北京市石景山区2019-2020高二上学期期末考试数学试题（Word版带解析）.doc

石景山区 2019—2020 学年第一学期高二期末试卷数学 第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.如果 成等差数列，那么 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】设等差数列的公差为 ，则 ， 解得 ，所以 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题. 2.若双曲线 的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先求出 ，由离心率 即可求解. 【详解】由双曲线 ，则 ， ， ， ，即 故选：C 【点睛】本题考查双曲线的离心率，需熟记 ，属于基础题. 3.抛物线 的焦点坐标是（ ） 2, , , ,10a b c c a− = 1 2 4 8 d 10 2 4d− = 2d = 2 4c a d− = = 2 2 14 3 x y− = 1 2 5 4 7 2 5 2 ,a c ce a = 2 2 14 3 x y− = 2 4a = 2 3b = 2 2 2 4 3 7c a b∴ = + = + = 2, 7a c∴ = = 7 2 ce a = = 2 2 2c a b= + 2 2x y= −A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由抛物线的性质即可求解. 【详解】由抛物线 可知，焦点在 轴的负半轴上. 焦点为 ， 故选：B 【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标，需熟记抛物线的标准方程以及焦点坐标，属于基础 题. 4.在数列 中， ， ，那么 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据递推关系式可得数列是以 周期的数列，从而可求得 . 【详解】由 ， 可得， ， ， ，故数列是以 周期的数列， 所以 . 故选：A 【点睛】本题考查了数列的递推关系式、数列的周期性，属于基础题. 5.命题“ R， ”的否定是( ) A. R， B. R， C. R， D. R， 【答案】D 1(0, )2 1(0, )2 − (1,0) ( 1,0)− 2 2x y= − y 10, 2  −   { }na 1 1a = 1 2n na a +⋅ = − ( 1 2 3 )n = ， ， ， 8a = 2− 1 2 − 1 2 2 8a 1 1a = 1 2n na a +⋅ = − 2 2a = − 3 1a = 4 2a = − 2 8 2a = − x∀ ∈ xe x> x∀ ∈ xe x< x∀ ∈ xe x≤ x∃ ∈ xe x< x∃ ∈ xe x≤【解析】 【分析】 利用全称命题的否定是特称命题分析解答. 【详解】由题得命题“ R， ”的否定是“ R， ”. 故答案为 D 【点睛】本题主要考察全称命题和特称命题的否定，意在考察学生对这些基础知识的理解和 掌握水平. 6.设椭圆 的两个焦点为 ， ，且 P 点的坐标为 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先判断出点 在椭圆上，然后利用椭圆的定义即可求解. 【详解】把 P 点的坐标 代入椭圆方程，满足椭圆方程，即 P 点在椭圆上， 由 ，则 ， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，需熟记椭圆的定义，属于基础题. 7.如图，以长方体 的顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标是（ ） A. B. C. D. x∀ ∈ xe x> x∃ ∈ xe x≤ 2 2 12 x y+ = 1F 2F 2 3( , )2 2 1 2| | | |PF PF+ = 1 2 2 2 2 P 2 3( , )2 2 2 2 12 x y+ = 2a = 1 2| | | | 2 2 2PF PF a∴ + = = 1 1 1 1ABCD A B C D− D D 1DB ( )4,3,2 1C (0,3,2) (0,4,2) (4,0,2)【答案】A 【解析】 【分析】 根据 的坐标为 ，可得长方体的长、宽、高，从而可得出点 的坐标. 【详解】由 的坐标为 ， 为坐标原点，所以 ， ， 的坐标为 . 故选：A 【点睛】本题考查了写空间直角坐标系中的点，属于基础题. 8.设 是首项为正数的等比数列,公比为 则“ ”是“对任意的正整数 ”的 A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 意 得 ， ，故是必要不 充分条件，故选 C. 