永州市2020年高考第二次模拟考试试卷
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
C
C
B
D
B
A
C
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13． 14． 15．
16．(1)（2分）; (2) （3分）
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）解：（1）
…………………………………………………………………3分
在中，由余弦定理可得
………………………………………………………………6分
（2）
……8分
，，
，，
………………………………………………………10分
在中，由正弦定理可得，
． ………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
A
B
C
F
E
D
（第18题图）
x
y
解：（1）证明：因为，，
所以，因为，所以．
又因为，，
所以，而，
所以，又，
所以． ………………6分
（2）解：设直线与平面所成交的余弦值为．
连接，在中，，，
，所以，且，，
又因为，，，
所以，．在中，，，所以．
如图，以点为坐标原点，分别以 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，各点
坐标为，，，，
因为，为的中点，所以为的中点，即，
设平面的法向量，
，，
由，即，
整理得， 令，得，，则．……10分
因为 ，所以，
故直线与平面所成交的正弦值为． ……………12分
19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆过点，∴，① ………2分
又因为直线的斜率之积为，可求得，②
联立①②得．
∴所求的椭圆方程为． ……………………………………………6分
（2）方法1：由（1）知，． 由题意可设，
令x=m,得．又设
由整理得：．…………………6分
∵，∴，，
所以， ……………………………………………………8分
∴ ，…10分
要使与k无关，只须，此时恒等于4.
∴ ……………………………………………………………………………12分
方法2：:设，则，令x=m,得，
∴
由有，
所以，
要使与无关，只须，此时.
∴ …………………………………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）如果，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为
检测结果恰有两份次品的概率． ………………………3分
（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为，由已知得，的所有可能取值为
,
= …………………5分
要减少检验次数，则，则
∴，，即， ………………………7分
（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为，，则由（2）知，
， ，
………………10分
②设这组采用混合检验的检验次数分别为，，， ，，，且检验总次数，
，
，
所以检验总次数的数学期望． …………………12分
21．（本小题满分12分）
证明：(1)当x∈（0,1）时，f′(x)＝＞0，函数f(x)在（0,1）上为增函数．又f(0)＝-e+10，所以存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0．…4分
(2) 当x∈（1，2）时，,
令t=2-x, x=2-t，x∈（1，2），t∈（0，1），
, t∈（0，1） ……………………6分
记函数，t∈（0，1）．
则h′(t)＝． ……………………8分
由(1)得，当t∈(0，x0)时，f(t)0，h′(t) 0，所以h(t)在(0，x0]上无零点．
在(x0，1)上h(t)为减函数，由h(x0)>0，h(1)＝－ln 20，故与g(2－t)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈（1，2），使g(x1)＝0．
因为x1＝2－t1，t1>x0，所以x0＋x1
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