江西省南昌市2020届高三第二轮复习测试卷理科数学（七）（PDF版附解析）.pdf

— 高三理科数学(七)第 1 页(共 4 页) — 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 理科数学(七) 命题人：南大附中 陈一君 审题人：江科附中 梁懿涛 本试卷分必做题和选做题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟． 注意事项： 1．客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写 作答．若在试题卷上作答，答题无效． 2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1．已知全集为 R ,集合    R ( ) 0 , R ( ) 0A x f x B x g x      ,则 ( ) ( ) 0f x g x  的解集为 A. A B B.  RC A B C.  RC A B D.  RA C B 2．已知复数 z 满足  1 i 3 iz    ，则复数 z 的共轭复数的模为 A. 2 B. 22 C. 2 D.1 3．已知命题 :p 00 x ,使得 0sin 00  xx ；命题 :q 对于 Rx  ，都有 1 xex ．则下 列结论正确的是 A. qp  B. qp  C. qp  D. qp  4．若实数 yx, 满足不等式组       022 042 0 yx yx x ，则 22 yx  的最小值为 A. 1 B. 4 C. 2 D. 5 4 5．函数 xx xy sin cos6  的部分图象大致为 A. B. C. D. 6．执行如图所示的程序框图,若输出 M 的值为3 ，则判断框中的条件可以为 A. 6i B. 7i C. 8i D. 6i — 高三理科数学(七)第 2 页(共 4 页) — 7．在 ABC 中，D 为 AC 上的一点且 π2 2, 2, 4AD DC AB BAC     ，E 为 BD 的中 点，则 BCAE A. 4 12  B. 2 22  C. 2 12  D. 4 22  8．已知数列 na 的通项公式为 152  nan ，前 n 项和为 nS ，数列 na 的前 n 项和为 nT ，则下 列结论正确的是 ①当 8n 时， nn ST  ； ②当 8n 时， 72SST nn  ； ③当 8n 时， nn ST  ； ④当 8n 时， 7STn  ； A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④ 9．已知函数   sin( )( 0)6 πf x x    ，若导函数  xf  在区间 0, 2π 上有且仅有 5 个零点，则 的取值范围为 A. 23 16[ , )6 3 B. 23 16( , )6 3 C. 13 8[ , )6 3 D. 13 8( , )6 3 10 ． 已 知 双 曲 线 1: 2 2 2 2  b y a xC 的 焦 点 为 1 2,F F ， P 是 C 上 一 点 ， 若 1 2 π 3F PF  ， 421 FF , 1 2PF F 的面积 3 .则双曲线C 的渐近线方程为 A. 03  yx B. 03  yx C. 02  yx D. 02  yx 11．已知函数   xxaxxf 32 23  在区间 5,1 上不是单调函数，则 a 的取值范围为 A. 72( , ] [0, )5   B. 72( , ) (0, )5   C. 72( ,0)5 D. 72[ ,0]5 12．已知函数  2xf 的图像关于点 0,2 对称，且当   ,0x 时，    xfxfx  恒成立，若 3cos,2cos,1cos  cba ，则下列结论正确的是 A.      bfafcf  B.    cbfbcf  C.    acfcaf  D.    bafabf  二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分． 13．函数 2 1 2 log (2 1)y x x   的单调递减区间为 ． 14．已知 3(0, ),sin π( )4 5π    ，则 cos ． 15．若某师范大学数学系派 13 个实习老师来某中学实习，现教务处要将这 13 个实习生分配到高 中三个年级,一个年级分 5 个,另外两个年级各分 4 个, 则有 种分配方案． 16．已知函数   xaxxxxf 1ln  与直线 1 xy 有两个不同的交点，则实数 a 的取值范围 为 ． — 高三理科数学(七)第 3 页(共 4 页) — 三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必做部分 17．（本小题满分 12 分）已知 ABC 的内角 , ,A B C 所对的边长分别为 , ,a b c ．若 abBc  2 1cos . （Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若 3c ，求 ABC 面积的最大值． 18．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA  平面 ABCD ， ABC 是正三角形， 3 ABPA ， CDAD  , 120CDA   ． （Ⅰ）求证：平面 PBD 平面 PAC ； （Ⅱ）求平面 PBC 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损 零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不 足再购买,则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求 X 的分布列； （Ⅱ）若要求 ( ) 0.5P X n  ,确定 n 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 19n  与 20n  之中选其一，应选用哪 个？ — 高三理科数学(七)第 4 页(共 4 页) — 20．（本小题满分 12 分）已知直线 :l 01  yx 过椭圆C ：  012 2 2 2  bab y a x 焦点 F 且 与C 相交于 NM , 两点， E 为 MN 的中点，且OE 的斜率为 4 3 ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点 0,1 且与 x 轴不重合的直线 1l 与椭圆C 相交于 HG, ，过点 0,1 且与 1l 垂直的直线与 圆 :   161 22  yx 交于 P Q、 两点，求四边形GPHQ 面积的取值范围． 21．（本小题满分 12 分）已知函数   xxxf ln22   ，其中 0  ． （Ⅰ）讨论  xf 的单调性； （Ⅱ）若  0, ，        4 3212ln12  xxxg ，证明：     0 xgxf ． （二）选做部分 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为      ty tx 34 2 13 （t 为参数），曲线        sin cos:1 y xC ( 为参数）经伸缩变换      yy xx 2 后得到曲线 2C ，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线 2C 的参数方程； （Ⅱ）若 P 为曲线 2C 上一点，求点 P 到直线l 的最大距离． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 （Ⅰ）设函数    522log 2  axxxf 的定义域为 R，求 a 的取值范围； （Ⅱ）已知 zyx ,, 为互不相等的正实数，且 1 zyx .求证： xyzzyx  444 . — 高三理科数学(七)第 5 页(共 4 页) — 2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷 理科数学(七)参考答案 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D D A B B C C A C C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分) 13． ,1 14． 10 2 15．270270 16．       2ln4 1, 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．【解析】（Ⅰ）由 abBc  2 1cos 及正弦定理可得：   BCCBBBCCBABBC cossincossinsin2 1cossinsinsinsin2 1cossin  1cos 2 3 πC C    ； （Ⅱ）由余弦定理可得： ababababbaCabbac  23cos2 22222 (当且仅当 ba  时取等号), 所以   4 33 4 33 2 332 1sin2 1 max   ABCABC SCabS . 18．【解析】（Ⅰ）证明：取 AC 的中点为 M ，因为 ABC 是正三角形， CDAD  ， 所以 ACBD  ，又 PA  平面 ABCD ， BDPA   BD 平面 PAC , 又因为 BD 平面 PBD ,所以平面 PBD 平面 PAC . （Ⅱ）易求：  90BAD , 1 CDAD ,又 PA  平面 ABCD ， 所以按如图所示建立空间直角坐标系 则               0,2 3,2 3,3,0,0,0,1,0,0,0,3,0,0,0 CPDBA , 所以    ,3,1,0,3,2 3,2 3,3,0,3        PDPCPB . 设平面 PBC 的法向量为  zyxm ,, ，平面 PAD 的法向量为 n ，所求锐二面角为 ，则            032 3 2 3 033 0 0 zyx zx PCm PBm ，取 2x ，则 2 3(2, ,2)3m  , 易证： AB 平面 PAD ，所以  0,0,3 ABn , — 高三理科数学(七)第 6 页(共 4 页) — 2 3 21cos .772 33 m n m n           19．【解析】（Ⅰ）由柱状图知,并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8， 9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2，从而： ( 16) 0.2 0.2 0.04P X     ； ( 17) 2 0.2 0.4 0.16P X      ； ( 18) 2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.24P X        ； ( 19) 2 0.2 0.2 2 0.4 0.2 0.24P X         ； ( 20) 2 0.2 0.4 0.2 0.2 0.2P X        ； ( 21) 2 0.2 0.2 0.08P X      ； ( 22) 0.2 0.2 0.04P X     ． 