【考点】充要关系 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法： ①定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为 真，则 p 是 q 的充分条件． ②等价法：利用 p⇒q 与非 q⇒非 p，q⇒p 与非 p⇒非 q，p⇔q 与非 q⇔非 p 的等价关系，对 于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． ③集合法：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A＝B，则 A 是 B 的 充要条件． (2,3,4) 1DB ( )4,3,2 1C 1DB ( )4,3,2 D ( )1 4,3,2B 14, 3, 2BC DC CC∴ = = = 1C∴ ( )0,3,2 { }na ,q 0q < 2 1 2, n nn a a− + < 0 2 2 2 1 2( 1) 2 1 2 10 ( ) 0 ( 1) 0 ( , 1)n n n n na a a q q q q q− − − − + < ⇔ + < ⇔ + < ⇔ ∈ −∞ −9.设平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，那么“ ”是“直线 与平面 夹角为 ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量夹角的定义以及线面角的定义即可得出选项. 【详解】由面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，“ ”， 则“直线 与平面 夹角为 ”， 反之，由向量夹角的定义，“直线 与平面 夹角为 ”， 则“ 或 ”， 故“ ”是“直线 与平面 夹角为 ”充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了向量的夹角、线面角，充分不必要条件，需掌握其定义，考查了学生的 基础知识，属于基础题. 10.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁 丝，骨架把圆柱底面 8 等份，当灯笼的底面半径为 0.3 米时，则图中直线 与 所在 异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. α n l m , 60m n< >= °  l α 30° α n l m , 60m n< >= °  l α 30° l α 30° , 60m n< >= °  120 , 60m n< >= °  l α 30° 8 2A B 2 6A A 6 12 6 6 3 3 6 3【答案】B 【解析】 【分析】 首先求出圆柱的高，以底面中心 为原点， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】 设圆柱的高 ，则 ，解得 ， 底面中心 为原点， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 设直线 与 所成的角为 ， 则 故选：B 【点睛】本题主要考查用空间向量求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的空间直角 坐标系，属于中档题 O 2OA x 4OA y h 2 0.3 8 8 9.6h× × + = 0.6h = O 2OA x 4OA y ( )8 0, 0.3,0A − ( )2 0.3,0,0.6B ( )2 0.3,0,0A ( )6 0.3,0,0A − ∴ ( )8 2 0.3,0.3,0.6A B = ( )2 6 0.6,0,0A A = − 8 2A B 2 6A A θ 8 2 2 6 2 2 2 8 2 2 6 0.18 0.3 6cos 60.540.3 0.3 0.6 0.6 A B A A A B A A θ ⋅ −= = = = + + ⋅    第Ⅱ卷（非选择题 共 60 分） 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分． 11. 空间直角坐标系中，已知 那么 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用空间向量的数量积即可求解. 【详解】由 ， 故答案为： 【点睛】本题考查了利用空间向量的数量积求夹角，需熟记公式，属于基础题. 12.已知数列 是各项均为正数的等比数列，且 ， .