山西省长治市第二中学2019-2020高一上学期期末考试数学试卷（Word版附答案）.doc

数学试题 【满分 150 分，考试时间 120 分钟】 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．设集合 ，则 所有子集个数为 A．3 B．4 C．7 D．8 2．如图是某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去 掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次 为 A． B． C． D. 3．已知 ，则使函数 的值域为 ，且为奇函数的 所有 的值为 A． B． C． D． 4．在区间 内任取一个数，则使 有意义的概率为 A． B． C． D． 5．将一个骰子抛掷一次，设事件 表示向上的一面出现的点数不超过 ，事件 表示向上 的一面出现的点数不小于 ，事件 表示向上的一面出现奇数点，则 A． 与 是对立事件 B． 与 是互斥而非对立事件 C． 与 是互斥而非对立事件 D． 与 是对立事件 6． 采 用 系 统 抽 样 方 法 从 人 中 抽 取 人 做 问 卷 调 查 ， 为 此 将 他 们 随 机 编 号 为 ，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 .抽到的 人中， 编号落入区间 的人做问卷 ，编号落入区间 的人做问卷 ，其余的 人做问卷 .则抽到的人中，做问卷 的人数为 A．7 B．9 C．10 D．15 7．已知某地 、 、 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了 解该地三个村的贫困原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取 的户数进行调査， 则样本容量和抽取 村贫困户的户数分别是 A． B． C． D． 8．已知小张每次射击命中十环的概率都为 %，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击 恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生 到 之间取整数值的随机数，指定 表示命中十环， 表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击 (0,5) 2 3x − 2 5 1 2 3 5 7 10 A 2 B 3 C A B A B B C B C 960 1,2,3,...,960 9 32 [ ]1,450 A [ ]451,750 B C B A B C 10% C { }2 42 0 , 0,1 xM x x x N x x Zx  − = − − > = ≤ ∈ +  M N∩ 85,84 84,85 86,84 84,84 { }1,1,2,3α∈ − y xα= R α 1,3 1,1− 1,3− 1,1,3− 32 100,20 100,10 200,20 200,10 40 0 9 2,4,6,8 0,1,3,5,7,9的结果，经随机模拟产生了如下 组随机数： 据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为 A．0.25 B．0.30 C．0.35 D．0.40 9．一组数据的平均数是 ，方差是 ，若将这组数据中的每一个数据都加上 60，得到 一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 A． B． C． D． 10．设 表示 三者中的最小者，若函数 ，则当 时， 的值域是 A． B． C． D． 11．已知函数 在 上为增函数，则 的取值范围是 A． B． C． D． 12．已知函数 ，若 的零点个数为 4 个时， 实数 的取值范围为 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．如图，矩形的长为 ，宽为 ，在矩形内随机地撒 颗黄豆，数得落 在阴影部分的黄豆为 颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为 ________． 14．一个样本 ， ， ， 的平均数是 ，且 ， 是方程 的两根，则这 个样本的方差是 ． 15．一只蚂蚁在边长分别为 的 区域内随机爬行，则其恰在到顶点 或顶点 或顶点 的距离小于 的地方的概率为___________． 16．下列说法： ①函数 的单调增区间是 ； ②若函数 定义域为 且满足 ，则它的图象关于 轴对称； ③函数 的值域为 ； ④函数 的图象和直线 的公共点个数是 ，则 的值可能是 { }cba ,,min cba ,, { }xxxf x 224,,2min)( 2 −= [ ]5,1∈x )(xf [ ]32,1 [ ]14,1 [ ]14,2 [ ]16,1 ( )   >− ≤+ = 1,1ln 1,2 22 )( xx xxf x 3 2)()()( 2 +−= xafxfxF a      +∞∪      ,3 7 3 5,3 62       3 7,3 62      2,3 5 ( )+∞∪      ,23 5,3 62 6 3 300 125 a 3 5 7 b a b 2 5 4 0x x− + = 20 321,421,292,925,274,632,800,478,598,663,531,297,396,021,506,318,230,113,507,965. 