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2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷
文科数学(八)
命题人：江科附中 梁懿涛 审题人：南大附中 陈一君
本试卷分必做题和选做题两部分．满分150 分，考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写
作答．若在试题卷上作答，答题无效．
2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效．
3．考试结束后，监考员将答题卡收回
一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．集合 6{ N | N}1A x x
，集合 6{ N | N}1B xx
，则 A B
A．{0,1,2,5} B．{1,2,3,6} C．{3, 4,6} D．{1,2}
2．命题“对任意 2[1,2), 0x x a ”为真命题的一个充分不必要条件可以是
A． 4a B． 4a C． 1a D． 1a
3．欧拉公式 ie cos isinx x x （i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数
的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地
位，被誉为“数学中的天桥”， πi4
i
e
表示的复数位于复平面内
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
4．高二某班共有学生 60 名，座位号分别为 01， 02， 03，···， 60．现根据座位号，用系统抽
样的方法，抽取一个容量为 4 的样本．已知 03 号、18 号、48 号同学在样本中，则样本中还有一
个同学的座位号是
A．31号 B．32 号 C．33 号 D．34 号
5．设向量 ,a b 满足 2, 3a b a b ，则 2a b
A． 6 B．3 2 C． 10 D． 4 2
6．将函数 siny x 的图象向左平移 π
3
个单位，横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标扩大到原来的3
倍，所得的函数解析式为
A． 3sin(2 )3
πy x B． 1 2sin(2 )3
π
3y x
C． 13sin π( )2 3y x D． 1 23sin( )2
π
3y x
7．在等比数列{ }na 中，已知 1 1a ， 4 8a ，若 3a ， 5a 分别为等差数列{ }nb 的第 2 项和第6 项，
则数列{ }nb 的前7 项和为
A． 49 B． 70 C． 98 D． 140 — 高三文科数学(八)第 2 页(共 4 页) —
8．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为 a ，经过t 天后体积与天
数t 的关系式为： e k tV a ，若新丸经过50 天后，体积变为 4
9 a ；若一个新丸体积变为 8
27 a ，
则需经过的天数为
A．75天 B．100天 C．125天 D．150天
9．执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为
A． 3 B． 3 C． 0 D． 3
3
10．已知某几何体的三视图如图所示，若网格纸
上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为
A． 16
3
B． 16 2
3
C． 16
D． 16 2
11． 在 锐 角 ABC 中 ， 角 , ,A B C 的 对 边 分 别 为 , ,a b c ， 若 cos cos 2 3 sin
3sin
B C A
b c C ，
cos 3 sin 2B B ，则 a c 的取值范围
A． 3( , 3]2
B． 3( , 3]2 C． 3[ , 3]2
D． 3[ , 3]2
12． 已知 ( )f x 的定义域是(0, ) ，其导函数为 ( )f x ，若 ( )( ) 1 lnf xf x xx ，且 2(e) ef
（其中e 是自然对数的底数），则
A． (2) 2 (1)f f B． 4 (3) 3 (4)f f
C．当 0x 时， ( ) 0f x D．当 0x 时， ( ) e 0f x x
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.
