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理科数学参考答案 第1页 共3页 吉林市普通中学 2019—2020 学年度高中毕业班第二次调研测试 理科数学参考答案与评分标准 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B B B D B B C C A B D 二、填空题 13. ; 14. ; 15. ; 16. ①②③ 三、解答题 17. 解： （1） 是等比数列，且 成等差数列 ，即 ，解得： 或 …………………………………………………………………………2 分 ， ……………………………………………………………………………………………5 分 （2） …………………………………………………………………………………………………………7 分 ……………………………………………8 分 ………………………………………………………………………………………………………………………………10 分 18. （1）证明： 平面 四边形 是矩形 为 中点，且 ， ， △ 与△ 相似 ， …………………………………………………………………………………………………………2 分 ， 平面 ， 平面 ， …………………………………………………………4 分 ， ……………………………………………………………6 分 （2）解：如图，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，则 36p 3+2 2 4[ ,2)3 {}na! 223,2 ,aSa 2234Saa\=+ 2 11 1 14( )aaqaqaq+=+ 244qqq\+ = + 1q =- 4q = 0!q > 4q\= 1 2a =! 121 *24 2 ( )nn nanN--\=× = Î 2log 2 1nnban==-! 2222 2 21357 197199\- + - + + -! (1 3)(1 3) (5 7)(5 7) (197 199)(197 199)=- ++- + + + - +! (2)(13 5 7 199) 119921002 =- + + + + + +=- × × ! 20000=- 'AA ^! ABC \ ''ACC A M! 'CC ''6AA CC== 6' 2CM\= 1, 30 , 90BC BAC ACB=Ð = °Ð = °! '' 3AC A C\= = ''' '' ' CM AC AC AA\= '' ''MC A C A AÐ=Ð! \ ''MC A ''CAA '' ' 'CAM AAC\Ð = Ð '' ' 90AAC AAM\Ð +Ð = ° ''A M AC\^ 90ACBÐ=°! BC\^ ''ACC A ''BC\^ ''ACC A ''','''AM ACCA BC AMÌ\^! 平面 '''AM ABC\^平面 ''A M AB\^ ,, 'CA CB CC ,,xyz 6'( 3, 0, 6), (0, 0, ), '(0,1, 6), ( 3, 0, 0)2AMBA理科数学参考答案 第2页 共3页 …………………………………8 分 设平面 的法向量为 ，则 解得： 同理，平面 的法向量 ……………………………………………………10 分 设二面角 的大小为 ，则 即二面角 的余弦值为 .………………………………………………………………………12 分 19. 解： （1）在△ 中， ， ……………………………………………………………………………3 分 ， …………………………………………………………………………………………………6 分 （2） ……………………………………………………………………………8 分 当 时， 取最大值 .……………………………………………………………………12 分 20. 解： （1）由题意可知，文学类图书共有 本，其中正确分类的有 本 所以文学类图书分类正确的概率 ………………………………………………………3 分 （2）图书分类错误的共有 本，因为图书共有 本， 所以图书分类错误的概率 …………………………6 分 （3） 的平均数 …………………………………………………………………………………8 分 所以方差 …………10 分 当 时， 取最大值 .…………………………………………12 分 21. 解： 66 6'(3,0,),'(0,1,), (3,0, )22 2 !!!!" !!!!" !!!"MA MB MA\= = = - ''MA B 1111(, ,)nxyz=!" 120, 0!!!!" !" !!!!" !!"MA n MB n¢¢×= ×= 1 26(,,1)22n =- -!" 'MAB 2 26(,,1)22n =- -!!" ''AMBA-- q 12 12 12 13|1| 222cos | cos , | | 3|||| 13 131122 22 nnnn nn q --×=< >= = = × ++× ++ !" !!"!" !!" !" !!" ''AMBA-- 2 3 ABC ABCp++= BC Ap\+ =- sin 2 20cos( ) 0bc A B C++=! 2 sin cos 20cos 0bc A A A\×-= 2A p¹! cos 0A\¹ 1 sin 52SbcA\= = 2 4aS=! 222cos2sinbc bcA bcA\+- = 222sin2cosbc bcAbcA\+ = + 22 2sin 2cos 2 2sin( )4 cbb c AA Abc bc p+\+ = = + = + \ 4A p= cb bc+ 22 100 40 10 150++= 100 1 100 2 150 3p == 30 20 40 10 10 30 140+++++= 500 2 30 20 40 10 10 30 7 500 25p +++++== ,,abc 1 ()503xabc=++= 22222211[( 50) ( 50) (50 50) ] [ + 5000 100( )]33sa b ab ab=-+-+- = +- + 22 2 2 211 1(5000)[(100)5000][22005000]33 3ab a a a a=+- =+--= -+ 0, 0,ab>³\! 100, 0ab== 2s 5000 3理科数学参考答案 第3页 共3页 （1）因为 在 上单调递减， 所以 ,即 在 上恒成立……………………………………………………3 分 因为 在 上是单调递减的，所以 ，所以 ……………………………6 分 （2）因为 ，所以 由（1）知，当 时， 在 上单调递减 所以 ……………………………………………………………………………………………………………………9 分 即 所以 .……………………………………………………………………………………………………12 分 22. 解： （1）设 ，则 ，即 整理得 ……………………………………………………………………………………………………4 分 （2）设 ，将其与曲线 的方程联立，得 即 设 ，则 ……………………………………………………6 分 将直线 与 联立，得 ………………………………………………………………8 分 设 ，显然 构造 | 在 上恒成立 所以 在 上单调递增 所以 ， 当且仅当 ，即 时取“=”…………………………………10 分 即 的最小值为 ，此时直线 .………………………………………………………………………12 分 （注：1. 如果按函数 的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以 根据步骤相应给分.） ()yfx= (1, )+¥ 1'( ) 0 2 afx x x =- £ 2a x ³ (1, )+¥ 2y x = (1, )+¥ 2 (0,2) x Î 2a ³ 0nm>> 1n m > 2a = ()yfx= (1, )+¥ () (1)nffm < ln 2( 1) 0nn mm--< 2ln2 lnnnmm+< + (, )Pxy 3 4PA PBkk×=- 3 (2) 2 4 yy xx×=--- - 22 1( 2)43 xy x+=¹± :1lx my=+ C 223( 1) 4 12my y++ = 22(3 4) 6 9 0mymy++-= 12 22(, ),(, )Mx y Nx y 12 1222 69,34 34 myy yymm+=- =-++ 2 22 222 69 1||1 ( )4 1234 34 34 mmMN m mmm --+=+ - =+++ :(1)FT y m x=- - 4x = (4, 3 )Tm- 22||9931TF m m\=+ =+ 2 2 22 ||1341 1(3 1 )||4 411 TF m mMN mm +\= = ++ ++ 2 1tm=+ 1t ³ ||1 1() (3 ) ( 1)||4 TFft t tMN t==+³ 2 11'( ) (3 ) 04ft t=-> [1, )t Î+¥ ()yft= [1, )+¥ ||1 1(3 ) 1||4 FT tMN t=+³ 1t = 0m = || || TF MN 1 :1lx= 1yxx=+