2020 年河南省许昌市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题）
1. 已知集合，集合，则
A. B. C. D.
2. 已知，则
A. B. C. 2 D.
3. 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：
产量万件 2 3 4
单位成本元件 3 a 7
现根据表中所提供的数据，求得 y 关于 x 的线性回归方程为，则 a 值等于
A. B. 5 C. D. 6
4. 在区间上随机取一个数 k，使直线与圆相交的概率为
A. B. C. D.
5. 在各项均为正数的等比数列中，是它的前 n 项和，若，且，则
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
6. 若直线与曲线相切，则
A. 3 B. C. 2 D.
7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，
数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数
图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征，
已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是
A. B.
C. D.
8. 已知程序框图如图所示，则输出的
A.
B.
C.
D.
9. 已知斜率为的直线 l 经过双曲线的上焦点 F，且与双曲线的上、下两支都相交，则双曲
线的离心率 e 的取值范围是
A. B. C. D. 10. 如图，已知等腰梯形 ABCD 中，，E 是 DC 的中点，P 是
线段 BC 上的动点，则的最小值是
A. 1 B. 0 C. D.
11. 设数列的前 n 项和为，且，，则数列的前 10 项的和是
A. 290 B. C. D.
12. 已知函数关于 x 的方程，有 5 不同的实数解，则 m 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题）
13. 已知，，则______．
14. 在我市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学
生，他的数学成绩小于 110 分的概率为______．
15. 已知的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为______．
16. 中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期
的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直
的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之
为整腾，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面
ABCE，四边形 ABCD 为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积
为，则阳马的外接球的表面积等于______．
三、解答题（本大题共 7 小题）
17. 设函数
Ⅰ当时，求函数的值域；
Ⅱ的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且，，，求的面积．
18. 如图四棱锥中，底面 ABCD 是正方形，，，且，E 为 PD 中点．
求证：平面 ABCD；
求二面角的正弦值．19. 由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的开讲啦是中国首档青年电视公开课，每期
节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年
现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，
受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了 A、B 两个
地区的 100 名观众，得到如表的列联表，已知在被调查的 100 名观众中随机抽取 1 名，
该观众是 B 地区当中“非常满意”的观众的概率为．
非常满意 满意 合计
A 30 15
B
合计
完成上述表格并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系；
若以抽样调查的频率为概率，从 A 地区随机抽取 3 人，设抽到的观众“非常满意”的人数
为 X，求 X 的分布列和期望．
附：参考公式：．
20. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其右焦点为，且点 在椭圆 C
上．
求椭圆 C 的方程；
设椭圆的左、右顶点分别为 A、B，M 是椭圆上异于 A，B 的任意一点，直线 MF 交椭
圆 C 于另一点 N，直线 MB 交直线于 Q 点，求证：A，N，Q 三点在同一条直线上．21. 已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数图象过点，求证：．
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线的参数方程为为参数，其中，以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的直角坐标方程；
已知曲线与曲线交于 A，B 两点，点，求的取值范围．
23. 已知函数
当，时，求不等式的解集；
若，，的最小值为 2，求的最小值．答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题通过集合运算来考查不等式的解法，考查计算能力，属于基础题．
先化简集合，即解一元二次不等式，和对数不等式，再求交集．
【解答】
解：根据题意：集合，集合，
，
故选 A．
2.【答案】C
【解析】解：由，
得．
故选：C．
利用虚数单位 i 的运算性质化简 z，再由复数模的计算公式求解．
本题考查虚数单位 i 的运算性质，考查复数模的求法，是基础的计算题．
3.【答案】B
【解析】解：，，
代入线性回归方程为，得，
解得．
故选：B．
由已知表格中的数据求得与的值，代入线性回归方程求解 a 值．
本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同
时考查了计算能力，属于较易题．
利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 k，最后根据几何
概型的概率公式可求出所求．
【解析】
解：圆的圆心为
圆心到直线的距离为
要使直线与圆相交，则，解得．
在区间上随机取一个数 k，使与圆相交的概率为．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，等比数列中，若，则，则有，又由，则，
则有，解可得，
则有，
则有；
故选：C．
根据题意，由等比数列的性质可得，变形可得，进而求出，由等比数列的通项公式可得 q 与
的值，结合等比数列的前 n 项和公式计算可得答案．
本题考查等比数列的前 n 项和公式的应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知
识，考查运算求解能力．
设出切点坐标，欲求 k 的值，只需求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切线处的
导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】
解：，
，
设切点为，得切线的斜率为 ，
即曲线在点处的切线方程为：
，即，
直线与曲线相切，
，即，
即，
则．
故选 A．
7.【答案】D
【解析】解：函数定义域为，排除 A，
函数关于 y 轴对称，则函数为偶函数，排除 B，
C 选项中，当时，，不满足条件．排除 C，
故选：D．
根据函数图象特点，结合奇偶性，定义域，取值范围，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性，定义域以及特殊值法，利用排除
法是解决本题的关键．比较基础．
8.【答案】B
【解析】解：，，；
，，；
，，；
，，；
，，；跳出循环，输出结果．
故选：B．