13．已知 1 7a a ，则 1a a ______．
14．已知实数 x ， y 满足约束条件
1 0
2 2
x y
x y
y a
，若目标函数 2z x y 的最大值为 5，则 a 的
值为_______．
15．已知双曲线C
2 2
2 2: 1( 0, 0)x y a ba b 的右焦点为 F ，左顶点为 A ．以 F 为圆心， FA 为
半径的圆交C 的右支于 ,P Q 两点， APQ 的一个内角为60 ，则C 的离心率为_________．
16．函数 ( ) sin cos sin cosf x x x x x 的最大值是_________． — 高三文科数学(八)第 3 页(共 4 页) —
D
A
C M
E
B
M D
A B
C
三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必做部分
17．(本小题满分 12 分)已知数列{ }na 满足： 1 2
11, ,2a a 且对任意的 *Nk ，均有
2[3 ( 1) ] 2 2[( 1) 1] 0k k
k ka a ．
（Ⅰ）令 2 1n nb a ，判断{ }nb 是否为等差数列，并求出 nb ；
（Ⅱ）记{ }na 的前 n 项的和为 nT ，求 20T ．
18．(本小题满分 12 分)随着中国的经济快速增长，
人民生活水平逐步提升，人们的生育意愿进入下行
通道，随之出现了人口老龄化和劳动力短缺等各类
问题．某大学“人口与计划生育”课题组为了调研人
们对“延迟退休年龄政策”的态度，从年龄在15 ~ 65
岁的人群中随机调查 100 人，调査数据的频率分布
直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果
如下：
年龄 [15 ， 25) [25 ，35) [35 ， 45) [45 ，55) [55 ， 65)
支持“延迟退休”的人数 15 5 15 28 17
（Ⅰ）由以上统计数据填 2 2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45
岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
45 岁以下 45 岁以上 总计
支持
不支持
总计
（Ⅱ）若以 45 岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取 4 人参加某项活
动．现从这 4 人中随机抽 2 人，求抽到的 2 人都是 45 岁以下的概率．
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
19．(本小题满分 12 分)如图，已知长方形 ABCD 中， 2AB ， 2AD ，M 为CD 的中点．将
ADM 沿 AM 折起得到四棱锥 D ABCM ，点 E 为棱 DB 的中点．
（Ⅰ）求证：直线 //CE 平面 ADM ；
（Ⅱ）若点 D 在平面 ABCM 上的射
影恰好在直线 AC 上，求空间几何体
DEACM 的体积．
2
0( )P K K 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
0K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 — 高三文科数学(八)第 4 页(共 4 页) —
20．(本小题满分 12 分) 已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b 的离心率为 3
2
，左、右焦点分别为
1F 、 2F ， M 为椭圆上异于长轴端点的点，且 1 2MF F 的最大面积为 3 ．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l 是过点 1,0P 点的直线，且l 与椭圆C 交于不同的点 A、 B ，是否存在直线
0 0 0: 2l x x x ，使得点 A、 B 到直线 0l 的距离分别为 Ad 、 Bd ，且满足 A
B
d PA
d PB 恒成立，
若存在，求 0x 的值，若不存在，说明理由．
21．(本小题满分 12 分)已知函数 ( ) ( )ln 1f x x a x ax ．
（Ⅰ）若当 1x 时，都有 ( ) 0f x ，求实数 a的取值范围；
（Ⅱ）求证： 1 1 1 1 ln( 1)3 5 7 2 1 nn
， *Nn ．
（二）选做部分
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时
用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 cos 3 sin (
sin 3 cos
x
y
为参数），坐标原点O 为极
点 ， x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 ， 取 相 同 长 度 单 位 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为
