海淀区高三年级第一学期期末练习数学
本试卷共 4 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试
卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项.
1.已知集合 ， ， ，则集合 是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用补集和交集的定义可求出集合 .
【详解】 集合 ， ， ，则 ，
因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算
能力，属于基础题.
2.抛物线 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于 轴正半轴，由 ，可得：
，即焦点坐标为 .
本题选择 B 选项.
3.下列直线与圆 相切的是（ ）
A. B. C. D.
{ }1,2,3,4,5,6U = { }13,5A = , { }2,3,4B = UA B
{1,3,5,6} {1,3,5} {1,3} {1,5}
UA B
{ }1,2,3,4,5,6U = { }13,5A = , { }2,3,4B = { }1,5,6U B =
{ }1,5UA B =
2 4y x=
( 1,0)− (1,0) (0, 1)− (0,1)
x 2 4p =
12
p = ( )1,0
( ) ( )2 21 1 2x y− + − =
y x= − y x= 2y x= − 2y x=【答案】A
【解析】
【分析】
观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可.
【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上，
圆心坐标为 ，圆心与原点连线的斜率为 ，
所以，圆 在原点处的切线方程为 .
故选：A.
【点睛】本题考查直线与圆 位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题.
4.已知 、 ，且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.
【详解】对于 A 选项，取 ， ，则 成立，但 ，A 选项错误；
对于 B 选项，取 ， ，则 成立，但 ，即 ，B 选项
错误；
对于 C 选项，由于指数函数 在 上单调递减，若 ，则 ，C 选项
正确；
对于 D 选项，取 ， ，则 ，但 ，D 选项错误.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判
断，考查推理能力，属于中等题.
的
( )1,1 1
( ) ( )2 21 1 2x y− + − = y x= −
a b R∈ a b>
1 1
a b
< sin sina b> 1 1
3 3
a b
1a = 1b = − a b> 1 1
a b
>
a π= 0b = a b> sin sin 0π = sin sina b=
1
3
x
y = R a b> 1 1
3 3
a b 2 2a b 7AD =
2BD
CD
= 2ABD
ACD
S
S
∆
∆
= cos 2cos
BAD
CAD
∠ =∠
sin 2sin
BAD
CAD
∠ =∠【解析】
【分析】
利用余弦定理计算出 ，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断.
【详解】如下图所示：
点 在 边上，且 ， ，
由余弦定理得 ，整理得 ，
，解得 ， ，则 ，
由正弦定理得 ，所以， .
由余弦定理得 ，同理可得 ，
则 .
故选：C.
【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦
定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
9.声音的等级 （单位： ）与声音强度 （单位： ）满足
. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 ；一般说话时，声音
的等级约为 ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
【答案】B
BD
D BC BD CD> 1 3
2 2BD BC∴ > =
2 2 2 2 cos 3AD AB BD AB BD
π= + − ⋅ ⋅ 2 3 2 0BD BD− + =
3
2BD > 2BD = 1CD =∴ 2ABD
ACD
S BD
S CD
∆
∆
= =
sin sinsin 3
BD AD CD
BAD CADπ= =∠ ∠ sin 2sin
BAD BD
CAD CD
∠ = =∠
2 2 2 2 7cos 2 7
AB AD BDBAD AB AD
+ −∠ = =⋅
5 7cos 14CAD∠ =
cos 2 7 14 4 2cos 7 55 7
BAD
CAD
∠ = ⋅ = ≠∠
( )f x dB x 2/W m
( ) 1210 lg1 10
xf x −= × × 140dB
60dB
610 810 1010 1210【解析】
【分析】
设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 、 ，根据题意得出
， ，计算出 和 的值，可计算出 的值.
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 、 ，
由题意可得 ，解得 ，
，解得 ，所以， ，
因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 倍，
故选：B.
【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，
属于中等题.
10.若点 为点 在平面 上的正投影，则记 .如图，在棱长为 的正方体
中，记平面 为 ，平面 为 ，点 是棱 上一动点
（与 、 不重合） ， .给出下列三个结论：
①线段 长度的取值范围是 ；
②存在点 使得 平面 ；
③存在点 使得 .
