数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 某学校高一、高二年级共有 1800 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行
某项调查．若样本中高一年级学生有 42 人，则该校高一年级学生共有
A. 420 人 B. 480 人 C. 840 人 D. 960 人
2. 已知命题 p： ，总有 ，则 为
A. ，使得 B. ，使得
C. ，使得 D. ，使得
3. 从 2 名男生和 2 名女生中选择 2 人去参加某项活动，则 2 人中恰好有 1 名女生的概率为
A. B. C. D.
4. 点 F 是抛物线 的焦点，若抛物线上的点 M 到 F 的距离为 3，则点 M 到 x 轴的距
离为
A. 2 B. 3 C. D.
5. 管理部门对某品牌的甲、乙两种食品进行抽样检测，根据两种食品中某种物质的含量数
据，得到如图的茎叶图：
由图可知两种食品中这种物质含量的平均数与方差的大小关系是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6. 已知焦点在 y 轴上的双曲线的渐近线方程为 ，则双曲线的方程可能是
A. B. C. D.
7. 为函数 图象上一点，当直线 ， 与函数的图象围成区域的面积
等于 时，a 的值为
A. B. C. 1 D.
8. 若双曲线 的一个焦点 F 到一条渐近线的距离大于实轴长，则双曲线离
心率的取值范围是
A. B. C. D.
9. 执行如图所示的程序框图，如图输出的 S 的值为 2，则判断框中的条件可能是A. ？
B. ？
C. ？
D. ？
10. 如图，在三棱锥 中， ， 平面 ABC， ，O
为 PB 的中点，则直线 CO 与平面 PAC 所成角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
11. 若函数 在 上有极值点，则实数 a 的取值范围是
A. B.
C. ， D.
12. 直线 l 与抛物线 交于 A，C 两点，B 为抛物线上一点，A，B，C 三点的横坐标依次
成等差数列．若 中，AC 边上的中线 BP 的长为 3，则 的面积为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 函数 ，则 ______．
14. 如图， ， 为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 l 与椭圆交于其中一点 P，
与 y 轴交于 M 点，且 直线 与 的外角平分线交于 Q 点，则 的周
长为______．15. 如图，边长为 的正三角形内接于圆 O，点 P 为弧 AC 上任意一点，则 的面积大
于 的概率为______．
16. 已知函数 ，其图象上存在两点 M，N，在这两点处的切线都与 x 轴
平行，则实数 a 的取值范围是______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）
17. 命题 p：实数 x 满足集合 ，q：实数 x 满足集合 ．
若 p，q 为真命题，求集合 A，B；
若 p 是 q 成立的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
18. 为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生产的积
极性，从 2004 年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴．通过对 年的数据
进行调查，发现某地区发放粮食补贴额 亿元与该地区粮食产量 万亿吨之间存在着线
性相关关系．统计数据如下表：
年份 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年
补贴额 亿元 9 10 12 11 8
粮食产量 万亿
吨 23 25 30 26 21
Ⅰ请根据如表所给的数据，求出 y 关于 x 的线性回归直线方程 ；Ⅱ通过对该地
区粮食产量的分析研究，计划 2019 年在该地区发放粮食补贴额 7 亿元，请根据Ⅰ中所
得 的 线 性 回 归 直 线 方 程 ， 预 测 2019 年 该 地 区 的 粮 食 产 量 ． 参 考 公 式 ：
，19. 某校高二 班共 50 名学生，在期中考试中，每位同学的数学考试分数都在区间
内，将该班所有同学的考试分数分为七个组： ， ， ，
， ， ， ，绘制出频率分布直方图如图所示．
根据频率分别直方图，估计这次考试学生成绩的中位数和平均数；
已知成绩为 104 分或 105 分的同学共有 3 人，现从成绩在 中的同学中任选
2 人，则至少有 1 人成绩不低于 106 分的概率为多少？每位同学的成绩都为整数
在如图 所示的四边形 ABCD 中， ， ， ， 将 沿
OD 折起，使二面角 为直二面角如图 ，P 为 AC 的中点．
求证： 平面 BOP；
求二面角 的余弦值．
椭圆 的右焦点为 ，P 为圆 O： 与椭圆 C 的一个公共点，