πcos( ) 2( 0,0 2π)6 ．
（Ⅰ）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标．
23．(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数 ( ) | 1| | 2 |f x x x a ， Ra ．
（Ⅰ）当 0a 时，求不等式 ( ) 5f x 的解集；
（Ⅱ）若 ( ) 2f x 对于 Rx 恒成立，求a的取值范围．
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2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷
文科数学(八)参考答案
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A C D C B A C A B D
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分)
13． 3 5 14． 1
3 15． 4
3 16． 6
2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)
17．【解析】（Ⅰ）令 2 1k n ， *Nn ， 2 1 2 1
2 1 2 1[3 ( 1) ] 2 2[( 1) 1] 0n n
n na a
，
化简得 2 1 2 12 2 4 0n na a ，即 2 1 2 1 2n na a ．又 2 1n nb a ， 1 2 1n nb a ，
1 2 1 2 1 2n n n nb b a a ， { }nb 是以 1 1 1b a 为首项，以 2 为公差的等差数列，
1 ( 1) 2 2 1nb n n ．
（Ⅱ）令 2k n ， *Nn ，可得 2 2 2(3 1) 2 2(1 1) 0n na a ，即 2 2
2
1
2
n
n
a
a
，
2 4 6 , , , ......a a a ，是以 2
1
2a 为首项，以 1
2
为公比的等比数列；
又由（Ⅰ）可知 1 3 5 2 1, , , ..., na a a a ，是以 1 1a 为首项，以 2 为公差的等差数列．
20 1 3 19 2 4 20( ..... ) ( ..... )T a a a a a a
101 1[(1 ( ) ]10 9 2 2[10 1 2] 12 1 2
10
1101 2 ．
18．【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图知 45 岁以下与 45 岁以上各 50 人，
故可得 2 2 列联表如下：
45 岁以下 45 岁以上 总计
支持 35 45 80
不支持 15 5 20
总计 50 50 100
由列联表可得
2
2 100 (35 5 45 15) 6.25 3.84150 50 80 20K
，
所以在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群对，“延迟退休年龄
政策”的支持度有差异；
(Ⅱ)设抽取 4 人中，45 岁以下的人记为 1 2 3, ,a a a ，45 岁以上的人记为b ，从中任选两人，共有
1 2,a a“ ”， 1 3,a a“ ”， 1,a b“ ”， 2 3,a a“ ”， 2 ,a b“ ”， 2 ,a b“ ”6 种，其中 2 人都是 45 岁以下的有— 高三文科数学(八)第 6 页(共 4 页) —
1 2,a a“ ”， 1 3,a a“ ”， 2 3,a a“ ”3 种，所以所求概率为 1
2
．
19．【解析】(Ⅰ)设线段 AD 的中点为 F ，连结 ,EF MF ，则 //EF MC ，
∴四边形 EFMC 是平形四边形，∴ / /FM EC ．
又 FM 平面 ADM ， /CE 平面 ADM ，
从而直线 / /CE 平面 ADM ；
（Ⅱ）连结 ,AC BD ， AC BD O ， AM BD N ，
由 AB AD
AD DM ， RT ADM ～ RT BAD ，∴ 90ADB DAM DMA DAM ，
∴ 90DAN ，即 DB AM ．
∵点 D 在平面 ABCM 的射影恰好落在直线 AC 上，∴点 D 在平面 ABCM 的射影为O ．
∵ 2, 1AD DM ，∴ 3AM ，∴ 6
3DN ．
又 6
2DO ，∴ 6 6 6
2 3 6NO ，∴ 2 2 2 26 6 2( ) ( )3 6 2DO DM NO ．
∴ 1 3 2 2 1 2 123 2 2 3 4 3DEACM D ABCM E ABCV V V ．
20．【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为 2 0c c ，且 1 2MF F 的最大面积为 3 ，则 3bc ，
由已知条件得
2 2 2
3
2
3
c
a
bc
a b c
，解得
2
1
3
a
b
c
，因此，椭圆C 的标准方程为
2
2 14
