常州市教育学会学业水平监测
高三数学 2020.1
一、填空题：
1、已知集合 ，则 A∩B＝
答案：｛－1，1｝
解析：B＝｛x｜x＜0 或 x＞0｝，所以，A∩B＝｛－1，1｝
2、若复数 满足 则 的实部为
答案：－1
解析： ，所以，实部为－1。
3、右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是
答案.10
解析：第 1 步：S＝1，i＝3；第 2 步：S＝1＋32＝10，i＝4＞3，退出循环，输出 S＝10。
4、函数 的定义域是
答案：［0，＋∞）
解析：由二次根式的意义，有： ，
即 ，所以，
5、已知一组数据 17,18,19,20,21，则该组数据的方差是
答案：2
解析：平均数为：19，
{ } { }21,0,1 , | 0A B x x= − = >
z 1 ,z i i⋅ = − z
1 (1 ) 11
i i iz ii
− −= = = − −−
S
2 1xy = −
2 1 0x − ≥
02 1 2x ≥ = 0x ≥方差为： ＝2
6、某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类，某同学从中任选 2 门课
程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率是
答案：
解析：该同学“选到文科类选修课程”的可能有： ＝7，
任选 2 门课程，所有可能为： ＝10，
所以，所求概率为：
7、已知函数 则
答案：－
解析： ＝ ＝－4，
＝－
8、函数 取得最大值时自变量 的值为
答案：
解析：因为 ，
所以， ，则 ，
当 ，即 时，函数 y 取得最大值。
9、等比数列 中，若 成等差数列，则
答案：64
解析：设等比数列 的公比为 q，
成等差数列，
所以， ，即
，解得： ＝2，
2 1 (4 1 0 1 4)5s = + + + +
7
10
1 1 2
2 3 2C C C+
2
5C
7
10
2
3
1 , 0,1( )
, 0,
xxf x
x x
≤ −=
− >
( (8))f f =
1
5
(8)f
2 2
33 38 (2 )− = −
( (8)) ( 4)f f f= − 1
5
3sin(2 ), [0, ]3y x x
π π= + ∈ x
12
π
0 x π≤ ≤
723 3 3x
π π π≤ + ≤ 1 sin(2 ) 13x
π− ≤ + ≤
2 3 2x
π π+ = x =
12
π
{ }na 1 2 3 41,4 ,2 ,a a a a= 1 7a a =
{ }na
2 3 44 ,2 ,a a a
3 2 44 4a a a= +
2 34 4q q q= + q所以， ＝64
10、已知 ，则
答案：－2
解析： ，即 ＝
＝－2
11、在平面直角坐标系 中，双曲线 的右顶点为 A,过 A 做
轴的垂线与 C 的一条渐近线交于点 B,若 ，则 C 的离心率为
答案：2
解析：显然 OA＝ ，
双曲线的渐近线为 ，不妨设过 A 做 轴的垂线与 交于 B，
则 B 点坐标为（ ，b），即 AB＝b，
在直角三角形 OAB 中，OB2＝OA2＋AB2，
即 4 2＝ 2＋b2，解得： ，
所以，离心率为： ＝2
12、已知函数 互不相等的实数 满足 ，则 的最小
值为
6
1 7 1a a a q=
cos 2 2cos
π α
α
− = tan 2α =
2
cos 2
cos
π α
α
− = sin 2cos
α
α = tanα 2
2
2tantan 2 1 tan
αα α= − 2
xOy
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > x
2OB a=
a
by xa
= ± x by xa
=
a
a a 3b a=
2
21c be a a
= = +
( ) lg( 2) ,f x x= − ,a b ( ) ( )f a f b= 4a b+答案：14
解析：如下图，由 ，－ ＝ ，
即 ＝0，
所以， ，
＝ ＝14，
当 时取等号。
13、在平面直角坐标系 中，圆 上存在点 P 到点
（0,1）的距离为 2，则实数 a 的取值范围是
答案：
解析：设点 P（x，y），
点 P 到点（0,1）的距离为 2，所以，点 P 的轨迹为 ＝4，
又点 P 在圆 上，
所以， ，解得：
14 、 在 中 ， 点 D 满 足 ， 且 对 任 意
恒成立，则
答案：
解析：
( ) ( )f a f b= lg( 2)a − lg( 2)b −
lg( 2)( 2)a b− −
( 2)( 2) 1a b− − =
4a b+ ( 2) 4( 2) 10 2 ( 2) 4( 2) 10a b a b− + − + ≥ − × − +
54, 2a b= =
xOy 2 2 2: 2 2 2 1 0C x ax y ay a− + − + − =
1 17 1 17,0 1,2 2
− +
2 2( 1)x y+ −
2 2:( ) ( ) 1C x a y a− + − =
2 21 ( 1) 3a a≤ + − ≤
a∈ 1 17 1 17,0 1,2 2
− +
ABC∆ ,3A
π∠ = 2
3AD AC=
,x R xAC AB AD AB∈ + ≥ − cos ABC∠ =
二、解答题：
15、在 中，角 的对边分别是 ，已知 。
（1） 若 ，求 的值；
（2） 若 ，求 的值.
