数学参考答案与评分细则 第 1页（共 16页）
南通市 2020 届高三第一次调研测试
数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1． 已知集合 ， ，则 ▲ .
【答案】
2． 已知复数 满足 ，其中 是虚数单位，则 的模为 ▲ .
【答案】
3． 某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为
，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为 ▲ .
【答案】40
4． 根据如图所示的伪代码，输出的 a 的值为 ▲ ．
【答案】11
5． 已知等差数列 的公差 不为 0，且 成等比数列，
则 的值为 ▲ ．
【答案】1
6． 将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为 ▲ .
【答案】
7． 在正三棱柱 中， ，则三棱锥 的体积为 ▲ .
【答案】
8． 已知函数 ．若当 时，函数 取得最大值，则 的最小值
为 ▲ .
【答案】5
9． 已知函数 是奇函数．若对于任意的 ，关于 的不等
式 恒成立，则实数 的取值范围是 ▲ ．
a←1
i ←1
While i≤4
a←a+i
i ←i+1
End While
Print a
（第 4 题）数学参考答案与评分细则 第 2页（共 16页）
【答案】
10．在平面直角坐标系 中，已知点 A，B 分别在双曲线 的两条渐近线上，且
双曲线 经过线段 AB 的中点．若点 的横坐标为 2，则点 的横坐标为 ▲ ．
【答案】
11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，
地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 ．
2008 年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生
里氏 6.0 级地震释放出来能量的 ▲ 倍．
【答案】1000
12．已知△ABC 的面积为 3，且 ．若 ，则 的最小值为 ▲ ．
【答案】
13．在平面直角坐标系 中，已知圆 与圆 相交于
A，B 两点．若圆 上存在点 ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数 的值组成
的集合为 ▲ .
【答案】
14．已知函数 若关于 的方程 有五个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是 ▲ .
【答案】
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，
分别为 的中点．
（第 15 题）数学参考答案与评分细则 第 3页（共 16页）
求证：（1）AB∥平面 ；
（2）平面 平面 ．
【证】（1）在 中，因为 分别为 的中点，
所以 AB∥DE． …… 3 分
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 AB∥平面 ． …… 6 分
（2）因为 平面 ， 平面 ，
所以 ． …… 8 分
又因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ． …… 11 分
因为 平面 ，
所以平面 平面 ． …… 14 分
16．（本小题满分 14 分）
在△ABC 中，已知 ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【解】（1）在△ABC 中，因为 ， ，
由 ，
得 ． …… 2 分
又 ， ，
由正弦定理，得 ， …… 4 分
所以 ． …… 6 分
（2）（方法一）由余弦定理，得 ， …… 8 分数学参考答案与评分细则 第 4页（共 16页）
即 ，
解得 或 （舍去）． …… 11 分
所以 ． …… 14 分
（方法二）在△ABC 中，由条件得 ， 所以 ，所以 ．
所以 ． …… 8 分
所以
． …… 10 分
由正弦定理，得 ，
所以 ． …… 12 分
所以 ． …… 14 分
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的焦距为 ，两条准线间的
距离为 ， 分别为椭圆 的左、右顶点．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知图中四边形 是矩形，且 ，点 分别在边 上， 与
相交于第一象限内的点 ．
① 若 分别是 的中点，证明：点 在椭圆 上；
② 若点 在椭圆 上，证明： 为定值，并求出该定值．
【解】（1）设椭圆 的焦距为 ，数学参考答案与评分细则 第 5页（共 16页）
则由题意，得 解得
所以 ．
所以椭圆 的标准方程为 ． …… 3 分
（2）①由已知，得 ， ， ， ．
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
联立 解得 即 ． …… 6 分
因为 ，
所以点 在椭圆 上． …… 8 分
②（解法一）设 ， ，
则 ， ．
直线 的方程为 ，
令 ，得 ． …… 10 分
直线 的方程为 ，
令 ，得 ． …… 12 分
所以
． …… 14 分数学参考答案与评分细则 第 6页（共 16页）
（第 18 题）
O
（解法二）设直线 的方程为 ，
令 ，得 ．
设直线 的方程为 ，
令 ，得 ． …… 10 分
而 ． …… 12 分
设 ， ，则 ，
所以 ，
所以 ． …… 14 分
18．（本小题满分 16 分）
在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，
小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 的
正三角形 绕其中心 逆时针旋转 到三角形 ，
且 ．顺次连结 ，得到
六边形徽标 ．
（1）当 时，求六边形徽标的面积；
（2）求六边形徽标的周长的最大值．
【解】连结 ．在正三角形 中， ，
， ， ． …… 2 分
当正三角形 绕中心 逆时针旋转到正三角形 位置时，
有 ， ，数学参考答案与评分细则 第 7页（共 16页）
，
所以 ≌ ≌ ， ≌ ≌ ，
所以 ， ． …… 4 分
（1）当 时，设六边形徽标的面积为 ，则
…… 6 分
．
答：当 时，六边形徽标的面积为 ． …… 9 分
（2）设六边形徽标的周长为 ，则
…… 11 分
， ． …… 13 分
所以当 ，即 时， 取最大值 ．
答：六边形徽标的周长的最大值为 ． …… 16 分
19．（本小题满分 16 分）
已知数列 满足： ，且当 时， ．
（1）若 ，证明：数列 是等差数列；
（2）若 ．
① 设 ，求数列 的通项公式；数学参考答案与评分细则 第 8页（共 16页）
② 设 ，证明：对于任意的 ，当 时，都有 ．
【解】（1） 时，由 ，得 …… 2 分
所以 ，即 （常数），