x y ；
（Ⅱ）当直线l 不与 x 轴重合时，设直线l 的方程为 1x my ，设点 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，
将直线l 的方程与椭圆方程联立 2
2
1
14
x my
x y
，消去 x 并整理得 2 24 2 3 0m y my ，
D
A
C M
E
B
M D
A B
C
F
O
N
O
N — 高三文科数学(八)第 7 页(共 4 页) —
2 2 24 12 4 16 3 0m m m ，由韦达定理得 1 2 2
2
4
my y m
，
1 2 2
3
4y y m
． A
B
d PA
d PB ，即 0 1 1
0 2 2
x x y
x x y
，即 0 1 1
0 2 2
1
1
x my y
x my y
，
整理得
21 2
0
1 2
2
32 ( )2 41 1 42
4
mmy y mx my y
m
；
当直线l 与 x 轴重合时，则直线l 与椭圆C 的交点为左、右顶点，设点 2,0A 、 2,0B ，
1
3
PA
PB ， 0
0
2
2
A
B
xd
d x
，由 A
B
d PA
d PB ，得 0
0
2 1
2 3
x
x
，解得 0 4x ．
综上所述，存在直线 0 : 4l x ，使得 A
B
d PA
d PB ．
21．【解析】（Ⅰ）∵当 1x 时，都有 ( ) 0f x ，∴必有 (1) 1 0f a ，
1a ． ( ) ln 1f x x a ax ，令 ( ) ( )g x f x ， 2
1( ) 0ag x x a
x x x
，
∴ ( )f x 在(1, ) 上单调递增，∴ ( ) (1) 1f x f ，
∴ ( )f x 在(1, ) 上单调递增， ( ) (1) 1 0f x f a 成立．综上分析， 1a ．
（Ⅱ）由（1），当 1a 时， ( ) ( 1)ln 1 0f x x x x ，即 1ln 1
xx x
对 1x 恒成立，
令 1nx n
，得
1 11 1ln 1 2 11
n
n n
nn n
n
，即ln( 1) l 1n 2 1n n n
．
∴ 1ln 2 ln1 2 1
， 1ln 3 ln 2 5 1
，， 1ln( 1) ln 2 1n n n
，
累加得 1 1 1ln( 1) ln1 3 5 2 1n n
，
即 1 1 1 1 ln( 1)3 5 7 2 1 nn
， *n N 命题得证．
22．【解析】（Ⅰ）由 2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3 cos ) 4x y ，
得曲线 2 2: 4C x y ．直线l 的极坐标方程展开为 3 1cos sin 22 2 ，
故l 的直角坐标方程为 3 4 0x y ．
（Ⅱ）曲线C 的极坐标方程为 2 ，代入直线l 的极坐标方程 3 1: cos sin 22 2 ， — 高三文科数学(八)第 8 页(共 4 页) —
得 3 cos sin 2 ， πcos( ) 16 ， 11π
6 ，
所以直线l 与曲线C 交点的极坐标为 11π(2, )6
．
23．【解析】（Ⅰ）当 0a 时， ( ) | 1| | 2 | | 1| | 2 |f x x x a x x ．
( ) 5f x ，
1
3 1 5
x
x
或 1 0
1 5
x
x
或 0
3 1 5
x
x
，
2 1x 或 1 0x 或 40 3x ， 42 3x ，
不等式的解集为 4[ 2, ]3 ；
（Ⅱ） ( ) | 1| | 2 | | 1| | | |1 |2 2
a af x x x a x x ，当且仅当
2
ax 时取等号，
( ) ( ) |1 |2 2min
a af x f ． ( ) 2f x 对于 x R 恒成立，
|1 | 22
a ， 2a 或 6a ，
a 的取值范围为( , 2] [6, ) ．
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高三文科数学（八）选择填空详细解析
1．D【解析】 {0,1,2,5}A ， {1,2,3,6}B ， A B {1,2}A B ．
2．B【解析】命题的等价条件是： 2
max( )a x ，即 4a ．A 是充要条件，C、D 是必要不充分条
件，只有 B 是充分不必要条件．
3． A【解析】 πi4
i i π π 2 2i(cos -isin ) iπ π 4 4 2 2cos isine 4 4
．
4． C【解析】抽取的样本号成公差为 15 的等差数列：03，18，33，48，故选 C．
5． D【解析】由已知得 2( ) 2 9 2 9a b a b ，得 2a b ，所以
2| 2 | ( 2 ) 4 36 8 4 2a b a b ．
6． C【解析】 π 1 π 1 πsin sin( ) sin( ) 3sin( )3 2 3 2 3y x y x y x y x ．
7． B【解析】在等比数列{ }na 中，由 1 1a ， 4 8a ，得 2q ， 3 4a ， 5 16a ，即 2 4b ，