根据流程图一步一步运算，直到跳出循环．
本题考查流程图，属于基础题．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可得：，所以，因此，
故选：D．
根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出 a，b 的关系，然后求出离心率的范
围．
本题考查直线的斜率，双曲线的应用，考查转化思想，是基础题．
10.【答案】D
【解析】解：由等腰梯形的知识可知，
设，则，
，
，
当时，取得最小值．
故选：D．
计算 cosB，设，把代入得出关于 x 的函数，根据 x 的范围得出最小值．
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：，
，
当时，，
两式相减可得，
即，
，
数列是以 1 为首项，以 4 为公差的等差数列，
，
，
，
数列的前 10 项的和是，
故选：C．
根据数列的递推公式可得数列是以 1 为首项，以 4 为公差的等差数列，再根据裂项求和即可
求出．
本题考查了数列的递推公式和数列的求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思
想方法，是中档题．
利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或画出函数图象，数形结合得答案．
【解答】
解：设，则，
由，解得，
当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．
当时，函数取得极大值也是最大值为．
方程化为．
解得或．
如图画出函数图象：
可得 m 的取值范围是
故选 C．
13.【答案】
【解析】解：，
则：，
所以：，
则：，
故答案为：．
直接利用三角函数关系式的定义和和角公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力
和转换能力，属于基础题型．
14.【答案】
【解析】解：，，
又，，
，
则．
他的数学成绩小于 110 分的概率为．
故答案为：．
由已知可得，求出，得，再由对立事件的概率得答案．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查
曲线的对称性，属于基础题．
15.【答案】80
【解析】解：令，可得的展开式中各项系数的和为，．
故，故该展开式中常数项为，
故答案为：80．
先求出 a 的值，再把的按照二项式定理展开，可得的展开式中常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础
题．
16.【答案】
【解析】解：鳖臑可看做如下图所示的长方体的一部分：
则长方体外接球即为鳖臑的外接球，
外接球半径为：，
又，，
连接 AC，BD，交于，取 PC 中点 O，连接，
可知：，
则，
．
可知 O 为阳马的外接球球心，则外接球半径，
阳马的外接球表面积．
故答案为：．
将鳖臑放入长方体中，利用长方体体对角线长表示出鳖臑半径，
利用外接球体积求解出 PA；通过长度关系可确定阳马的外接
球球心为 PC 中点，从而可得半径，代入表面积公式求得外接
球表面积．
本题考查多面体的外接球体积和表面积的相关计算，关键是能够根据多面体的特征确定球心
的位置，进而求得半径，是中档题．
17.【答案】本题满分为 12 分
解：Ⅰ，分
，
，分
，
函数的值域为； 分
Ⅱ，
，
，
，
，即，分
由余弦定理，，
，即，
又，
，分
分
【解析】Ⅰ利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由已知可求范围，利用正弦
函数的性质可求其值域．
Ⅱ由已知可求，可求范围，从而可求，由余弦定理解得 c 的值，即可根据三角形的面积公式计算得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积公式
在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】解：证明：底面 ABCD 为正方形，，
，，平面 PAB，，
同理，，
，平面 ABCD．
解：如图，分别以 AB，AD，AP 所在的直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
设正方形 ABCD 的边长为 2，
则 0，，2，，1，，0，，
则 1，，0，，
设平面 ABE 的一个法向量 y，，
则，取，得，
同理得平面 BCE 的一个法向量 0，，
，
二面角的正弦值为．
【解析】推导出，，从而平面 PAB，进而，同理，，由此能证明平面 ABCD．
分别以 AB，AD，AP 所在的直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出
二面角的正弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的
位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：完成列联表如下：
非常满意 满意 合计
A 30 15 45
B 35 20 55
合计 65 35 100
则，
没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．
从 A 地区随机抽取 1 人，抽到的观众“非常满意”的概率为，
随机抽取 3 人，X 的可能取值为 0，1，2，3，
，
，
，
，
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
．
【解析】完成列联表，求出，从而没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．
从 A 地区随机抽取 1 人，抽到的观众“非常满意”的概率为，随机抽取 3 人，X 的可能取值为
0，1，2，3，由此能求出 X 的分布列和 EX．本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分
布等基础知识，考查学生的逻辑分析能力、运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：不妨设椭圆的方程为，，
由题意可得，解得，，
故椭圆的方程，
证明：设，，直线 MN 的方程为，
由方程组，消去 x 整理得
，，
直线 BM 的方程可表示为，
将此方程与直线成立，可求得点 Q 的坐标为，
，，
，
，
向量和有公共点 A，
，N，Q 三点在同一条直线上．
【解析】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求
解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．
不妨设椭圆的方程为，，由题意可得，解得即可，
设，，直线 MN 的方程为，由方程组，消去 x 整理得，根据韦达定理求出点 Q 的坐标，根
据向量即可求出，且向量和有公共点 A，即可证明．
21.【答案】解：函数的定义域为，又，
当时，，在上单调递增；
当时，由得，
若，则在上单调递增；
若，则在上单调递减；
证明：函数图象过点，可得，此时，
要证，令，则，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
由，即，故存在使得，此时，故，
当时，，当时，，
函数在上单减，在上单增，
故当时，有最小值，
成立，即得证．
【解析】求导后，分类讨论解不等式即可；
构造函数，求其最小值大于等于 0 即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属
于中档题．
22.【答案】解：，，由，
曲线的直角坐标方程为．
将曲线的参数方程为为参数，带入曲线的直角坐标方程．
化简得，且，可得，
设 A，B 两点对应的参数分别为，t2，则有，，
所以的取值范围为．
【解析】按公式将极坐标转化成直角坐标方程，可以用参数方程，用参数方程中的参数表示
成所求的转化．
本题考查极坐标，参数方程，直角坐标方程的相互转化，用参数方程求取值范围，属于中档
题．
23.【答案】解，时，或或，
解得：，
所以原不等式的解集为．
，，时，，
，，
当且仅当，时取等．
的最小值为．
【解析】，时，或或，解得：，所以原不等式的解集为．
先用绝对值不等式的性质求出的最小值，然后用基本不等式可得．
本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．
微信/支付宝扫码支付