP D C
= ≈
D
D
1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ ABC AB BC⊥
1 2AA AB BC= = =
1BC ⊥ 1 1A B C
1B C 1A B
M 1B C 1
1
( (0,1))B M
B C
λ λ= ∈ N 1A B MN∥，求 的值（用含 的代数式表示）.
【答案】（1）证明见解析（2） （3）
【解析】
【分析】
（1）根据三棱柱 的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得 平面
，得到 ，再利用线面垂直的判定定理，即可证得 平面 ；
（2）由（1）得到 ，建立空间直角坐标系 ，求得向量 ，利用向
量的夹角公式，即可求解.
（3）由 ，得 ，设 ，得 ，求得向
量 的坐标，结合 平面 ，利用 ，即可求解.
【详解】（1）在三棱柱 中，由 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，交线为 .
又因为 ，所以 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以
又因为 ，所以 ，
又 ，所以 平面 .
（2）由（1）知 底面 ， ，如图建立空间直角坐标系 ，
1 1A ACC 1
1
A N
A B
λ
3
π
1 λ−
1 1 1ABC A B C− 1 1A B ⊥
1 1B BCC 1 1 1A B BC⊥ 1BC ⊥ 1 1A B C
AB BC⊥ B xyz−
1 1,B C A B
1
1
B M
B C
λ= (2 ,0,2 2 )M λ λ− 1
1
A N
A B
µ= (0,2 2 ,2 2 )N µ µ− −
MN / /MN 1 1A ACC 0MN n⋅ =
1 1 1ABC A B C− 1BB ⊥ ABC 1BB ⊥ 1 1 1A B C
1BB ⊂ 1 1B BCC 1 1B BCC ⊥ 1 1 1A B C 1 1B C
AB BC⊥ 1 1 1 1A B B C⊥ 1 1A B ⊥ 1 1B BCC
1BC ⊂ 1 1B BCC 1 1 1A B BC⊥
1 2BB BC= = 1 1B C BC⊥
1 1 1 1A B B C B= 1BC ⊥ 1 1A B C
1BB ⊥ ABC AB BC⊥ B xyz−由题意得 ， ， ， .
所以 ， .
所以 .
故异面直线 与 所成角的大小为 .
（3）易知平面 的一个法向量 ，
由 ，得 .
设 ，得 ，则
因为 平面 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间
想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理
( )0,0,0B ( )2,0,0C ( )1 0,2,2A ( )1 0,0,2B
( )1 2,0, 2B C = − ( )1 0, 2, 2A B = − −
( ) 1 1
1 1
1 1
1cos , 2| || |
A B B CA B B C
BA B C
⋅= =
1B C 1A B 3
π
1 1A ACC ( )1,1,0n =
1
1
B M
B C
λ= (2 ,0,2 2 )M λ λ−
1
1
A N
A B
µ= (0,2 2 ,2 2 )N µ µ− − ( 2 ,2 2 ,2 2 )MN λ µ λ µ= − − −
/ /MN 1 1A ACC 0MN n⋅ =
( 2 ,2 2 ,2 2 ) (1,1,0) 0λ µ λ µ− − − ⋅ = 1µ λ= − 1
1
1A N
A B
λ= −是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，
通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
18.已知函数 .
（1）若 在 时，有极值，求 的值；
（2）在直线 上是否存在点 ，使得过点 至少有两条直线与曲线 相切？若
存在，求出 点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1） （2）不存在，详见解析
【解析】
【分析】
（1）求得 ，根据函数 在 取得极值，即可求解；
（2）不妨设点 ，设过点 与 相切的直线为 ，切点为 ，求得切线
方程，根据直线 过 ，转化为 ，设函
数 ，转化为 在区间 上单调递增，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数 ，则 ，
由 在 时，有极值，可得 ，
解得 .
经检验， 时， 有极值.
综上可得 .
