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章末知识整合
一、函数的概念
[例1] (1)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0，1]
C．(－∞，0)∪(0，1) D．[1，＋∞)
(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
解析：(1)要使函数有意义，则
所以x≤1且x≠0.
因此函数y＝的定义域为{x|x≤1且x≠0}．
(2)设－1≤x≤0，则0≤x＋1≤1，
所以f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．
又因为f(x＋1)＝2f(x)，
所以f(x)＝＝－.
答案：(1)B (2)－
规律方法
1．若已知给出函数解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．
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[即时演练] 1.(1)求函数y＝(x＋1)0＋＋的定义域；
(2)求函数y＝f(x)的定义域为[－1，1]，求函数y＝f·f的定义域．
解：(1)要使函数有意义，需有
解之得－≤x＜2且x≠－1.
所以函数的定义域是.
(2)要使函数有意义，必须有
解得因此－≤x≤，
所以函数y＝f·f的定义域为.
二、函数的性质及其应用
[例2] 函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义法证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
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(1)解：依题意可得
所以解得
所以f(x)＝.
(2)证明：设x1，x2是(－1，1)上的任意两个实数，且－1＜x1＜x2＜1，则有：
f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为－1＜x1＜x2＜1，
所以x1－x2＜0，1＋x＞0，1＋x＞0，1－x1x2＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在(－1，1)上是增函数．
(3)解：因为f(t－1)＋f(t)＜0，
所以f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．
因为f(x)在(－1，1)上是增函数，
所以－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.
所以不等式的解集为.
规律方法
1．一些求参数的问题往往需要根据奇、偶函数的定义建立关于参数的恒等式，通过比较等式两边来确定关于参数的方程．
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2．解题时要挖掘隐含条件，同时要求有较高的数学式子变形能力．
[即时演练] 2.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0.
(1)若函数f(x)是偶函数，求f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值；
(3)要使函数f(x)在区间[－1，3]上单调递增，求b的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)是偶函数，所以b＝0.
又因为f(1)＝0，所以1＋c＝0，即c＝－1.
所以f(x)＝x2－1.
(2)结合图象(图略)得：
当x＝0时，f(x)min＝－1；
当x＝3时，f(x)max＝8.
(3)因为函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象关于x＝－对称，
要使函数f(x)在区间[－1，3]上单调递增，
则有－≤－1，所以b≥2.
因此实数b的取值范围是[2，＋∞)．
三、函数的图象及应用
[例3] 设函数f(x)＝x2－4|x|＋3.
(1)判断函数f(x)图象的对称性；
(2)画出函数f(x)的图象，并指出函数的单调区间和最小值．
解：(1)f(x)＝x2－4|x|＋3的定义域为R，且关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)2－4|－x|＋3＝x2－4|x|＋3，
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所以f(－x)＝f(x)，函数y＝f(x)是偶函数．
因此函数f(x)的图象关于y轴对称．
(2)f(x)＝
画出函数y＝f(x)的图象如图所示．
根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.
单调增区间是[－2，0]，[2，＋∞)，减区间是(－∞，－2]，[0，2]．
规律方法
1．描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．
注意：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
2．函数的图象可直观反映函数的性质．
[即时演练] 3.(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
图① 图②
(2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，下图为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
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(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，下图为补充后的图象．易知f(1)＞f(3)．
四、数列结合与分类讨论思想
[例4] 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴为x＝1.
①当t＋1＜1，即t＜0时，函数图象如图①所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为f(1)＝1.
③当t＞1时，函数图象如图③所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
图① 图② 图③
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综上所述f(x)min＝
规律方法
1．求二次函数的最值关键在于确定函数在给定区间上的单调性，这受制于二次项系数的符号和对称轴与区间的相对位置关系．
2．对于“轴定区间变”，注意讨论二者的相对位置，借助几何直观求出最值，从而体现分类讨论与数形结合思想的应用．
[即时演练] 4.设函数f(x)＝已知f(a)＞1，求a的取值范围．[提示：由(a＋1)2＞1可得a＋1＞1或a＋1＜－1]
解：法一(分类讨论思想方法)：
①当a≤－1时，
由(a＋1)2＞1得a＞0或a＜－2，
又a≤－1，所以a＜－2；
②当－1＜a＜1时，由2a＋2＞1得a＞－，
又－1＜a＜1，
所以－＜a＜1；
③当a≥1时，由－1＞1得0＜a＜，
又a≥1，所以a不存在．
综上可知a的取值范围为(－∞，－2)∪.
法二(数形结合思想方法)：
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f(x)的图象如图所示，画直线y＝1，
符合f(a)＞1的a的取值范围为(－∞，－2)∪.
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