．Ⅰ求椭圆 C 的标准方程；Ⅱ如图，过 F 作直线 l 与椭圆 C 交于 ， 两
点，点 M 为点 B 关于 x 轴的对称点．
求证： ；
试问过 A，M 的直线是否过定点？若是，请求出该定点；若不是，请说明理由．
22.已知函数 ， ．
求函数 在点 处的切线方程；
求函数 的单调区间；
求证：当 时， 恒成立．答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：某学校高一、高二年级共有 1800 人，
设该校高一年级学生共有 a 人，
现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某项调查．样本中高一年级学生有 42 人，
则 ，
解得 ．
该校高一年级学生共有 840 人．
故选：C．
设该校高一年级学生共有 a 人，现按照分层抽样的方法，抽取 90 人作为样本进行某项调
查．样本中高一年级学生有 42 人，由此列出方程能求出该校高一年级学生数．
本题考查该校高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能
力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：根据全称命题的否定为特称命题可知， 为 ，使得 ，
故选：B．
据全称命题的否定为特称命题可写出命题 p 的否定．
本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意可知：本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从 2 名男生和 2 名女生中任选 2 人，共有 种结果，
满足条件的事件是 2 人中有 1 名女生，1 名男生，共有 种结果，
根据等可能事件的概率公式得到 ，
故选：A．
由题意可知为等可能事件，由排列组合的知识可得分别求得所包含的基本事件数，由概率公
式可得答案．
本题考查等可能事件的概率，找对基本事件数是解决问题的关键，属基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为 ，准线方程为 ，
根据抛物线定义，
，
解得 ，
点 M 到 x 轴的距离为 2，
故选：A．
先根据抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，进而根据抛物线的定义可知点 p 到焦点的距离与到准线的距离相等，进而推断出 ，求得 ，可得点 M 到 x 轴的距离．
本题主要考查抛物线的定义：抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，常可用来解决涉
及抛物线焦点的直线或焦点弦的问题．
5.【答案】B
【解析】解：由茎叶图可知：
甲同学的数据叶峰偏下，
甲同学的得分大部分集中在 90 分之间，相对比较集中，
而乙同学的得分集中在 80 分，相对比较散，
故甲同学的成绩比较好，且发挥比较稳定．
故选：B．
本题考查的是数据的集中性和稳定程度，茎叶图中各组数据若大部分集中在某条线上，表示
该组数据越稳定．
本题考查茎叶图，从茎叶图上可以看出两组数据的稳定程度和集中程度，基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为双曲线的焦点在 y 轴上，排除选项 A，C；
选项 B，双曲线的渐近线方程为： ，不正确；
选项 D：双曲线的渐近线方程为： ，正确；
故选：D．
利用双曲线方程的标准形式，排除选项，然后求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
7.【答案】C
【解析】解：
，
，
故 ，把 代入 ，得 ，
故选：C．
画出图象，利用定积分求出即可．
考查定积分的应用，基础题．
8.【答案】D
【解析】解：双曲线 的一个焦点为 ，一条渐近线方程为 ，
双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 ，
焦点 F 到它的一条渐近线距离 x 满足 ，
，
，
．
故选：D．求出双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离为 ，利用焦点 F 到
它的一条渐近线距离 x 满足 ，建立不等式，即可求出双曲线的离心率的取值范围．
本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离为 ，是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意，模拟程序的运行，可得
，
满足判断框内的条件， ，
满足判断框内的条件， ，
此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 2．
故判断框内的条件为： ？
故选：A．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序