1x 2x
( )1 140f x = ( )2 60f x = 1x 2x 1
2
x
x
1x 2x
( ) 1
1 1210 lg 1401 10
xf x −= × =×
2
1 10x =
( ) 2
2 1210 lg 601 10
xf x −= × =×
6
2 10x −= 81
2
10x
x
=
810
N M α ( )N f Mα= 1
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AB C D β ABCD γ P 1CC
C 1C ( )1Q f f Pγ β = ( )2Q f f Pβ γ =
2PQ 1 2,2 2
P 1 //PQ β
P 1 2PQ PQ^其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②
【答案】D
【解析】
【分析】
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐
标系 ，设点 的坐标为 ，求出点 、 的坐标，然后利用向
量法来判断出命题①②③的正误.
【详解】取 的中点 ，过点 在平面 内作 ，再过点 在平面
内作 ，垂足为点 .
在正方体 中， 平面 ， 平面 ，
，
又 ， ， 平面 ，即 ， ，
同理可证 ， ，则 ， .
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐
标系 ，设 ，则 ， ， ，
， .
D DA DC 1DD x y z
D xyz− P ( ) ( )0,1, 0 1a a< < 1Q 2Q
1C D 2Q P 1 1AB C D 1PE C D⊥ E
1 1CC D D 1EQ CD⊥ 1Q
1 1 1 1ABCD A B C D− AD ⊥ 1 1CC D D PE ⊂ 1 1CC D D
PE AD⊥∴
1PE C D⊥ 1AD C D D= PE∴ ⊥ 1 1AB C D PE β⊥ ( )f P Eβ∴ =
1EQ γ⊥ CQ β⊥ ( ) ( ) 1f f P f E Qγ β γ = = ( ) ( ) 2f f P f C Qβ γ β = =
D DA DC 1DD x y z
D xyz− ( )0 1CP a a= < < ( )0,1,P a ( )0,1,0C 1 10, ,2 2
a aE
+ +
1
10, ,02
aQ
+
2
1 10, ,2 2Q
对于命题①， ， ，则 ，则
，所以， ，命题①正确；
对于命题②， ，则平面 的一个法向量为 ，
，令 ，解得 ，
所以，存在点 使得 平面 ，命题②正确；
对于命题③， ，令 ，
整理得 ，该方程无解，所以，不存在点 使得 ，命题③错误.
故选：D.
【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定
义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
11.在等差数列 中,若 ,则 .
【答案】
【解析】
2
2
1 1
4 2PQ a = + − 0 1a<
( )y f x= ( )1,4 0a > ( )y f x=
x a= 1 4a< <
( ) af x x x
= + ( ) 2
2 21 a x af x x x
−′ = − =
0a ≤ ( )1,4x∈ ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )1,4
( )y f x= ( )1,4
0a > ( ) 2
2 0x af x x
−′ = = x a=
0 x a< < ( ) 0f x′ < x a> ( ) 0f x′ >
( )y f x= x a= 1 4a< < 1 16a< <
a ( )1,16
( )1,16
( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ
x 1
4
− 1
2
5
4 2 11
4
xω ϕ+ 0
2
π π 3
2
π
2π
( )f x 0 2 0 2− 0则 _________， _________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据表格中的数据求出 、 、 的值，可得出函数 的解析式，然后代值计算可
得出 和 的值.
【详解】由表格中的数据可知， ，
函数 的最小正周期为 ， ，
，当 时，则 ，解得 ，
则 ， ，
.
故答案为： ； .
【点睛】本题考查三角函数值的计算，解题的关键就是利用表格中的数据求出函数解析式，
考查计算能力，属于中等题.
16.已知曲线 （ 为常数）.
（i）给出下列结论：
①曲线 为中心对称图形；
②曲线 为轴对称图形；
③当 时，若点 在曲线 上，则 或 .
其中，所有正确结论 序号是_________.