（2）不妨设在直线 上存在一点 ，
设过点 与 相切的直线为 ，切点为 ，
则切线 方程为 ，
又直线 过 ，有 ，
即 ，
设 ，则 ，
3 21( ) 3 ( )3f x x x ax a= − − ∈R
( )f x 1x = − a
1x = P P ( )y f x=
P
1a = −
2( ) 2 3f x x x a′ = − + ( )f x 1x = −
( )1,P b P ( )y f x= l ( )0 0,x y
l ( )1,P b ( )( )3 2 2
0 0 0 0 0 0
1 3 2 3 13b x x ax x x a x− + − = − + −
3 22( ) 2 2 33g x x x x a b= − + − + ( )g x ( ),−∞ +∞
3 21( ) 33f x x x ax= − + 2( ) 2 3f x x x a′ = − +
( )f x 1x = − ( 1) 1 2 3 0f a′ − = + + =
1a = −
1a = − ( )f x
1a = −
1x = ( )1,P b
P ( )y f x= l ( )0 0,x y
l ( )( )3 2 2
0 0 0 0 0 0
1 3 2 33y x x x x x a x xα− + − = − + −
l ( )1,P b ( )( )3 2 2
0 0 0 0 0 0
1 3 2 3 13b x x ax x x a x− + − = − + −
3 2
00 0
2 2 2 3 03 x x x a b− + − + =
3 22( ) 2 2 33g x x x x a b= − + − + 2 2( ) 2 4 2 2( 1) 0g x x x x′ = − + = − ≥所以 在区间 上单调递增，所以 至多有一个解，
过点 与 相切的直线至多有一条，
故在直线 上不存在点 ，使得过 至少有两条直线与曲线 相切.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关
系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．
19.已知椭圆 的离心率是 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 作斜率为 的直线 ，交椭圆 于
两点，直线 ， 分别交 轴于不同的两点 .如果 为锐角，求 的取值范
围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由题意，列出方程组，求得 ，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量
【详解】（1）由题意，椭圆 的离心率是 ，
可得 解得 ，所以椭圆 的方程为 .
（2）由已知直线 的斜率不为 0，
设直线 的方程为 ，直线 与椭圆 的交点为 ， .
( )g x ( ),−∞ +∞ ( ) 0g x =
P ( )y f x=
1x = P P ( )y f x=
2
2
2: 1( 1)xC y aa
+ = > 2
2
C
1F 2F C 2F k l C ,A B
1F A 1F B y ,M N 1MF N∠ k
2
2 12
x y+ = 7 2 2 7, ,0 0, ,7 4 4 7
−∞ − ∪ − ∪ ∪ +∞
2 2a =
l ( )1y k x= −
2
2
2: 1( 1)xC y aa
+ = > 2
2
2
2 2 2
2
2
1
c
a
b
a b c
=
=
= +
2 2a = C
2
2 12
x y+ =
l
l ( )1y k x= − l C ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y由 得 .
由已知，判别式 恒成立，且 ， .①
直线 的方程为 ，令 ，则 .
同理可得 .
所以
将①代入并化简，得
.
依题意，角 为锐角，所以 ，即 .
解得 或 .
综上，直线 的斜率的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,
解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的
关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生
的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
20.已知数列 ，记集合 .
（1）对于数列 ，写出集合 ；
（2）若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的
2
2
( 1)
12
y k x
x y
= − + =
( )2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k+ − + − =
> 0∆
2
1 2 2
4
2 1
kx x k+ = +
2
1 2 2
2 2
2 1
kx x k
−= +
1F A 1
1
( 1)1
yy xx
= ++ 0x = 1
1
0, 1
yM x
+
2
2
0, 1
yN x
+
( )( )
( )( )
( )( )
2
1 21 2
1 1
1 2 1 2
1 11 11 1 1 1
k x xy yF M F N x x x x
− −⋅ = + = ++ + + +
( ) ( ) ( )( )2 2 22
1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 11
1 1 1
k x x k x x kk x x x x
x x x x x x x x
+ + − + + + − + + = + =+ + + + + +
2
1 1 2
7 1
8 1
kF M F N k
−⋅ = −
1MF N∠
1 1 0F M F N⋅ > 2
1 1 2
7 1 08 1
kF M F N k
−⋅ = >−
2 1
7k > 2 1
8k <
l 7 2 2 7, ,0 0, ,7 4 4 7
−∞ − ∪ − ∪ ∪ +∞
{ }na { }*
1( , ) | ( , ) ,1 , ,i i jT S i j S i j a a a i j i j+= = + + + < ∈N
{ }:1,2,3,4na T
2na n= *,i j N∈ ( ), 1024S i j =；若不存在，说明理由.