6 16b ， 1 7 2 6
7
7( ) 7( ) 7(4 6) 702 2 2
b b b bS ，故选 B．
8． A【解析】由题意，得 504 e9
ka a ，解得 25 2e 3
ka ；令 8e 27
kta a ，即
3 25 3 752e ( ) (e ) e3
kt t t ，即需经过的天数为 75 天．
9． C【解析】每次循环的步长为 3，其进行 674 次循环，每次循环产生周期数列：
3, 3, 3, 3, 中的一项，输出的前 674 项的和为 0．
10． A【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，记为
三棱锥 A BCD ，将其放在棱长为 4 的正方体中，如图所示，
2 2, 4AD BC BD ，且 ,AD BD AD BC ，
BC BD ，所以 AD 面 BCD ，
所以三棱锥 A BCD 的体积为
1 1 1 162 2 2 2 43 3 2 3A BCD BCDV AD S ．
11．B【解析】由 cos cos 2 3 sin
3sin
B C A
b c C ，得 cos cos sin cos sin cos
sin
c B b C C B B C
bc b C
sin( ) sin 2 3 sin
sin sin 3sin
B C A A
b C b C C
，解得 3
2b ．由 πcos 3 sin 2sin( ) 26B B B ，
∴ π π
6 2B ， π
3B ， 1sin
b
B ．∴ 2π
3A C ，由 2π π0 3 2C A ， π0 2A ，
得 π π
6 2A ，∴ sin sina c A C
2π 3 3 πsin sin( ) sin cos 3 sin( )3 2 2 6A A A A A ，∵ π π
6 2A ，∴ π π 2π
3 6 3A — 高三文科数学(八)第 10 页(共 4 页) —
∴ 3 πsin( ) 12 6A ，∴ 3 π3 sin( ) 32 6A ，即 3( , 3]2a c ．
12．D【解答】构造函数 ( )( ) f xg x x ，则 2
( ) ( ) 1 ln( ) xf x f x xg x x x x
，对其两边积分得
21( ) ln (ln )2g x x x c ，又 2(e) ef 得 (e) 1(e) ee 2
fg C ，所以 1e 2C ，
即 21 1( ) (ln ) ln e2 2g x x x ，令 lnt x ，则二次函数 21 1e2 2y t t 的对称轴为
1t ，即 ex ，且图象开口向下， (2) (1)g g ，即 (2) (1)
2 1
f f ，故 (2) 2 (1)f f ，所以 A 项
错误；
(3) (4)g g ，所以 4 (3) 3 (4)f f ，故 B 项错误；根据开口向下的二次函数的图象可知，当 0x
时， ( ) 0f x 不正确，故C 项错误；
当 0x 时，要使 ( ) e 0f x x 成立，只需 ( ) e 0f x
x 成立，
显然二次函数 21 1e2 2y t t 在对称轴 1t 处取得最大值e ，很明显 ( ) e 0f x
x 成立，故
D 项正确．
13． 3 5 【解析】 1 2 1 2( ) ( ) 4 45a a a a ， 1a a 3 5 ．
14． 1
3
【解析】作出不等式对应的平面区域如图
( 1, )B a a ， 2 2, , (0, 1)D a a C ，
由 2z x y ，得 2y x z ，
由图象可知当直线 2y x z ，经过点 D 时，
直线 2y x z 的截距最小，此时 z 最大为5 ，
即 2(2 2) 5a a ，得 1
3a ．
15． 4
3
【解析】如图，设左焦点为 1F ，圆与 x 轴的另一个交点为 B ， APQ 的一个内角为60 ，
30PAF ， 60PBF PF AF a c ，
1 3PF a c ，在 1PFF 中，由余弦定理可得
2 o2 2
1 1 12 cos120PF PF FF PF FF ．
2 2 2 43 4 0 3 4 0 3c ac a e e e ．
16． 6
2
【解析】令 sin cosx x t ，则
21sin cos 2
tx x ，
21( ) ( ) 2
tf x g t t ，由
21 1 1sin cos sin 2 [0, ]2 2 2
tx x x ，得 [ 1,1]t ． — 高三文科数学(八)第 11 页(共 4 页) —
方法一：∵
2
2 2 21 1 3( ) ( 1 )(1 )2 2 2
tt t t ，∴
21 6
2 2
tt ，即 ( )f x 的最大值为
6
2
，此时 6
3t ．
方法二：由 2
1( ) 1 21
2
tg t
t
，易知当 6[ 1, ]3t 时， ( ) 0g t ，函数 ( )g t 单调递增；当
6[ ,1]3t 时， ( ) 0g t ，函数 ( )g t 单调递减．∴ max
6 6( ) ( )3 2f x g ．
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