（ii）当 时，若曲线 所围成的区域的面积小于 ，则 的值可以是_________.（写
出一个即可）
的
( )1f − = ( ) 10 2f f + − =
2− 0
A ω ϕ ( )y f x=
( )1f − ( ) 10 2f f + −
( )max 2A f x= =
( )y f x= 11 1 34 4T = − − =
2 2
3T
π πω∴ = =
( ) 22sin 3f x x
π ϕ = +
1
2x = 2 1
3 2 2
π πϕ× + =
6
π=ϕ
( ) 22sin 3 6f x x
π π = +
( ) 21 2sin 2sin 26 3 2f
π π π ∴ − = − = − = −
( ) 10 2sin 2sin 02 6 6f f
π π + − = + − =
2− 0
4 4 2 2: 1C x y mx y+ + = m
C
C
1m = − ( ),P x y C 1x ≥ 1y ≥
2m > − C π m【答案】 (1). ①②③ (2). 均可
【解析】
【分析】
（i）在曲线 上任取一点 ，将点 、 、 代入曲线
的方程，可判断出命题①②的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题③的正误；
（ii）根据 时，配方得出 ，可知此时曲线 为圆，且圆的面积为 ，从而
得知当 时，曲线 所表示的图形面积小于 .
【详解】（i）在曲线 上任取一点 ，则 ，
将点 代入曲线 的方程可得 ，
同理可知，点 、 都在曲线 上，则曲线 关于原点和坐标轴对称，命
题①②正确.
当 时， ，反设 且 ，
则 ， ，所以， ，则 ，
所以， ，这与 矛盾.
假设不成立，所以， 或 ，命题③正确；
（ii）当 时，曲线 的方程为 ，即 ，即
，
此时，曲线 表示半径为 的圆，其面积为 .
当 时，且当 时，在圆 上任取一点 ，则
，则点 在曲线外，所以，曲线 的面
积小于圆的面积 .
故答案为：①②③； 均可.
【点睛】本题考查曲线中的新定义，涉及曲线的对称性以及曲线面积相关的问题，考查推理
2m >
C ( ),P x y ( )1 ,P x y− − ( )2 ,P x y− ( )3 ,P x y− C
2m = 2 2 1x y+ = C π
2m > C π
C ( ),P x y 4 4 2 2 1x y mx y+ + =
( )1 ,P x y− − C ( ) ( ) ( ) ( )4 4 2 2 1x y m x y− + − + − − =
( )2 ,P x y− ( )3 ,P x y− C C
1m = −
2
4 4 2 2 2 2 21 31 2 4x y x y x y y = + − = − + 1x < 1y <
20 1x≤ < 20 1y≤ < 2 21 1 1
2 2 2x y− < − <
2
2 21 10 2 4x y ≤ − 能力，属于难题.
三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.已知函数 .
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（ Ⅰ ） 利 用 二 倍 角 的 降 幂 公 式 以 及 辅 助 角 公 式 将 函 数 的 解 析 式 变 形 为
，然后解不等式 ，即可得出
函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）由 ， ，结合题意得出 ，即可求出实数
的最小值.
【详解】（Ⅰ） ，
因为 的单调递增区间为 ，
令 ，得 .
所以函数 的单调递增区间为 ；
（Ⅱ）因为 ，所以 .
( ) 2 1cos 3sin cos 2f x x x x= + −
( )f x
( )f x [ ]0,m 1 m
( ),3 6k k k Z
π ππ π − + ∈ 6
π
( )y f x=
( ) sin 2 6f x x
π +
=
( )2 2 22 6 2k x k k Z
π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈
( )y f x=
[ ]0,x m∈ 2 ,26 6 6x m
π π π + ∈ + 2 6 2m
π π+ ≥ m
( ) 1 cos2 3 1 3 1sin 2 sin 2 cos2 sin 22 2 2 2 2 6
xf x x x x x
π+ = + − = + = +
siny x= ( )2 ,22 2k k k
π ππ π − + ∈ Z
( )2 2 ,26 2 2x k k k
π π ππ π + ∈ − + ∈ Z ( ),3 6x k k k
π ππ π ∈ − + ∈ Z
( )y f x= ( ),3 6k k k
π ππ π − + ∈ Z
[ ]0,x m∈ 2 ,26 6 6x m
π π π + ∈ + 又因为 ， 的最大值为 ，
所以 ，解得 ，所以 的最小值为 .
【点睛】本题考查三角函数的单调性以及最值的求解，解题的关键就是利用三角恒等变换思
想将三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.