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 31,cos 3a B= =
3A
π= sinC
2b = c16 、如图，在四棱锥 中， 平面 ABCD ，四边形 是矩形，
，点 分别是线段 的中点。求证：
（1） 平面 ；
（2）
17、如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左右焦点分别
为 ，椭圆右顶点为 ，点 在圆 上。
（1） 求椭圆 C 的标准方程；
（2） 点 在椭圆 C 上，且位于第四象限，点 N 在圆 A 上，且位于第一象限，
已知 ，求直线 的斜率。
18、请你设计一个包装盒， 是边长为 的正方形纸片，切去阴影部分所
示的四个全等的等腰三角形，在沿虚线折起，使得 四个点重合于图 2 中的点
P ABCD− PA ⊥ ABCD
AP AD= ,M N ,PD AC
/ /MN PBC
.PC AM⊥
xOy
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > >
1 2,F F A 2F 2 2( 2) 1x y− + =
M
13
2AM AN= −
1F M
ABCD 10 2cm
, , ,A B C DP，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（图 2 所示），设正四棱锥 P-EFGH 的底面边
长为 （cm）.
(1) 若要求包装盒侧面积 S 不小于 75 ，求 的取值范围；
(2) 若要求包装盒容积 最大，试问 应取何值?并求出此时包装盒的容积。
19、已知函数
（1） 若曲线 在 处的切线的斜率为 2，求函数 的单调区间；
（2） 若函数 在区间（1，e）上有零点，求实数 a 的取值范围。
20、设 为正整数，若两个项数都不小于 的数列 ， 满足：存在正数 L,当
x
2cm x
3( )V cm x
2 2( ) ( 2 )ln 1( ).2
af x ax x x x a R= + + + ∈
( )y f x= 1x = ( )f x
( )f x
m m { }nA { }nB时，都有 ，则称数列 ， 是“ 接近的”。
已知无穷数列 满足 ，无穷数列 的前 n 项和为 ，且
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 求证：对任意正整数 m,数列 ， 是“ 接近的”；
（3） 给定正整数 m(m 5),数列 ， （其中 ）是“ 接近
的”，求 L 的最小值，并求出此时的 k(均用 m 表示)。（参考数据 ）
n m≤ n nA B L− ≤ { }nA { }nB ( , )m L
{ }na 3 28 4 1a a= = { }nb 1, 1nS b =
1
1
( ) 1 , *.2
n n n
n n
S b b n Nb b
+
+
− = ∈
{ }na
{ }na { }2 1na + ( ,1)m
≥ 1
na
{ }2
nb k+ k R∈ ( , )m L
ln 2 0.69≈附加题
21-1．已知点 在矩阵 对应的变换作用下得到点（4,6）.
（1）写出矩阵 A 的逆矩阵；
（2）求 a+b 的值。
21-2.求圆心在极轴上，且过极点与点 的圆的极坐标方程。
22.批量较大的一批产品中有 30％的优等品，现进行重复抽样检查，共取 3 个样品，以 X 表
示这 3 个样品中的优等品的个数.
（1）求取出的 3 个样品中有优等品的概率；
（2）求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E(X).
( , )a b 1 3
2 4A
=
(2 3, )6P
π23.设集合 ,
(1)求 中的所有元素的和，并写出集合 中元素的个数；（2）求证：能将集合
分 成 两 个 没 有 公 共 元 素 的 子 集 和
，使得 成立.
{ }1,2 ,A = { }1
1 1 0| 3 3 3 , , 0,1,2, ,n n
n n n iA t t a a a a a A i n−
−= = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ∈ =
*.n N∈
1A nA nA
( 2, *)n n N≥ ∈ { }1 2, , ,s sB b b b=
{ }1 2, , , , , *l lC c c c s l N= ∈ 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2s lb b b c c c+ + + = + + +
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