设数列 的前 项和为 ，那么 ______ （填“>”、“=  1 5 (1,2,0), (1,0,2),a b= =  1 0 0 1cos , 51 4 1 4 a ba b a b ⋅ + +∴ < >= = = + ⋅ +      1 5 { }na 2 1a = 3 4 6a a+ = { }na n− n nS 4S 5S 5 5 3 0a − = > { }na { }na q 2 1 2 3 3 4 1 1 1 q +a q =6 a a q a a a = =  + = 1 1 2a = 2q = 1 2 1 2n n na a q − −∴ = = 3 5 4 5 5 2 5 3 0S S a− = − = − = > 5 4S S> 5 5 3 0a − = >13.甲、乙两位同学分别做下面这道题目：在平面直角坐标系中，动点 到 的距 离比 到 轴的距离大 ，求 的轨迹.甲同学的解法是：解：设 的坐标是 ，则 根据题意可知 ，化简得 ； ①当 时，方程可变为 ；② 这表示的是端点在原点、方向为 轴正方向的射线，且不包括原点； ③当 时，方程可 变为 ； ④这表示以 为焦点，以直线 为准线的抛物线；⑤所以 的轨迹为端点在原点、方向为 轴正方向的射线，且不包括原点和以 为焦点，以 直线 为准线的抛物线. 乙同学的解法是：解：因为动点 到 的距离比 到 轴的距离大 . ①如图，过点 作 轴的垂线，垂足为 . 则 .设直 线 与直线 的交点为 ，则 ； ②即动点 到直线 的距离比 到 轴的距离大 ； ③所以动点 到 的距离与 到直线 的距离相等；④所以动点 的轨迹是以 为焦点，以直线 为准线的抛 物线； ⑤甲、乙两位同学中解答错误的是________（填“甲”或者“乙”），他的解答过程是从 _____处开始出错的（请在横线上填写① 、②、③、④ 或⑤ ）. 【答案】 (1). 乙 (2). ② 【解析】 【分析】 由题干 的坐标是 可以是平面直角坐标系中的任意一点，根据甲、乙的解题过程即 可求解. 【详解】由在平面直角坐标系中，动点 到 的距离比 到 轴的距离大 ， M (0, 2)F − M x 2 M M ( , )x y 2 2( 2) | | 2x y y+ + = + 2 4(| | )x y y= − 0y > 0x = y 0y ≤ 2 8x y= - (0, 2)F − 2y = M y (0, 2)F − 2y = M (0, 2)F − M x 2 M x 1M 1| | | | 2MF MM= + 1MM 2y = 2M 2 1| | | | 2MM MM= + M 2y = M x 2 M (0, 2)F − M 2y = M (0, 2)F − 2y = M ( , )x y M (0, 2)F − M x 2可得 ，讨论 的正负，整理化简，故甲正确； 对于乙，由于在 轴上方也存在满足条件的点，乙选择点具有特殊性，从②即动点 到直 线 的距离比 到 轴的距离大 ；把点 定为在 轴下方，故从②开始错误； 故答案 ：乙；② 【点睛】本题主要考查求点的轨迹方程，采用直接法，考查了学生数学思维的严密性，属于 基础题. 14.已知平面上的线段 及点 ，任取 上一点 ，线段 长度的最小值称为点 到线段 的距离，记作 .请你写出到两条线段 ， 距离相等的点的集合 ， ， ，其中 ， ， ， ， ， 是下列两组点中的一组．对于 下列两种情形，只需选做一种，满分分别是① 3 分；② 5 分．① ， ， ， ；② ， ， ， ．你选择第_____种情形， 到两条线段 ， 距离相等的点的集合 _____________. 【答案】 (1). ①， 轴 (2). ② 轴非负半轴，抛物线 ，直线 【解析】 【分析】 根据题意从两组点的坐标中选一组，根据所给的四个点的坐标，写出两条直线的方程，从直 线方程中看出这两条直线之间的平行关系，得到要求的结果. 【详解】 为 2 2( 2) | | 2x y y+ + = + y x M 2y = M x 2 M x l P l Q PQ P l ( , )d P l 1l 2l { | (P d PΩ = 1) (l d P= 2 )}l 1l AB= 2l CD= A B C D (1,3)A (1,0)B ( 1,3)C − ( 1,0)D − (1,3)A (1,0)B ( 1,3)C − ( 1, 2)D − − 1l 2l Ω = y y 2 2 )4 ( 0xy y−=   1( 1)y x x= − − >对于①， ， ， ， ； 利用两点式写出两条直线的方程 ： ， ： ， 到两条线段 ， 距离相等的点的集合 ， ， ， 根据两条直线的方程可知两条直线之间的关系是平行， 到两条线段 ， 距离相等的点的集合为 ， 对于②， ， ， ， ． 根据第一组作出的结果，观察第二组数据的特点，连接得到线段以后，可以得到到两条线段 距离相等的点是 轴的非负半轴，抛物线抛物线 ，直线 故满足条件的集合 且 . 综上所述，①， ；②， 且 . 【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式，考查两点间的距离公式，考查点到线段的距离， 本题是一个综合题目，属于中档题. 