18.如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均是等腰直角
三角形， ， ， 、 分别为 、 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由中位线的性质得出 ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出
平面 ；
（Ⅱ）由已知条件可知 ，然后利用面面垂直的性质定理可证明出 平面 ，
即可得出 ；
（Ⅲ）以 为原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立空间直角坐标系，利用空间
向量法求出直线 与平面 所成角的正弦值.
【详解】（Ⅰ）在 中， 、 分别为 、 的中点，所以 为中位线，所以
.
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（Ⅱ）在等腰直角三角形 中， ，所以 .
[ ]0,x m∈ ( ) sin 2 6f x x
π +
= 1
2 6 2m
π π+ ≥
6m
π≥ m 6
π
V ABC− VAC ⊥ ABC ABC∆ VAC∆
AB BC= 2AC CV= = M N VA VB
//AB CMN
AB VC⊥
VB CMN
2 2
3
//MN AB //AB
CMN
VC AC⊥ VC ⊥ ABC
AB VC⊥
C CA CV x y
VB CMN
VAB∆ M N VA VB MN
//MN AB
AB ⊄ CMN MN ⊂ CMN //AB CMN
VAC∆ AC CV= VC AC⊥因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，所以 ；
（Ⅲ）在平面 内过点 作 垂直于 ，由（Ⅱ）知， 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
如图，以 原点建立空间直角坐标系 .
则 ， ， ， ， .
， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 .
令 则 ， ，所以 .
直线 与平面 所成角大小为 ， .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查
了直线与平面所成角的正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
19.某市《城市总体规划（ 年）》提出到 年实现“ 分钟社区生活圈”全
覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身 个方面构建“ 分
钟社区生活圈”指标体系，并依据“ 分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小
为
VAC ⊥ ABC VAC ABC AC= VC ⊂ VAC
VC ⊥ ABC
AB Ì ABC AB VC⊥
ABC C CH AC VC ⊥ ABC
CH ⊂ ABC VC CH⊥
C C xyz−
( )0,0,0C ( )0,0,2V ( )1,1,0B ( )1,0,1M 1 1, ,12 2N
( )1,1, 2VB = − ( )1,0,1CM = 1 1, ,12 2CN =
CMN ( ), ,n x y z= 0
0
n CM
n CN
⋅ =
⋅ =
0
1 1 02 2
x z
x y z
+ = + + =
1x = 1y = 1z = − ( )1,1, 1n
= -
VB CMN θ 2 2sin cos , 3
n VB
n VB
n VB
θ
⋅
= = =
⋅
VB CMN 2 2
3
2016 2035− 2035 15
4 15
15区（指数为 ）、良好小区（指数为 ）、中等小区（指数为 ）以及待
改进小区（指数为 ） 个等级.下面是三个小区 个方面指标的调查数据：
注：每个小区“ 分钟社区生活圈”指数 ，其中 、 、 、
为该小区四个方面的权重， 、 、 、 为该小区四个方面的指标值（小区每一个
方面的指标值为 之间的一个数值）.
现有 个小区的“ 分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：
分组
频数
（Ⅰ）分别判断 、 、 三个小区是否是优质小区，并说明理由；
（Ⅱ）对这 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽
取 个小区进行调查，若在抽取的 个小区中再随机地选取 个小区做深入调查，记这
个小区中为优质小区的个数为 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ） 、 小区不是优质小区； 小区是优质小区；见解析；（Ⅱ）分布列见解
析，数学期望 .
【解析】
0.6 1 0.4 0.6 0.2 0.4
0 0.2 4 4
15 1 1 2 2 3 3 4 4T wT w T wT w T= + + + 1w 2w 3w
4w 1T 2T 3T 4T
0 ~1
100 15
[ )0,0.2 [ )0.2,0.4 [ )0.4,0.6 [ )0.6,0.8 [ ]0.8,1
10 20 30 30 10
A B C
100
10 10 2 2
ξ ξ
A C B
4
5【分析】
（Ⅰ）计算出每个小区的指数值，根据判断三个小区是否为优质小区；
（Ⅱ）先求出 个小区中优质小区的个数，可得出随机变量 的可能取值，然后利用超几
何分布的概率公式计算出随机变量 在不同取值下的概率，可得出随机变量 的分布列，利
用数学期望公式可计算出随机变量 的数学期望值.