所以 X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 04.0 16.0 24.0 24.0 2.0 08.0 04.0 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 44.0)18( XP , 68.0)19( XP ,故 n 的最小值为 19． （Ⅲ）记Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）． 当 19n 时， ( ) 19 200 0.68 (19 200 500) 0.2 (19 200 2 500) 0.08E Y             404004.0)500320019(  ;当 20n 时， ( ) 20 200 0.88 (20 200 500) 0.08 (20 200 2 500) 0.04E Y             4080 ． 可知当 19n 时所需费用的期望值小于 20n 时所需费用的期望值,故应选 19n ． 20．【解析】（Ⅰ）设 1 1 2 2( , ) ( , )M x y N x y， ， 0 0( , )E x y ，则 2 2 1 1 2 2 1x y a b  ， 2 2 2 2 2 2 1x y a b  ， 2 1 2 1 1y y x x    ， 由此可得 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 ( ) 1( ) b x x y y a y y x x      ，因为 1 2 02x x x  ， 1 2 02y y y  ， 0 0 3 4 y x  ，所以 2 2 3 4 b a  ， 又由题意知，C 的一个焦点为 (1,0) ，故 2 2 1a b  .因此 2 4a  ， 2 3b  ， 所以C 的方程为 2 2 14 3 x y  . （Ⅱ）当 1l 方程为 1x 时，不妨设 3(1, )2G 、 3(1, )2H  ，且l PQ 方程为： 0y . 不妨设 (3,0)P 、 ( 5,0)Q  ，则 3GH  、 8PQ  .∴S 四边形ＧＰＨＱ= 1 1 3 8 122 2GH PQ      , 当 1l 方程为 ( 1) ( 0)y k x k   时，设 1 1( , )G x y 、 2 2( , )H x y , 由 2 2 ( 1) 14 3 y k x x y     得 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k     ， 且 4 2 2 264 4(4 12)(3 4 ) 144 144 0k k k k      恒成立. ∴ 2 2 1 2 1 22 2 8 4 12,3 4 3 4 k kx x x xk k     ,∴ 2 2 2 1 2 2 2 (1 )1 12 (3 4 ) kGH k x x k      , 又l PQ： 1 ( 1)y xk   ，设 3 3( , )P x y 、 4 4( , )Q x y , — 高三理科数学(七)第 7 页(共 4 页) — 由 2 2 1 ( 1) 2 15 0 y xk x y x          得 2 2 2 2( 1) (2 2) 1 15 0k x k x k      , 且 2 2 2 2 4 2(2 2) 4( 1)(1 15 ) 64 88 0k k k k k       恒成立, ∴ 2 2 3 4 3 42 2 2 2 1 15,1 1 k kx x x xk k      ,∴ 2 3 42 2 1 64 481 1 kPQ x xk k      , ∴S 四边形ＧＰＨＱ= 1 2 GH PQ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1 ) 64 48 16( 1)(4 3)12 62 (3 4 ) 1 (3 4 ) k k k k k k k          2 2 2 2 1 124 24 123 4 4 4 k k k k      ， 又 2 2 2 2 1 124 24 8 34 3 3 3 k k k k     , 综上可知四边形 GPHQ 面积取值范围是[12,8 3) . 21．【解析】（Ⅰ）   x x xxxf )2(2 22   （ 0x ）. 当 0 时，   0 xf ，所以  xf 在 ,0 上单调递减； 当 0 时，   ;2 200  xxf   xxf  2 20  , 所以  xf 在 2(0, )2  上单调递减，在 2( , )2   上单调递增. （Ⅱ）设      xgxfxF  ，则      4 3212ln2  xxxxF ,      x xxxF 121    0x . 令   2 10  xxF ，因为 0a ，所以  xF 在 1(0, )2 是单调递增， 在 1[ , )2  上单调递减.  max 1 1 1( ) ln( ) 12 2 2F x F          , 设   xxxG ln1 ,则    xGxx xxG  )0(1 在 1,0 上单调递减，在 ,1 上单调递增. 所以     1ln01  xxGxG , 故  max 1 1 1 1ln( ) 1 1 1 02 2 2 2F x              ,不等式得证. 22．【解析】（Ⅰ）由      ty tx 34 2 13 （t 为参数） 036432  yx , 所以直线l 的普通方程为 036432  yx , — 高三理科数学(七)第 8 页(共 4 页) — 将      yy xx 2 代入曲线        sin cos:1 y xC 得        sin 2 cos y x , 所以曲线 2C 的参数方程为        sin 2 cos y x ( 为参数）． （Ⅱ）设 cos( ,sin )2P   , 则 P 到直线l 的距离为 2cos( ) 4 6 33 cos sin 4 6 3 6 13 π 13 d          , 当 πcos( ) 16    时，   13 13396 max d . 