数学试题（理科）
【本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟】
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，选出符
合题目要求的一项。
1．命题“若 ，则 ”的逆否命题是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．抛物线 的准线方程是( )
A． B． C． D．
3．已知空间向量 ， ，则 与 的夹角为( )
A． B． C． D．
4．曲线 与坐标轴的交点分别是（ ）
A． B．
C． D．
5．焦点在 轴上，且渐近线方程为 的双曲线的方程是 ( )
A． B． C． D．
6．已知两条直线 和平面 ，若 ，则 是 的( )
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
7． 已知命题 ，命题 ，则下列命题
中为真命题的是( )
A. B. C. D.
8．已知命题 ，命题 ，若 是 的充分不必要条件，则 的
2x > 1x >
2x < 1x < 2x ≤ 1x ≤
1x ≤ 2x ≤ 1x < 2x <
2 8x y=
2x = 2y = 2x = − 2y = −
( )0,1,1a = ( )1,0,1b = − a b
3
π
4
π
6
π
2
π
( )2 5
1 2
x t ty t
= − +
= −
为参数
2 10, , ,05 2
1 10, , ,05 2
( ) ( )0, 4 , 8,0− ( )50, , 8,09
x 2y x= ±
2
2 14
xy − =
2
2 14
x y− =
2
2 14
yx − =
2
2 14
y x− =
,a b α b α⊂ / /a b / /a α
( )2
2: ,log 2 3 1p x R x x∀ ∈ + + > 0 0: ,sin 1q x R x∃ ∈ >
p q¬ ∧ ¬ p q∧ ¬ p q¬ ∧ p q∧
: 1p a x a≤ ≤ + 2: 4 0q x x− < p q a取值范围是 ( )
A． B． C． D．
9．已知倾斜角为 的直线 通过抛物线 的焦点，且与抛物线交于 两点，则
弦 ( )
A． B． C． D．
10．已知直线 与椭圆 相交于 两点，且线段 的
中点在直线 上，则此椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
11．已知 ， 使得 ，那么命题
“ ”为真命题的充要条件是( )
A． 或 B． 或 C． D．
12．已知抛物线 的焦点 与双曲线 的焦点
重合，过点 的直线与抛物线 交于点 ，则 的最小值为 ( )
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若命题 ， ，则命题 的否定为______________.
14．过抛物线 的焦点 作直线 与该抛物线交于两点，过其中一交点 向
准线作垂线，垂足为 ，若 是面积为 的等边三角形，则 =____________.
15．已知双曲线 的左右焦点分别为 ,过 的直线 交双曲线的右支于
两点，则 的最小值为______________.