2.8 3.6 57.2,3.6 57.2,56.4 62.8,63.6 62.8,3.6 ( ) ( )2log 2af x x ax= − [ ]4,5 a ( )1,4 ( ]1,4 ( )1,2 ( ]1,2 6,8,10 ABC∆ A B C 1 ( )2 1 2 log 2 3y x x= − − ( ),1−∞ ( )y f x= R ( ) ( )1 1f x f x− = + y ( ) ( ) 1 xf x x Rx = ∈+ ( )1,1− 23y x= − ( )y a a R= ∈ m m； ⑤若函数 在 上有零点，则实数 的取值范围是 . 其中正确的序号是_________. 三、解答题：本大题共 70 分 17．(本题满分 10 分) 某学校高二年级举办了一次数学史知识竞赛活动，共有 名学生参加了这次竞赛．为 了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为 分）进 行统计，统计结果见下表．请你根据频率分布表解答下列问题： 序号 分组 组中 值 频数 频率 （i） （分数） （Gi） （人数） （Fi） 1 65 6 ① 2 75 ② 0.40 3 85 ③ 0.24 4 95 ④ 0.24 合计 50 1 （1）填出频率分布表中的空格； （2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于 分的同学能获奖，请估计在参 加的 名学生中大概有多少名学生获奖？ （3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出的 的值． 18．(本题满分 12 分) 口袋中有质地、大小完全相同的 个小球，编号分别为 、 、 、 、 ，甲、乙 两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸出一个球，记下编号，如 5 1 2 3 4 5 0,2,3,4 ( ) ( )2 2 5 1f x x ax a= − + > [ ]1,3x∈ a 5,3   800 100 80 800 S果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢． （1）求甲赢且编号的和为 的事件发生的概率； （2）这种游戏规则公平吗？试说明理由． 19．(本题满分 12 分) 某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得 到如下数据： 单价 元 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 销量 件 100 94 93 90 85 78 （1）若销量 与单价 服从线性相关关系，求该回归方程； （2）在（1）的前提下，若该产品的成本是 元/件，问：产品该如何确定单价，可使工厂 获得最大利润。 附：对于一组数据 ， ，… ， 其回归直线 的斜率的最小二乘估计值为 ； 本题参考数值： ． 20．(本题满分 12 分) 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 名同学将其成绩（百分制，均为整数）分 成 ， ， ， ， ， 六组后，得到部分频率分 布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数 内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数； （3）若从第 组和第 组两组学生中，随机抽取 人，求所抽取 人成绩之差的绝对值大于 的概率. 21．(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系中，记满足 的点 形成区域 ， （1）若点 的横、纵坐标均在集合 中随机选择，求点 落在区域 内 的概率； （2）若点 在区域 中均匀出现，求方程 有两个不同实数根的概率 6 x y ( )1 1,x y ( )2 2,x y ( ),n nx y y bx a= + 1 2 2 1 n i i i n i i x y n x y b x n x = = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ∑ ∑ 6 6 2 2 1 1 5116 , 6 0.7i i i i i x y x x = = = − =∑ ∑ [40 50)， [50 60)， [60 70)， [70 80)， [80 90)， [90 100]， [70 80)， y x 5 ˆˆa y bx= − 60 1 6 2 2 10 3, 3p q≤ ≤ ( ),p q A ( ),p q { }1,2,3,4,5 ( ),p q A ( ),p q A 2 2 0x x q− + =22．(本题满分 12 分) 已知函数 ，其中 为实数． （1）若函数 为定义域上的单调函数，求 的取值范围． （2）若 ，满足不等式 成立的正整数解有且仅有一个，求 的取值范 围． 2 4 ,0 2( ) ( 2) 2 , 2 x xf x x x a x a x  − < ≤=  − + + − > a ( )f x a 7a < ( ) 0f x a− > a数学试题答案 一、选择题： 1-5：BAADA 6-10:CBBDD 11-12:CA 二、填空题： 13． . 14. 15. 16. ③ ④ ⑤ 三、解答题： 17. （1）①0.12②20③12④12…………………..4 分 （2） ∴可估算出参赛的 800 名学生中大概有 384 名同学获奖;………….7 分 （3） ∴输出 S 的值为 81……………………..10 分 18．解： 设“甲赢且编号的和为 ”为事件 ， 事件 包含的基本事件为 ， ， ， ， ,共 个． 又甲、乙两人取出的数字共有 个等可能的结果．∴ , 故甲赢且编号的和为 的事件发生的概率为 ．……………………….6 分 设“甲胜”为事件 ，“乙胜”为事件 ,则甲胜包含的基本事件数为 个，即 ， ， , , , , , ， , , , , , ∴ , ∵ ≠ ∴这种游戏规则不公平．……………………………………………………12 分 19.