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 48 分．应写出文字说明，证明过程或演算 步骤． 15.已知数列 是等差数列，满足 ， ，数列 是公比为 等比数列， (1,3)A (1,0)B ( 1,3)C − ( 1,0)D − AB 1x = CD 1x = − 1l 2l { | (P d PΩ = 1) (l d P= 2 )}l ∴ 1l 2l Ω = ( ){ }, 0x y x = (1,3)A (1,0)B ( 1,3)C − ( 1, 2)D − − y 2 2 )4 ( 0xy y−=   1( 1)y x x= − − > ( ){ , 0x y xΩ = = }0y ≥  ( ){ 2, 4 ,0 1, 2 0)x y y x x y= ≤ ≤ −    ( ){ }, 1, 1x y y x x= − − > Ω = ( ){ }, 0x y x = ( ){ , 0x y xΩ = = }0y ≥  ( ){ 2, 4 ,0 1, 2 0)x y y x x y= ≤ ≤ −    ( ){ }, 1, 1x y y x x= − − > { }na 1 1a = − 5 3a = { }n nb a− 2且 ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求解. （2）根据分组求和以及等差、等比的前 项和即可求解. 【详解】（1）因为数列 是等差数列，满足 ， ， 所以公差 . 所以数列 的通项公式为 . 因为 ， ， 所以 ， 又因为数列 公比为 等比数列， 所以 . 所以 . （2） . 【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和，需熟记 公式，属于基础题. 16.如图，在底面是正方形的四棱锥 中， 平面 ， ， 是 的中点. 是 2 22 2b a− = { }na { }nb { }nb n nS 2na n= − 12 2n nb n−= + − ( 1)2 1 22 n n n nS n += − + − n { }na 1 1a = − 5 3a = 5 1 15 1 a ad −= =− { }na na n= 2− 2 22 2b a− = 2 0a = 2 2 2b a− = { }n nb a− 2 12n n nb a −− = 12 2n nb n−= + − 1 2n nS b b b= + + + 1(1 2 2 ) (1 2 ) 2n n n−= + + + + + + + −  ( 1)2 1 22 n n n n += − + − P ABCD− PA ⊥ ABCD 2AP AB= = , ,E F G , ,BC PC CD（1）求证： 平面 ； （2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，求出 的值；若不 存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， . 【解析】 【分析】 （1）以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，证出 ，且 ，根据线面垂直的判定定理即可证明. （2）假设存在，利用线面垂直的定义证出 即可. 【详解】（1）证明：因为四棱锥 底面是正方形，且 平面 ， 以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图 所示空间直角坐标系. 则 ， ， BG ⊥ PAE BG H / /FH PAE BH BG 3 5 A , ,AB AD AP , ,x y z 0BG AP⋅ =  0BG AE⋅ =  0FH GB⋅ =  P ABCD− PA ⊥ ABCD A , ,AB AD AP , ,x y z (0,0,0), (2,0,0), (0,0,2),A B P (2,2,0), (0,2,0)C D因为 是 的中点， 所以 ， 所以 ， 所以 ，且 . 所以 ， ，且 . 所以 ⊥平面 . （2）假设在线段 上存在点 ，使得 //平面 . 设 ， 则 . 因为 //平面 ， ⊥平面 ， 所以 . 所以 . 所以，在线段 上存在点 ，使得 //平面 .其中 . 【点睛】本题考查了用空间向量证明线面垂直，线面平行，考查了线面垂直的判定定理，解 题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于基础题. 17.已知椭圆 C 的焦点为 和 ，长轴长为 ，设直线 交椭圆 C 于 A，B 两点 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求弦 AB 的中点坐标及弦长． 【答案】（1） ；（2） ， . 【解析】 【分析】 （1）由题意以及 即可求出椭圆 标准方程. （2）将直线与椭圆方程联立，由中点坐标公式以及弦长公式即可求解. 