【详解】（Ⅰ） 小区的指数 ，
，所以 小区不是优质小区；
小区的指数 ，
，所以 小区是优质小区；
小区的指数 ，
，所以 小区不是优质小区；
（Ⅱ）依题意，抽取 个小区中，共有优质小区 个，其它小区
个.
依题意 的所有可能取值为 、 、 .
， ， .
则 的分布列为：
.
【点睛】本题考查概率统计综合问题，同时也考查了超几何分布列与数学期望的计算，解题
时要结合题意得出随机变量所满足的分布列类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中
等题.
20.已知椭圆 的右顶点 ，且离心率为 ．
10 ξ
ξ ξ
ξ
A 0.7 0.2 0.7 0.2 0.5 0.32 0.5 0.28 0.58T = × + × + × + × =
0.58 0.60< A
B 0.9 0.2 0.6 0.2 0.7 0.32 0.6 0.28 0.692T = × + × + × + × =
0.692 0.60> B
C 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 0.32 0.1 0.28 0.172T = × + × + × + × =
0.172 0.60< C
10 30 1010 4100
+× = 10 4 6− =
ξ 0 1 2
( ) 2
6
2
10
15 10 45 3
CP C
ξ = = = = ( ) 1 1
4 6
2
10
24 81 45 15
C CP C
ξ = = = = ( ) 2
4
2
10
6 22 45 15
CP C
ξ = = = =
ξ
ξ 0 1 2
P 1
3
8
15
2
15
1 8 2 40 1 23 15 15 5Eξ = × + × + × =
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( )2,0A 3
2（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 为原点，过点 的直线 与椭圆 交于两点 、 ，直线 和 分别与直
线 交于点 、 ，求 与 面积之和的最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）最小值为 .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设椭圆 的焦距为 ，根据题意列出关于 、 、 的方程组，求出这三个
量的值，即可求出椭圆 的方程；
（Ⅱ）设点 ，可得出点 坐标为 ，求出点 、 的坐标，求出
与 面积之和的表达式，结合等式 ，利用基本不等式可求出 与
面积之和的最小值.
【详解】（Ⅰ）设椭圆 的焦距为 ，依题意，得 ，解得
.
所以椭圆 的方程为 ；
（Ⅱ）设点 ，依题意，点 坐标为 ，
满足 （ 且 ），
直线 的方程为 ，令 ，得 ，即 .
直线 的方程为 ，同理可得 .
设 为 与 轴的交点.
C
O O l C P Q AP AQ
4x = M N APQ∆ AMN∆
2
2 14
x y+ = 4
C ( )2 0c c > a b c
C
( )0 0,Q x y P ( )0 0,x y− − M N APQ∆
AMN∆ 2 2
0 04 4x y+ = APQ∆
AMN∆
C ( )2 0c c >
( )2 2 2
2
3
2
0
a
c
a
c a b a b
=
=
= − > >
2
1
a
b
=
=
C
2
2 14
x y+ =
( )0 0,Q x y P ( )0 0,x y− −
2
20
0 14
x y+ = 02 2x− < < 0 0y ≠
QA ( )0
0
22
yy xx
= −− 4x = 0
0
2
2
yy x
= −
0
0
24, 2
yN x
−
PA ( )0
0
22
yy xx
= −+
0
0
24, 2
yM x
+
B 4x = x.
又因为 ， ，所以
.
当且仅当 取等号，所以 的最小值为 .
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积之和最值的求解，考查
计算能力，属于中等题.
21.已知函数 .
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 有极小值，求证： 的极小值小于 .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数 的导数 ，求出 和 的值，然后利用点斜式可写
出所求切线的方程；
（Ⅱ）设函数 的两个极值点分别为 、 ，且 ，由韦达定理可得知
，然后利用函数 在区间 上的单调性可证明出结论成立.
【详解】（Ⅰ）由已知得 ，因为 ， ，
所以直线 的方程为 ；
（Ⅱ） ，令 ， .
