安徽省芜湖市2020届高三上学期期末质量监控理科数学试题图片版含答案.pdf

２０１９—２０２０学年度第一学期芜湖市中小学校教育教学质量监控 高三数学（理科）参考答案 一、选择题：本题共 １２小题，每小题 ５分，共 ６０分  题　号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答　案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ 二、填空题：本题共 ４小题，每小题 ５分，共 ２０分  １３８　　１４２４１　　１５３２π ３ 槡　　１６ ３ 三、解答题：共 ７０分  １７（本小题满分 １２分） （１）面 ＰＣＤ⊥面 ＡＢＣＤ，ＢＣ⊥ＣＤ，面 ＰＣＤ∩面 ＡＢＣＤ＝ＣＤ， 所以 ＢＣ⊥面 ＰＣＤ， ∴ＢＣ⊥ＤＥ， 又∵ＰＤ＝ＣＤ，Ｅ为 ＰＣ中点， ∴ＥＤ⊥ＰＣ，ＢＣ∩ＰＣ＝Ｃ ∴ＥＤ⊥面 ＰＢＣ 故 ＥＤ⊥ＢＰ ５分……………………………………… （２）以 Ｄ为坐标原点，ＤＡ，ＤＣ，ＤＰ分别为 ｘ轴，ｙ轴和 ｚ轴建立空间直角坐标系， 由（１）可知，ＢＤ在平面 ＰＢＣ的射影为 ＥＢ，即∠ＤＢＥ＝３０°， 不妨设 ＣＤ＝２，由 ＰＤ＝ＣＤ 槡＝ ２ＤＥ得 ＥＤ 槡＝ ２， ∴ＢＤ 槡＝２２，故 ＢＣ＝２， 易得 Ｄ（０，０，０），Ｐ（０，０，２），Ｃ（０，２，０），Ｂ（２，２，０） ∴ＰＢ→ ＝（２，２，－２），ＰＣ→ ＝（０，２，－２），ＤＢ→ ＝（２，２，０）， 设平面 ＰＢＣ与平面 ＰＢＤ的法向量分别为ｎ１ → ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１）和ｎ２ → ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则 ｎ１ → ＝（０，１，１） 由 ｎ２ →·ＰＢ→ ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）·（２，２，－２）＝２ｘ２＋２ｙ２－２ｚ２＝０ ｎ２ →·ＤＢ→ ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２）·（２，２，０）＝２ｘ２＋２ｙ２ { ＝０ ，令 ｙ２＝１，则 ｘ２＝－１，ｚ２＝０， ∴ｎ１ → ＝（－１，１，０） ）页４共（页１第案答考参）理（学数级年三高市湖芜∴ｃｏｓ＜ｎ１ →，ｎ２ → ＞＝１ ２， 所以二面角 Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小 ６０° １２分………………………………………………… １８（本小题满分 １２分） （１）ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ（ｃｏｓｘｃｏｓπ ６＋ｓｉｎｘｓｉｎπ ６）－１ ４ ＝槡３ ２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋１ ２ｓｉｎ２ｘ－１ ４ ＝槡３ ４ｓｉｎ２ｘ－１ ４ｃｏｓ２ｘ＝１ ２ｓｉｎ（２ｘ－π ６） 所以函数 ｆ（ｘ）周期为 Ｔ＝π． ６分………………………………………………………… （２）ｆ（α）＝１ ２ｓｉｎ（２α－π ６）＝２ ５，所以 ｓｉｎ（２α－π ６）＝４ ５ 因为 α∈（０，π ４），得 ２α－π ６∈（－π ６，π ３），所以 ｃｏｓ（２α－π ６）＝３ ５ ｓｉｎ２α＝ｓｉｎ［（２α－π ６）＋π ６］＝ｓｉｎ（２α－π ６）ｃｏｓπ ６＋ｃｏｓ（２α－π ６）ｓｉｎπ ６ ＝４ ５×槡３ ２＋３ ５×１ ２＝ 槡４３＋３ １０ ． １２分……………………………………………………… １９（本小题满分 １２分） （１）由题意可得｜ＭＰ｜＋｜ＮＰ｜＝｜ＰＱ｜＋｜ＮＰ｜＝４＞｜ＭＮ｜＝２， 所以动点 Ｐ的轨迹是以 Ｍ，Ｎ为焦点，长轴长为 ４的椭圆， 即曲线 Ｃ的方程为：ｘ２ ４＋ｙ２ ３＝１ ５分…………………………………………………… （２）由题意可设 ｌ２的方程为 ｘ＝ｔｙ＋１ 联立方程得 ｘ２ ４＋ｙ２ ３＝１ ｘ＝ｔｙ{ ＋１ 　（３ｔ２＋４）ｙ２＋６ｔｙ－９＝０ 设 Ｄ（ｘ１，ｙ１），Ｅ（ｘ２，ｙ２），则由根与系数关系有 ｙ１＋ｙ２＝－ ６ｔ ３ｔ２＋４ ｙ１·ｙ２＝－ ９ ３ｔ２{ ＋４ 所以｜ＤＥ｜＝ １＋ｔ槡 ２ （ｙ１＋ｙ２）２－４ｙ１ｙ槡 ２ ＝ １＋ｔ槡 ２ （ －６ｔ ３ｔ２＋４）２－４ －９ ３ｔ２槡 ＋４＝１２（１＋ｔ２） ３ｔ２＋４ 同理｜ＡＢ｜＝１２（１＋ｔ２） ３ｔ２＋４ ｌ１与 ｌ２的距离为 ｄ＝ ２ １＋ｔ槡 ２ ９分………………………………………………………… ）页４共（页２第案答考参）理（学数级年三高市湖芜所以四边形 ＡＢＤＥ面积为 Ｓ＝２４× １＋ｔ槡 ２ ３ｔ２＋４ 令 １＋ｔ槡 ２ ＝ｕ（ｕ≥１）得 Ｓ＝ ２４ｕ ３ｕ２＋１＝ ２４ ３ｕ＋１ ｕ 当且仅当 ｕ＝１，即 ｔ＝０时，ＳＡＢＤＥ面积取最大值为 ６ １２分…………………………… ２０（本小题满分 １２分） （１）Ｘ的可能取值集合为｛０，２，４，６，８｝． ３分………………………………………………… 可用列表或树状图列出 １，２，３，４的一共 ２４种排列，计算每种排列下的 Ｘ的值，在等可 能的假定下，得 Ｘ ０ ２ ４ ６ ８ Ｐ １ ２４ １ ８ ７ ２４ ３ ８ １ ６ ６分… ＥＸ＝０×１ ２４＋２×３ ２４＋４×７ ２４＋６×９ ２４＋８×４ ２４＝５ ８分………………………………… （２）首先 Ｐ（Ｘ＜４）＝Ｐ（Ｘ＝０）＋Ｐ（Ｘ＝２）＝１ ２４＋３ ２４＝１ ６，将三人评分后都有 Ｘ＜４的概率 记作 ｐ，由上述结果的独立性得 ｐ＝１ ６３ ＝ １ ２１６． １２分…………………………………… ２１（本小题满分 １２分） （１）解法 １：令 ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｌｎｘ＋２ｘ－２＝ｅｘ－ｌｎｘ－２ ｇ′（ｘ）＝ｅｘ－１ ｘ（ｘ＞０）， ２分……………………………………………………………… ∵ｇ′（１）＝ｅ－１＞０，ｇ′（１ ｅ）＝ｅ １ ｅ －ｅ＜０　　ｇ′（１）·ｇ′（１ ｅ）＜０ ∴存在 ｘ０∈（１ ｅ，１），使 ｇ′（ｘ０）＝０ 因为 ｇ′（ｘ）在（０，＋∞）为增函数，所以函数 ｇ（ｘ）在（０，ｘ０）上为单减函数， 在（ｘ０，＋∞）上为单增函数，所以 ｇ（ｘ）≥ｇ（ｘ０）＝ｅｘ０ －ｌｎｘ０－２＝１ ｘ０ ＋ｘ０－２＞０（ｘ０≠１） 即得证  解法 ２：（放缩法）ｅｘ＞ｘ＋１，ｘ＞ｌｎｘ＋１，易得 ｅｘ＞ｌｎｘ＋２，故得证  （２）解：当 ａｘ＝２ｘ，两边取对数得 ｘｌｎａ＝ｌｎ２ｘ＝ｌｎ２＋ｌｎｘ 令 ｈ（ｘ）＝ｘｌｎａ－ｌｎｘ－ｌｎ２ ｈ′（ｘ）＝ｌｎａ－１ ｘ，令 ｈ′（ｘ）＝ｌｎａ－１ ｘ＝０得 ｘ＝１ ｌｎａ， ｈ（１ ｌｎａ）＝１ ｌｎａｌｎａ－ｌｎ（１ ｌｎａ）－ｌｎ２＝ｌｎ（ｅ ２）－ｌｎ（１ ｌｎａ） ）页４共（页３第案答考参）理（学数级年三高市湖芜当 ｈ（１ ｌｎａ）＞０时，即 ｅ ２＞１ ｌｎａ得 ａ＞ｅ ２ ｅ时，ｈ（ｘ）≥ｈ（１ ｌｎａ）＞０，函数 ｆ（ｘ）无零点； ９分 ……… …………………………………………………………………………………… 当 ｈ（１ ｌｎａ）＝０时，即 ｅ ２＝１ ｌｎａ得 ａ＝ｅ ２ ｅ时，ｈ（１ ｌｎａ）＝０，函数 ｆ（ｘ）有 １个零点； 当 ｈ（１ ｌｎａ）＜０时，即 ｅ ２＜１ ｌｎａ得 １＜ａ＜ｅ ２ ｅ时， ｈ（１ ｌｎａ）＜０，ｈ（ １ ２ｌｎａ）＞０，函数 ｆ（ｘ）有 １个零点  ｈ（１ ｌｎａ）＜０，ｈ（２ ｌｎａ）＞０，函数 ｆ（ｘ）有 １个零点  函数有 ２个零点  １２分………………………………………………………………… （二）选考题：共 １０分  ２２（本小题满分 １０分） （１）由参数方程 ｘ＝ｃｏｓθ 槡－ ３ｓｉｎθ ｙ＝ｓｉｎθ 槡＋ ３ｃｏｓθ{ ＋２ ，得普通方程 ｘ２＋（ｙ－２）２＝４， ３分……………… 所以极坐标方程：ρ２ｃｏｓ２θ＋ρ２ｓｉｎ２θ－４ρｓｉｎθ＝０，则 ρ＝４ｓｉｎθ ５分……………………… （２）直线 ｌ１：θ＝π ６（ρ∈Ｒ）与曲线 Ｃ的交点为 Ｏ，Ｍ，得 ρ１＝｜ＯＭ｜＝４ｓｉｎπ ６＝２ 又直线 ｌ２：θ＝２π ３（ρ∈Ｒ）与曲线 Ｃ的交点为 Ｏ，Ｎ，得 ρ２＝｜ＯＮ｜＝４ｓｉｎ２π ３ 槡＝２３ 且∠ＭＯＮ＝π ２，所以 Ｓ△ＯＭＮ ＝１ ２｜ＯＭ｜·｜ＯＮ｜＝１ ２ 槡 槡×２×２３＝２３． １０分…………… ２３（本小题满分 １０分） （１）由题意得 ｆ（ｘ）＝ ｘ＋２，（ｘ≤１） －３ｘ＋６，（１＜ｘ＜４） －ｘ－２，（ｘ≥４{ ） ，不等式的解集为（－１，５ ３）． ５分…………… （２）因为 ａ，ｂ，ｃ均为正数，所以ａ２ ｃ＋ｃ≥２ａ，ｂ２ ａ＋ａ≥２ｂ，ｃ２ ｂ＋ｂ≥２ｃ，又 ａ＋ｂ＋ｃ＝３， 故有 ａ２ ｃ＋ｂ２ ａ＋ｃ２ ｂ＋ａ＋ｂ＋ｃ≥２ａ＋２ｂ＋２ｃ． 所以ｂ２ ａ＋ｃ２ ｂ＋ａ２ ｃ≥３． １０分……………………………………………………………… ）页４共（页４第案答考参）理（学数级年三高市湖芜