解： （1） = 又 所以 故 回 归 方 程 为 15 2 5 )1( 6 A A )5,1( )4,2( )3,3( )2,4( )1,5( 5 25 5 1 25 5)( ==AP 6 5 1 )2( B C 13 )1,1( )3,1( )5,1( )2,2( )4,2( )1,3( )3,3( )5,3( )2,4( )4,4( )1,5( )3,5( )5,5( 25 13)( =BP 25 12 25 131)(1)( =−=−= BPCP )(BP )(CP 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 6x + + + + += 9.5 100 94 93 90 85 78 90,6y + + + + += = 6 6 2 2 1 1 5116 , 6 0.7i i i i i x y x x = = = − =∑ ∑ 1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx = = − = = − ∑ ∑ 5116 6 9.5 90 200.7 − × × = − 90 20 9.5 280,a y bx= − = + × =…………………………..6 分 （2）设该产品的售价为 元，工厂利润为 元，当 时，利润 ，定价不合理。 由 得 ，故 ，当 时， 取得最大值. 因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为 9.5 元……………………………12 分 20.解：（1）设分数在 内的频率为 ，根据频率分布直方图， 则有 ，可得 ， 所以频率分布直方图略……………………..4 分 （2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的 两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分， 所以中位数是 ，所以估计本次考试成绩的中位数为 ……………8 分 （3）设所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 为事件 ， 第 1 组学生数： 人（设为 1，2，3，4，5，6） 第 6 组学生数： 人（设为 ） 所有基本事件有：12，13，14，15，16， ，23，24，25，26， ， ， ， 34，35，36， ， ， ，45，46， ， , ，56， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有 36 种， 事件 包括的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， , ， ， ， ， ， ， 共有 18 种 所以 ……………………………………………………………………..12 分 21.解：根据题意，点 的横、纵坐标在集合 中随机选择，共有 个 基本事件，并且是等可能的，其中落在 ， 的区域内有 ， ， ， ， ， ， ， ， 共 个基本事件 所以点 落在区域 内的概率为 …………………………………………..6 分 （2） ， 表示如图的正方形区域，易得面积为  20 280.y x= − + x L 5x ≤ 0L ≤  20 280 0y x= − + > 14x < 5 14x< < ( 5)( 20 280)L x x= − − + 20( 5)(14 )x x= − − 9.5x = L [ )70,80 x ( )0.01 0.015 2 0.025 0.005 10 1x+ × + + × + = 0.3x = 1 170 10 733 3 + × = 1733 M 60 0.1 6× = 60 0.05 3× = , ,A B C 1 ,1 ,1A B C 2A 2B 2C 3A 3B 3C 4A 4B 4C 5A 5B 5C 6A 6B 6C AB AC BC M 1 ,1 ,1A B C 2A 2B 2C 3A 3B 3C 4A 4B 4C 5A 5B 5C 6A 6B 6C ( ) 18 1 36 2P M = =若方程 有两个不同实数根，即 ，解得 为如图所示直线 下方的阴影部分，其面积为 则方程 有两个不同实数根的概率 ……………………………..12 分 22.解：（1）由题意，当 时， 为减函数， 当 时， ， 若 时， 也为减函数，且 ， 此时函数 为定义域上的减函数，满足条件； 若 时， 在 上单调递增，则不满足条件． 综上所述， ．…………………………………..4 分 （2）由函数的解析式，可得 ， 当 时， ，不满足条件； 当 时， 为定义域上的减函数，仅有 成立，满足条件； 当 时，在 上，仅有 ， 对于 上， 的最大值为 ， 不存在 满足 ，满足条件； 当 时，在 上，不存在整数 满足 ， 0 2x< ≤ 4( )f x xx = − 2x > ( ) ( )2 2 2f x x a x a= − + + − 2a ≤ ( ) ( )2 2 2f x x a x a= − + + − ( ) ( )2 0f x f< = ( )f x 2a > ( ) ( )2 2 2f x x a x a= − + + − 22 , 2 a +     2a ≤ ( ) ( )1 3, 2 0f f= = 0a < ( ) ( )2 0 , 1 3f a f a= > = > 0 2a≤ ≤ ( )f x ( )1 3f a= > 2 3a< < 0 2x< ≤ ( )1 3f a= > 2x > ( )f x 22 ( 2) 1 2 4 4 a af a + −  = ≤ 3 7a≤ < 0 2x< ≤ x ( ) 0f x a− >对于 上， ， 不存在 满足 ，不满足条件；综上所述， ．……………………12 分 2x > 2 2( 2) ( 4) 12 3 4 4 4 a aa − − −− = < − x ( ) 0f x a− > 0 3a≤