所以数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列． …… 4 分
（2） 时， ， 时， ．
① 时， 所以 ． …… 6 分
所以 ．
又 ，所以 ． …… 8 分
又 ，所以 （常数）．
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以数列 的通项公式为 ． …… 10 分
②由①知， ， ．
所以 ，
所以 ． …… 12 分
所以
． …… 14 分
当 时， ，所以 ；数学参考答案与评分细则 第 9页（共 16页）
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ．
所以若 ，则 ． …… 16 分
20．（本小题满分 16 分）
设函数 ，其中 为自然对数的底数．
（1）当 时，求函数 的单调减区间；
（2）已知函数 的导函数 有三个零点 ， ， ．
① 求 的取值范围；
② 若 ， 是函数 的两个零点，证明： ．
【解】（1） 时， ，其定义域为 ， ．
令 ，得 ，
所以函数 的单调减区间为 ． …… 3 分
（2）① ，设 ，
则导函数 有三个零点，即函数 有三个非零的零点．
又 ，若 ，则 ，
所以 在 上是减函数， 至多有 1 个零点，不符合题意，
所以 ． …… 5 分
令 ， ．
列表如下：数学参考答案与评分细则 第 10页（共 16页）
所以 即 解得 ． …… 8 分
又 ，
所以 在 上有且只有 1 个非零的零点．
因为当 时， ， ，
，且 ，
又函数 的图象是连续不间断的，
所以 在 和 上各有且只有 1 个非零的零点．
所以实数 的取值范围是 ． …… 10 分
②（证法一）由 ，得
设 ，且 ，所以 ．
又因为 ，所以 ．
所以 或 时， ； 时， ．
由①知 ， ．
因为 ，所以 ， ，
所以 ，
极大值 极小值数学参考答案与评分细则 第 11页（共 16页）
． …… 14 分
所以 成立． …… 16 分
（证法二）依题设 知： ，
由①知 ，设 ，
由①知 ，所以 ， 在 上单调递减． …… 12 分
又由 ， 得： ，即 ，
所以 ，又 ，故 ， ．
于是
（Ⅰ） ，
即 ，又 ， ，所以 ； …… 14 分
（Ⅱ） ，
即 ，
又 ， ，故 ，
又 ，所以 ，即 ．
所以 ，得证． …… 16 分
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
已知 ，向量 是矩阵 的属于特征值 3 的一个特征向量．
（1）求矩阵 ；数学参考答案与评分细则 第 12页（共 16页）
（2）若点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，求点 的坐标．
【解】（1）因为向量 是矩阵 的属于特征值 3 的一个特征向量，
所以 ，即 ，
所以 解得
所以 ． …… 5 分
（2）设 ，则 ，
所以 解得
所以点 的坐标为 ． …… 10 分
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程 （t 为参数），椭圆 C 的
参数方程为 ( 为参数)．求椭圆 C 上的点 到直线 的距离的最大值．
【解】（方法一）直线 的普通方程为 ． …… 2 分
设 ，
则点 到直线 的距离 ． …… 8 分
当 ，即 （ ）时， ． …… 10 分
（方法二）直线 的普通方程为 ．数学参考答案与评分细则 第 13页（共 16页）
椭圆 C 的普通方程为 ． …… 4 分
设与直线 平行的直线方程为 ，
由 消 ，得 ．
令 ，得 ． …… 8 分
所以直线 与椭圆 相切．
当 时，点 到直线 的距离 最大，
． …… 10 分
C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知 都是正实数，且 ．
证明：（1） ；（2） ．
【证】（1）因为 都是正实数，所以 ．
又因为 ，所以 ，即 ，得证． …… 4 分
（2）因为 都是正实数，
所以 ，①
，②
．③ …… 6 分
由①+②+③，得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，得证． …… 10 分
【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出数学参考答案与评分细则 第 14页（共 16页）
（第 22 题）
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分 10 分)
如图，在直四棱柱 中， ， ， ．
（1）求二面角 的余弦值；
（2）若点 为棱 的中点，点 在棱 上，且直线
与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长．
【解】在直四棱柱 中，
因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ， ．
又 ，以 为正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系 ．
由 ，得
，
． …… 2 分
（1） ， ，
设平面 的一个法向量 ，
则 即
不妨取 ，则 ， ，所以 ． …… 4 分
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角的大小为 ，根据图形可知，数学参考答案与评分细则 第 15页（共 16页）
．
所以二面角 的余弦值为 ． …… 6 分
（2）设 ，则 ．
又 为 的中点，则 ， ， ．
设平面 的一个法向量 ，
由 得
取 ，则 ， ，所以 ． …… 8 分
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
则 ，
所以 或 （舍去）.
所以 . …… 10 分
23．(本小题满分 10 分)
一只口袋装有形状、大小完全相同的 5 只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各 1 只.
现从口袋中先后有放回地取球 次 ，且每次取 1 只球.
（1）当 时，求恰好取到 3 次红球的概率；
（2）随机变量 表示 次取球中取到红球的次数，随机变量
求 的数学期望（用 表示）.
【解】（1）当 时，从装有 5 只小球的口袋中有放回的取球 6 次，共有 个基本事件.
记“恰好取到 3 次红球”为事件 ，事件 包含基本事件有 个.
因为上述 个基本事件发生的可能性相同，
故 .数学参考答案与评分细则 第 16页（共 16页）
答：当 时，恰好取到 3 次红球的概率为 . …… 3 分
（2）由题意知，随机变量 的所有可能取值为 .
则 .
.
. …… 5 分
所以
. …… 7 分
令 ，
，
则
，
.
，
所以 .
所以 .
答： 的数学期望为 . …… 10 分
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