的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，
是基础题．
10.【答案】B
【解析】解：在三棱锥 中， ， 平面
ABC， ，O 为 PB 的中点，
以 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为 y 轴，过点 C 作平面 ABC
的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，则 0， ， 1， ， 0， ，
， 1， ，
， 1， ， 1， ，
平面 PAC 的法向量 0， ，
设直线 CO 与平面 PAC 所成角为 ，
则 ，
．
直线 CO 与平面 PAC 所成角的余弦值为 ．
故选：B．以 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为 y 轴，过点 C 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐
标系，利用向量法能求出直线 CO 与平面 PAC 所成角的余弦值．
本题考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】A
【解析】解： ，
，
若函数 在 上有极值点，
则 在 上实根，
又 恒成立，
故方程 有实根，
由 ，显然 过 ，
故 时， 开口向下，对称轴 在 y 轴左侧，
故 与 x 轴在正半轴无交点，不合题意，舍；
时， 与 x 轴在正半轴无交点，不合题意，舍；
时， 开口向上，
故无论对称轴 在 y 轴的任何一侧，
都能满足 与 x 轴在正半轴有交点，符合题意；
综上， ，
故选：A．
求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，结合二次函数的性质判断即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，考查分类讨论
思想，转化思想，是一道常规题．
12.【答案】D
【解析】解：设 ， ， ，
，B，C 三点的横坐标依次成等差数列，
，
为 AC 边上的中线，
轴，即 ，
，C 两点在抛物线上，
， ，
两式相减可得 ，
直线 AC 的斜率 ，
直线 l 的方程为 ，即 ，
由 可得 ，
， ，
，
，故选：D．
设 ， ， ，由 A，B，C 三点的横坐标依次成等差数列，以及 BP 为 AC
边上的中线可表示出 P 点的坐标，再由点差法求出直线 l 的方程，联立直线与抛物线的方程，
结合韦达定理即可求出结果．
本题考查了直线和抛物线的位置关系，韦达定理，考查了运算求解能力和转化能力，属于中
档题．
13.【答案】
【解析】解： ，
则 ，
故答案为： ．
先求导，再代值计算即可．
本题考查了导数的运算，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的几何性质，解决本题的关键在于找出相似三角形，
属于中档题．
先证明 轴，得出 ∽ ，并计算出 的周长，利用相似比可求出 的
周长．
【解答】
解：易得 ， ， 的周长为 ，
由于 MQ 为 的外角平分线，且 y 轴为 的角平分线，
所以， ，
所以 轴，所以 轴，易得 ∽ ，
设 的周长为 m，则 ，
所以， ．
因此， 的周长为 3．
故答案为：3．
15.【答案】
【解析】解： 的边长为 ，
的高为 3，
设外接圆的半径为 r，则 ，即 ，
到 BC 的距离为 ，
过点 O 作直线与 BC 平行弧 AC 于点 D，则 的面积恰好为 ，
点 P 由 D 点向 A 点移动的过程中， 的面积越来越大；
点 P 由 D 点向 C 点移动的过程中， 的面积越来越小；为使 的面积大于 ，只需要点 P 由 D 向 A 点移动，
由几何概型可知， 的面积大于 的概率等于 与 大小之比，
， ，
故 的面积大于 的概率为 ，
故答案为： ．
过点 O 作直线与 BC 平行弧 AC 于点 D，则 的面积恰好为 ，点 P 由 D 点向 A 点移动
的过程中， 的面积越来越大，结合几何概型即可求出
本题考查了几何概型的概率问题，考查了圆的有关知识和三角形的有关知识，属于中档题
16.【答案】
【解析】解：函数 的导数为 ，
图象上存在两点 M，N，在这两点处的切线都与 x 轴平行，
可得 ，即 在 有两解，
设 ， ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减，
可得 处 取得极小值，且为最小值 ，
由 时， ，
可得当 时， 在 有两解，
故答案为： ．
求得 的导数，可得切线的斜率，由题意可得 在 有两解，设 ，求得导数，
以及单调性和最小值，即可得到所求范围．
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查转化思想和构造函数法，
考查运算能力，属于中档题．
17.【答案】解： 若 p 为真： ，
，
集合 ，
若 q 为真： ，
，
集合 ；
若 p 是 q 成立的充分不必要条件，则 ，，
解得： ，
又 ，
实数 a 的取值范围为： ．
【解析】 解不等式 ，即可求出集合 A，解不等式 ，即可求出集合 B；