（i）当 时，即当 时， ， ，
所以，函数 在 上是单调递增函数，此时，函数 在 上无极小值；
0 0
0
0 0
2 21 1 1 1 2 2 22 2 2 2 2 2APQ AMN P Q M N
y yS S OA y y AB y y y x x∆ ∆+ = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − = × × + × × −− +
0 0 0 0 2
0 0 0
1 1 42 2 2 22 2 4y y y yx x x
= + ⋅ − = + ⋅− + −
2 2
0 04 4x y+ = 0 0y ≠
0 0 0 02
0 0 0
1 2 22 2 2 2 2 4APQ AMNS S y y y yy y y∆ ∆+ = + ⋅ = + ≥ ⋅ =
0 1y = ± APQ AMNS S∆ ∆+ 4
( ) ( ) ( )2 1 0xf x e ax a= + >
( )y f x= ( )( )0, 0f
( )f x ( )f x 1
1y x= +
( )y f x= ( )f x′ ( )0f ( )0f ′
( )y f x= 1x 2x 1 2x x<
1 2 0x x< < ( )y f x= [ ]2 ,0x
( ) ( )2 2 1xf x e ax ax′ = + + ( )0 1f = ( )0 1f ′ =
l 1y x= +
( ) ( )2 2 1xf x e ax ax′ = + + ( ) 2 2 1= + +g x ax ax 24 4a a∆ = −
0∆ ≤ 0 1a< ≤ x R∀ ∈ ( ) 0f x′ ≥
( )y f x= R ( )y f x= R（ii）当 时，即当 时，记 、 是方程 的两个根，不妨设
，则 ，所以 .
此时 ， 随 的变化如下：
极大值 极小值
所以，函数 的极小值为 ，
又因为函数 在 单调递增，所以 .
所以，函数 的极小值小于 .
【点睛】本题考查利用导数求函数 切线方程，同时也考查了利用导数证明函数极值相关的
不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22.给定整数 ，数列 、 、 、 每项均为整数，在 中去掉一项
，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值
记为 . 将 、 、 、 中的最小值称为数列 的特征值.
（Ⅰ）已知数列 、 、 、 、 ，写出 、 、 的值及 的特征值；
（Ⅱ）若 ，当 ，其中 、
且 时，判断 与 的大小关系，并说明理由；
（Ⅲ）已知数列 的特征值为 ，求 的最小值.
【答案】（Ⅰ） ； ； . 的特征值为 ；（Ⅱ） ，理
由见解析；（Ⅲ）最小值为 .
的
> 0∆ 1a > 1x 2x 2 2 1 0ax ax+ + =
1 2x x<
1 2
1 2
2 0
1 0
x x
x x a
+ = −
1 2 0x x< <
( )f x′ ( )f x x
x ( )1, x−∞ 1x ( )1 2,x x 2x ( )2 ,x +∞
( )f x′ + 0 − 0 +
( )f x
( )y f x= ( )2f x
( )y f x= [ ]2 ,0x ( ) ( )2 0 1f x f< =
( )y f x= 1
( )2n n ≥ 2 1 1:nA x+ 2x 2 1nx + 2 1nA +
kx
( )1,2, ,2 1km k n= + 1m 2m 2 1nm + 2 1nA +
5 :1A 2 3 3 3 1m 2m 3m 5A
1 2 2 1nx x x +≤ ≤ ≤ ( ) ( )1 1 0i n j n− + − + ≥ i { }1,2, ,2 1j n∈ +
i j≠ i jm m− i jx x−
2 1nA + 1n −
1 2 1
i j
i j n
x x
≤ < ≤ +
−∑
1 1m = 2 2m = 3 3m = 5A 1 =i j i jm m x x− −
( )1n n +【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题中的定义可求出 、 、 的值及 的特征值；
（Ⅱ）分 、 和 、 两种情况讨论，结合题中
定义可证明出 ；
（Ⅲ）设 ，利用（Ⅱ）中的结论 ，结合数列 的特
征值为 ，可得出 ，并证明出
，即可求出 的最小值.
【详解】（Ⅰ）由题知： ， ， ，
的特征值为 ；
（Ⅱ） .
理由如下：由于 ，可分下列两种情况讨论：
当 、 时，
根据定义可知：
，
同理可得： .
所以 ，所以 .
当 、 时，同理可得：
，
所以 ，所以 .