【详解】（1）因为椭圆 C 的焦点为 和 ，长轴长为 4， 的 , ,E F G , ,BC PC CD (2,1,0), (1,1,1), (1,2,0)E F G ( 1,2,0)BG = − (0,0,2), (2,1,0),AP AE= =  0BG AP⋅ =  0BG AE⋅ =  BG AP⊥ BG AE⊥ AE AP A= BG PAE BG H FH PAE BH BGλ=  (0 1)λ≤ ≤ (1 ,2 1, 1)FH FB BH AB AF BGλ λ λ= + = − + = − − −      FH PAE BG PAE ( 1) (1 2(2 1) 0 ( 1) 5 3 0FH GB λ λ λ⋅ = − ⋅ − + − + × − = − =  3 5 λ = BG H FH PAE 3 5 BH BG = 1( 2,0)F − 2 ( 2,0)F 4 1y x= + . 2 2 14 2 x y+ = 2 1( , )3 3 − 4 5 3 2 2 2a b c= + 1( 2,0)F − 2 ( 2,0)F所以椭圆的焦点在 x 轴上， . 所以 . 所以椭圆 C 的标准方程 . （2）设 ， ，AB 线段的中点为 ， 由 得 所以 ， 所以 所以弦 AB 的中点坐标为 ， . 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，中点坐标公式以及弦长公式，需熟记方程与公式， 属于中档题. 18.如图，三棱柱 中， ，且 ,O 为 中点， 平面 . （1）求二面角 的余弦值； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1） ；（2） . 2, 2c a= = 2b = 2 2 14 2 x y+ = 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 0 0( , )M x y 2 22 4, 1, x y y x  + =  = + 23 4 2 0, 0x x+ − = ∆ > 1 2 1 2 4 2,3 3x x x x+ = − = − 0 2 ,3x = − 0 0 11 ,3y x= + = 2 1( , )3 3 − 2 2 1 2 1 2 4 5| | 1 ( ) 4 3AB k x x x x= + + − = 1 1 1ABC A B C− 1 2,AA AC AB BC= = = AB BC⊥ AC 1AO ⊥ ABC 1 1C AA B− − 1AC 1 1A ABB 21 7 7 7【解析】 【分析】 （1）点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标 系，求平面 的法向量与平面 的法向量，利用向量的数量积即可求解. （2）直线 与平面 所成角为 ，利用平面 的法向量与 的数量积即 可求解. 【详解】（1）联结 ，因为 ，所以 . 又因为 平面 ，所以以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴 建立如图所示空间直角坐标系. 则 所以 . 设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 . 易知平面 的法向量 ， . 所以二面角 的余弦值为 . O 1, ,OA OB OA , ,x y z 1 1A ABB 1 1AAC C 1AC 1 1A ABB θ 1 1A ABB 1AC OB AB BC= OB AC⊥ 1AO ⊥ ABC O 1, ,OA OB OA , ,x y z 1(1,0,0), (0,1,0), ( 1,0,0), (0,0, 3),A B C A− 1 ( 1,0, 3), ( 1,1,0)AA AB= − = −  1 1A ABB 11 1 1( , , )n x y z= 1 1 1 0, 0, n AA n AB  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 3 0, 0, x z x y − + =− + = 1 1z = 1 ( 3, 3,1)n = 1 1AAC C 2 (0,1,0)n = 1 2 1 2 1 2 21cos , 7 n nn n n n ⋅= =      1 1C AA B− − 21 7 （2）设直线 与平面 所成角为 ， 则 . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】本题主要考查了用空间向量解二面角、线面角，解题的关键是建立恰当的空间直角 坐标系，属于基础题. 19.已知椭圆 ， 、 分别是椭圆短轴的上下两个端点； 是椭 圆的左焦点，P 是椭圆上异于点 、 的点， 是边长为 4 的等边三角形． （1）写出椭圆的标准方程； （2）设点 R 满足： ， ．