因为 p 是 q 成立的充分不必要条件，所以 ，再利用集合包含关系即可求出 a 的取值
范围．
本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的
关键，是基础题．
18.【答案】解：Ⅰ由已知数据得： ，
故 ，
代入公式 ，
故 ，
故回归方程为： ；Ⅱ由题意得 ，将 代入 ；
得 ，
故预测 2019 年该地区的粮食产量为 亿万吨．
【解析】Ⅰ求出 x，y 的平均数，求出相关系数，从而求出回归方程即可；Ⅱ代入 x 的值，
求出 y 的预报值即可．
本题考查了求回归方程问题，考查函数代入求值，是一道基础题．
19.【答案】解： 由频率分布直方图得：
成绩在 内的频率为： ，
成绩在 内的频率为： ，
估计这次考试学生成绩的中位数为： ．
估计这次考试学生成绩的平均数为：
．
成绩为 104 分或 105 分的同学共有 3 人，
成绩在 中的同学人有 人，从中任选 2 人，基本事件总数 ，
至少有 1 人成绩不低于 106 分包含的基本事件个数 ，
至少有 1 人成绩不低于 106 分的概率 ．
【解析】 由频率分布直方图求出成绩在 内的频率和成绩在 内的频率，
由此能估计这次考试学生成绩的中位数；利用频率分布直方图能估计这次考试学生成绩的平
均数．
成绩为 104 分或 105 分的同学共有 3 人，成绩在 中的同学人有 人，
从中任选 2 人，基本事件总数 ，至少有 1 人成绩不低于 106 分包含的基本事件个数
，由此能求出至少有 1 人成绩不低于 106 分的概率．
本题考查平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，
考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】 证：由题意， 是二面角 的平面角， 平面 OBCD， 平面
OAD
，又 ，
平面 OAC， ，
又 ，P 为 AC 的中点，
，又 ，
平面 ACD，
，
又 平面 OAD，则 ，
，
平面 BOP；
由 可知，OA、OB、OD 两两垂直，
以 O 为原点，OB、OD、OA 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 0， ， 0， ， 0， ，
由 ， 知 为等边三角形，则
，
， ， ，
平面 OPB 的一个法向量 ，平面 OPC 的一
个法向量 ，
，由图可知，二面角 的平面角为锐角，
二面角 的余弦值 ．
【解析】 先证 平面 OAC，再证 平面 ACD，然后证 平面 BOP；以 O 为原点建系，求出 O、B、C、P 四点的坐标，再求出两个平面的法向量，然后求二
面角．
本题主要考查空间中的垂直关系及二面角的求法，考查学生的直观想象能力及运算能力，属
于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ设 是椭圆的左焦点，连接 OP， ，PF；
由 ，
，
；
，则 ， ，则 ；
所以椭圆 C 的标准方程： ；Ⅱ 设直线 l 的方程为 ，
将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立 ，
消去 x 得 ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ；
设直线 AM 过 x 轴上的定点 ，由于 、t 三点共线，
则 ，即 ，
可得 ，
故直线 AM 过 x 轴上的定点 ．
【解析】Ⅰ利用几何性质有 ，再用椭圆的定义求 a；Ⅱ 设直线 l 的
方程为 ，将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去 x，列出韦达定理，再将韦达
定理代入所证的代数式即可得到证明；
设直线 AM 过 x 轴上的定点 ，由于 A、M、T 三点共线，得出直线 AM 和直线 AT 的
斜率相等，可得出 t 的表达式，代入韦达定理得出 t 的值，于是可得出直线 AM 所过 x 轴的
定点．
本题考查椭圆的方程，椭圆与圆的位置关系，代数式为定值，直线过定点问题，属于难
题．
22.【答案】解： 由 ，则 ；
所以 ，又 ；
所以切线方程为： ；
即函数 在点 处的切线方程： ；
的定义域为 且 ；
令 ，即 ，则 ；令 ，得 ；
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
要证 恒成立；
即证：
设 ，
，则 在 单调递减，在 上单调递增；
所以 ；
又 ，则 在 单调递减，在 上单调递增；
所以 ；
所以 ；
故当 时， 恒成立．
【解析】 先求出切点坐标，再求出切线的斜率，写出切线的方程；
求出导数，令 ， ，解出单调区间；
用分析法将要证的不等式分成两个函数，即需要证明 ，然后分别求不等式两边
的最值，从而得证．
本题考查切线，函数单调区间，不等式的证明，不等式的证明方法比较灵活多样且难度较大，
关键在于构造，属于难题．
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