23．【解析】（Ⅰ）由题意可知： 522  axx 在 Rx  上恒成立， 所以  522 min  axx . 因为       2222222222 min  aaxxaaxxaxx 所以 2 3 2 7522  aaa 或 （Ⅱ）证明：因为 222222444 2244 2244 2244 2 2 2 zyzxyxzyx zyzy zxzx yxyx        ， 又因为 222222222 22222 22222 22222 2 2 2 xyzzxyyzxzyzxyx xyzzyzx zxyyxzy yzxzxyx        ， 所以   xyzzyxxyzzyx  444 ，故不等式得证. — 高三理科数学(七)第 9 页(共 4 页) — 高三理科数学（七）选择填空详细解析 1. B【解析】    ( ) ( ) 0 0 0f x g x f x g x    或 ，所以解集为 RC A B . 2. A【解析】   21 i 3 i 1 i 21 iz z z z          . 3. D【解析】在直角坐标系中，作半径为 1 的圆（如图），设 xAOP  ， 则 1 1 11 sin 1 1 tan ,2 2 2AOP AOAOPS S S x x x           Ｔ扇形 ， 2 π0,x     sin tanx x x   . 当 π 2x  时， 1 sπ in2x x   .所以 0sin,0  xxx ，故 p 假； 当 0x 时，e 1 1x x   .故 q 假. 所以选 D 4. D【解析】不等式组表示的可行域（如图）， 22 yx  表示点  yx, 与 0,0 之间距离的平方，则   5 4 21 2 2 22min 22         yx 5. A【解析】由此函数为奇函数，可排除 B, C，又因为 2 π0,x     时 0cos,0sin  xxx ，所 以排除 D. 6. B【解析】由执行程序可知： 87 8log6 7log5 6log4 5log3 4log2 3log1 2log57 2222222  Mi 时，当 当 8i 时， 38loglog 22  MM ，此时输出符合题意。故选 B. 7. B【解析】在 ABC 中， E 为 BD 的中点，   ABACBCACABADABAE       ,3 2 2 1 2 1 所以        ABACACABBCAE 3 2 2 1   2 22 2 2236 1236 1 2 1 3 1 2 1 3 1 22       ACABABACABACABAC 8. C【解析】因为      8, 7, na naa n n n ，所以 当 8n 时,   nnnn SaaaaaaT   2121 当 8n 时,    nnn aaaaaaaaT   872121     77211 22 SSaaaaa nn   .故选 C 9. C【解析】设  xf  在 0, 2π 上的零点为 ix ，因为有且仅有 5 个零点，所以— 高三理科数学(七)第 10 页(共 4 页) — 9 11π π π 13 822 6 2 6 3       10. A【解析】由 1332cot 22 21  bbbS FPF  ， 又 3314,242 222 21  abcaccFF , 所以渐近线方程为 03 3 1  yxxy . 11. C【解析】   33 2  axxxf ，易得  xf  开口向上，且   30 f , 要使得  xf 在 5,1 上不是单调函数则     05 72 05 01       af f . 12. C【解析】由已知可得  xf 为奇函数，当   ,0x 时，       02       x xfxfx x xf , 设     x xfxF  ，则当   ,0x 时   0 xF ，且  xF 为偶函数, 所以  xF 在 ,0 上单调递增，且    xFxF  . 因为     02cos1cos3cos22130   , 所以              2cos1cos3cos2cos1cos3cos FFFFFF   , 即             b bf a af c cfbFaFcF  （ 0,0,0  cba ）,选 C. 13. ,1 .【解析】由    12 10112012 2  xxxxxx 或 ，设 12 2  xxt ， 则 ty 2 1log 因为 12 2  xxt 在       2 1, 上单调递减，在 ,1 上单调递增；而 ty 2 1log 单调递减， 所以函数  12log 2 2 1  xxy 的单调递减区间为 ,1 . 14. 10 2 【解析】由                 4,04,2 2 5 3 4sin,4 3,44,0   , 10 2 2 2 5 3 2 2 5 4 44coscos5 4 4cos                 . 15. 270270【解析】 2702703 32 2 4 4 4 8 5 13  AA CCC . — 高三理科数学(七)第 11 页(共 4 页) — 16.       2ln4 1, 【解析】原问题转化为 )0(ln111 2  xxxxa 有两个不等的实根 设        32 12ln111 x xxxFxxxxF  , 所以  xF 在 2,0 上单调递增，在 ,2 上单调递减.     2ln4 12max  FxF , 又因为 0x 时，   xF ； x 时，   xF , 所以 a 的取值范围为       2ln4 1, .