求证： 与 的面积之比为定 值． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义求出 ， ，即可求出椭圆的标准方程. 1AC 1 1A ABB θ 1 1 ( 1,0, 3),CC AA= = −  1 1 ( 3,0, 3).AC AC CC= + = −   1 1 1 1 | | 7sin 7| || | n AC n AC θ ⋅= =     1AC 1 1A ABB 7 7 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 1B 2B 1F 1B 2B 1 1 2B F B 1 1RB PB⊥ 2 2RB PB⊥ 1 2PB B△ 1 2RB B△ 2 2 116 4 x y+ = 4a = 2b =（2）直线 的斜率分别为 ，写出直线 的方程，将直线方程与椭圆方程联 立，求出点 横坐标坐标，从而求出直线 的方程，与椭圆联立求出 ，面积比即横坐 标之比. 【详解】（1）因为 是边长为 4 的等边三角形， 所以 所以 . 所以椭圆的标准方程为 . （2）设直线 的斜率分别为 ，则直线 的方程为 ． 由 直线 的方程为 ． 将 代入 ，得 ， 因为 是椭圆上异于点 的点，所以 ． 所以 . 由 ，所以直线 的方程为 ． 由 ，得 ． 所以 ． 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，属 于中档题. 20.已知 ， ，记 ， 其中 表示 这 个数中最大的数． （1）求 的值； 1 2PB PB， , 'k k 1PB p 2RB Rx 1 1 2B F B 2, 2 3.b c= = 4a = 2 2 116 4 x y+ = 1 2PB PB， , 'k k 1PB 2y kx= + 1 1RB PB⊥ ， 1RB ( 2) 0x k y+ − = 2y kx= + 2 2 116 4 x y+ = ( )2 24 1 16 0k x kx+ + = P 1 2B B， Px = 2 16 4 1 k k − + 2 1' 4 P P yk x k += = − 2 2RB PB⊥ 2RB 4 2y kx= − ( 2) 0 4 2 x k y y kx + − =  = − 2 4 4 1R kx k = + 1 2 1 2 2 2 16 4 1 44 4 1 PB B P RB B R k S x k kS x k ∆ ∆ − += = = + na n= 2 1nb n= − 1 1 2 2max{ , , , }n n nc b a n b a n b a n= − − ⋅⋅⋅ − ( 1,2,3, )n = ⋅⋅⋅ 1 2max{ , , , }sx x x⋅⋅⋅ 1 2, , , sx x x⋅⋅⋅ s 1 2 3, ,c c c（2）证明 是等差数列. 【答案】（1） ， ， ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）首先求出 ， ，根据题意即可求解. （2）利用作差法求出数列 的通项公式，再根据等差数列的定义即可证出. 【详解】（1）易知 ， ， 且 ， ， 所以 ， . （2）下面证明：对任意 且 ，都有 ． 当 且 时， 因为 且 所以 ． 因此对任意 且 ， ，则 ． 又因为 ， 故 对 均成立，从而 是等差数列. 【点睛】本题主要考查数列的新定义、等差数列的定义，考查了学生的知识迁移能力，属于 中档题. { }nc 1 0c = 2 1c = − 3 2c = − 1 2 3, ,a a a 1 2 3, ,b b b { }nc 1 1a = 2 2a = 3 3a = 1 1b = 2 3b = 3 5b = 1 1 1 1 1 0,c b a= − = − = 2 1 1 2 2max{ 2 , 2 } max{1 2 1,3 2 2} 1c b a b a= − − = − × − × = − 3 1 1 2 2 3 3max{ 3 , 3 , 3 } max{1 3 1,3 3 2,5 3 3} 2c b a b a b a= − − − = − × − × − × = − *n N∈ 2n ≥ 1 1nc b a n= − ⋅ *k N∈ 2 k n≤ ≤ 1 1( ) ( )k kb a n b a n− ⋅ − − ⋅ [(2 1) ] 1k nk n= − − − + (2 2) ( 1)k n k= − − − ( 1)(2 )k n= − − 1 0k − > 2 0n− ≤ 1 1( ) ( ) 0k kb a n b a n− ⋅ − − ⋅ ≤ ⇒ 1 1( ) ( )k kb a n b a n− ⋅ − ⋅≥ *n N∈ 2n ≥ 1 1 1nc b a n n= − ⋅ = − 1 1n nc c+ − = − 2 1 1c c− = − 1 1n nc c+ − = − *n N∈ { }nc