综上有： ；
1m 2m 3m 5A
i { }1,2, , 1j n∈ + i { }1, 2, ,2 1j n n n∈ + + +
=i j i jm m x x− −
1 2 2 1nx x x +≤ ≤ ≤ =i j i jm m x x− − 2 1nA +
1n − ( )2 1 2 2 1 1 1n n n n nx x x x x x n+ + −+ + + − + + + ≥ −
( ) ( )( )2 2 1n k p kq n p q+ − + ≥ + +
1 2 1
i j
i j n
x x
≤ < ≤ +
−∑
( ) ( )1 3 3 2 3 1m = + − + = ( ) ( )2 3 3 3 1 2m = + − + = 3 3m =
5A 1
=i j i jm m x x− −
( ) ( )1 1 0i n j n− + − + ≥
i { }1,2, , 1j n∈ +
( ) ( )2 1 2 2 1 1i n n n n n im x x x x x x x+ + += + + + − + + + −
( ) ( )2 1 2 2 1 1n n n n n ix x x x x x x+ + += + + + − + + + +
( ) ( )2 1 2 2 1 1j n n n n n jm x x x x x x x+ + += + + + − + + + +
i j i jm m x x− = − =i j i jm m x x− −
i { }1, 2, ,2 1j n n n∈ + + +
( ) ( )2 1 2 1 1 1i n n n i n nm x x x x x x x+ + −= + + + − − + + +
( ) ( )2 1 2 1 1 1n n n n n ix x x x x x x+ + −= + + + − + + + −
( ) ( )2 1 2 1 1 1j n n n n n jm x x x x x x x+ + −= + + + − + + + −
i j i jm m x x− = − =i j i jm m x x− −
=i j i jm m x x− −（Ⅲ）不妨设 ，
，
显然， ，
.
当且仅当 时取等号；
.
当且仅当 时取等号；
由（Ⅱ）可知 、 的较小值为 ，
所以 .
当且仅当 时取等号，
此时数列 为常数列，其特征值为 ，不符合题意，则必有
.
下证：若 ， ，总有 .
证明：
所以 .
因此
.
当 时， 可取到最小值 ，符合题意.
1 2 2 1nx x x +≤ ≤ ≤
( )2 1 2 2 1 1
1 2 1
2 2 2 2 0 2 2i j n n n n n
i j n
x x nx n x x x x nx+ + +
≤ < ≤ +
− = + − + + + ⋅ − − −∑
( ) ( )( ) ( )2 1 1 2 2 22 2 2 2n n n nn x x n x x x x+ += − + − − + + −
2 1 1 2 2 2n n n nx x x x x x+ +− ≥ − ≥ ≥ −
( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x m+ + − + ++ + + − + + + ≥ + + − + + + =
1 2 1n nx x+ +=
( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1n n n n n n n nx x x x x x x x x x x m+ + − + + ++ + + − + + + ≥ + + − + + + =
1 1nx x +=
1m 2 1nm + 1n −
( )2 1 2 2 1 1 1n n n n nx x x x x x n+ + −+ + + − + + + ≥ −
1 1 2 1n nx x x+ += =
2 1nA + 0
( )2 1 2 2 1 1n n n n nx x x x x x n+ + −+ + + − + + + ≥
0p q≥ ≥ 2 k n≤ ≤ ( ) ( )( )2 2 1n k p kq n p q+ − + ≥ + +
( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 1 1 1n k p kq n p q n k p n k q+ − + − + + = + − − + −
( )( )1 0n k p q= + − − ≥
( ) ( )( )2 2 1n k p kq n p q+ − + ≥ + +
( ) ( )( ) ( )2 1 1 2 2 2
1 2 1
2 2 2 2i j n n n n
i j n
x x n x x n x x x x+ +
≤ < ≤ +
− = − + − − + + −∑
( )( ) ( )2 1 2 2 1 11 1n n n n nn x x x x x x n n+ + −≥ + + + + − − − − ≥ +
0,1
1, 1 2 1k
k nx n k n
≤ ≤= + ≤ ≤ + 1 2 1
i j
i j n
x x
≤ < ≤ +
−∑ ( )1n n +所以 的最小值为 .
【点睛】本题考查数列中的新定义，涉及数列中不等式的综合问题，解题的关键就是充分利
用题中的新定义进行求解，考查推理能力，属于难题.
1 2 1
i j
i j n
x x
≤ < ≤ +
−∑ ( )1n n +
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