（3）若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为
，若 ，求 的最大值.
【答案】（1） （2）不存在 ，使得 成立.(3)详见
解析
【解析】
【分析】
（1）根据集合的定义 ，即可求
解；
（2）假设存在 ，使得 ，得到 ，根据 与
奇偶性相同，所以 与 奇偶性不同，进而得到结论.
（3）若 ，使得 ，得到
不成立，结合数学归纳法，把数列 ，转化为数列
，其相应集合 中满足 有多少项，即可得到结论.
【详解】（1）由题意，集合 ，
可得 .
（2）假设存在 ，使得 ，
则有 ，
由于 与 奇偶性相同，所以 与 奇偶性不同.
又因为 ， ，所以 1024 必有大于等于 3 的奇数因子，
这与 1024 无 1 以外的奇数因子矛盾.
故不存 ，使得 成立.
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ， .
在
,i j
2 2na n= − T
1 2: , , ,nB b b b 2020mb ≤ m
{3,5,6,7,9,10}T = *,i j N∈ ( ), 1024S i j =
{ }*
1( , ) | ( , ) ,1 , ,i i jT S i j S i j a a a i j i j+= = + + + < ∈N
*,i j N∈ ( ), 1024S i j = 1024 ( 1)( )j i i j= − + + i j+
j i− i j+ 1j i− +
*,i j N∃ ∈ ( 1)( )( 1) 22
tj i i ji i j
− + ++ + + + = =
1( 1)( ) 2tj i i j +− + + = 2 2na n= −
0,1,2,3, , ,n T 1010nb ≤
{ }*
1( , ) | ( , ) ,1 , ,i i jT S i j S i j a a a i j i j+= = + + + < ∈N
{3,5,6,7,9,10}T =
*,i j N∈ ( ), 1024S i j =
11024 2 2( 1) 2 ( 1)( )i i ja a a i i j j i i j−= + + + = + + + + = − + +
i j+ j i− i j+ 1j i− +
3i j+ ≥ 1 2j i− + ≥
*,i j N∈ ( ), 1024S i j =
na n= *m N∈ 2t
mb ≠ *t N∈若 ，使得： ，
由于 与 均大于 2 且奇偶性不同，所有 不成立.
其次证明除 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.
若正整数 ，其中 ， .
当 时，由等差数列的性质有：
此时结论成立.
当 时，由等差数列的性质有：
，
此时结论成立.
对于数列 ，此问题等价于数列 ，其相应集合 中满足：
有多少项.
由前面的证明可知正整数 2，4，8，16，32，64，128，256，512 不是集合 中的项，
所以 的最大值为 1001.
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审
题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题
和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题.
*,i j N∃ ∈ ( 1)( )( 1) 22
tj i i ji i j
− + ++ + + + = =
1j i− + j i− 1( 1)( ) 2tj i i j +− + + =
( )2t t N∈
( )2 2 1th k= + t N∈ *t N∈
12 2 1t k+ > +
( ) ( ) ( ) ( )(2 1) (2 1) (2 1) 2 2 1 2 2 1 2t t t tth k k k k k= + + + + + + = − + + − + + + + + +
12 2 1t k+ < +
(2 1) (2 1) (2 1)h k k k= + + + + + +
( ) ( )2 1 ( 1) ( 1) ( 2) 2ttk k k k k k= − + + + − + + + + + + + +
2 2na n= − 0,1,2,3, , ,n T
1010nb ≤
T
n
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