( ],0 [3 )−∞ + ∞ ， [ ]0,3 ( ) ( ),0 3−∞ + ∞ ， ( )0,3
60 l 2 4y x= ,A B
AB =
8 16
3 16 8
3
1y x= − + ( )2 2
2 2: 1 0x y a ba b
+ = > > ,A B AB
2 0x y− =
3
3
1
2
2
2
3
2
[ ] 2: 1,2 , 0p x x a∀ ∈ − ≥ : ,q x R∃ ∈ 2 2 2 0x ax a+ + − =
p q∧
2a ≤ − 1a = 2a ≤ − 1 2a≤ ≤ 1a ≥ 2 1a− ≤ ≤
( )2: 8 0C y ax a= > F ( )2 2
: 1 02
x yD aa a
− = >+
F C ,A B 2AF BF+
3 4 2+ 6 4 2+ 7 10
[ ]0: 1,1p x∃ ∈ − 2
0 02 1 0x x+ − ≥ p
2 2 ( 0)y px p= > F l A
B ABF∆ 4 3 p
2 2
19 6
x y− = 1 2,F F 2F l ,A B
1 1AF BF+16．椭圆 ， 是椭圆的左右焦点， 为坐标原点，点 为椭
圆上一点， ，且 成等比数列，则椭圆的离心率为
__________ .
三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(10 分) 已知命题 ； 关于 的方程 有实数
根．
（1）写出命题 的否定，并判断命题 的否定的真假；
（2）若命题“ ”为假命题，求实数 的取值范围．
18．(12 分)
已知圆 C 的圆心为(1，1)，直线 与圆 C 相切。
（1）求圆 C 的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆 C 所截得的弦长为 2，求直线的方程。
19．(12 分) 已知命题 p：方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆，命题 q：方程
表示双曲线。
（1）若 p 是真命题，求实数 k 的取值范围；
（2）若“p 或 q”是真命题，求实数 k 的取值范围。
20. (12 分)在直角坐标系 中，曲线 ，以坐标原点 为极
点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 曲线
的极坐标方程为 ， 与 交于点 .
( )2 2
2 2: 1 0x y a ba b
+ = > > 1 2,F F O P
2
4OP a= 1 1 2 2, ,PF F F PF
: , 0p x R x x∀ ∈ + ≥ :q x 2 1 0x mx+ + =
p p
p q∧ m
04 =−+ yx
119
22
=−+− k
y
k
x
12
22
=+− k
y
k
x
xOy ( )1
1 cos: sin
xC y
θ θθ
= +
=
为参数 O
x l ( )
4 R
πθ ρ= ∈
2C 2 2 22 sin 3ρ ρ θ+ = l 1C ,M N（1）写出曲线 的普通方程及直线 的直角坐标方程，并求 ；
（2）设 为曲线 上的动点，求 面积的最大值.
21．(12 分) 已知动圆 过点 ，且与直线 相切．
（1）求动圆圆心 的轨迹方程 ；
（2）已知点 ， ，过点 的直线 交曲线 于点 ，设直线
的斜率分别为 ，求证： 为定值，并求出此定值．
22．(12 分)已知 为圆 : 上一动点，圆心 关于 轴的对称点为 ,
点 分别是线段 , 上的点，且 , 。
（1）求点 的轨迹方程；
（2）直线 与点 的轨迹 只有一个公共点 ，且点 在第二象限，过
坐标原点 且与 垂直的直线 与圆 相交于 两点，求 面积
的取值范围。
1C l MN
P 2C PMN∆
C ( )1,0F 1x = −
C E
( )4, 4P − ( )8,4Q Q l E ,A B ,PA PB
1 2,k k 1 2k k
N 1C ( )2 22 24x y+ + = 1C y 2C
,M P 1C N 2C N 2 0MP C N =
2 22C N C P=
M
:l y kx m= + M Γ P P
O l 'l 2 2 8x y+ = ,A B PAB∆数学试题答案（理科）
1—5 CDABC 6—10 DADBC 11—12 AB
13. 14. 2
15. 16 16.
17.解：（1）命题 p 的否定：存在 x0∈R，|x0|+x0＜0．是一个假命题．…………………5 分
（2）命题 p：∀x∈R，|x|+x≥0 是真命题；命题“p∧q”为假命题，∴q 为假命题．
因此关于 x 的方程 x2+mx+1=0 没有实数根．∴△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．
∴实数 m 的取值范围是（﹣2，2）．…………………5 分
18．解：（1）由题知： ， 长轴长为 6，
渐近线方程是 …………………6 分
（2） 且 则
故 …………………6 分
19 ． 解 ： （ 1 ） 命 题 p ： “ 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ” ， 则
，解得 .…………………5 分
（2）命题 q:“方程 表示双曲线”，则 ，解得 或 .
若“p 或 q”是真命题，则 p,q 至少一个是真命题，即一真一假或全为真.……………7 分
则 或 或 ，…………………10 分
[ ] 21,1 , 2 1 0x x x∀ ∈ − + − <
6
4
1169
22
=− yx 4,3 == ba
xy 3
4±=
621 =− PFPF 3221 =⋅ PFPF
02
42)(
2
4cos
21
2
21
2
21
21
22
2
2
1
21 =⋅
−⋅+−=⋅
−+=∠
PFPF
cPFPFPFPF
PFPF
cPFPFPFF
9021 =∠ PFF
2 2
19 1
x y
k k
+ =− −
9 1
1 0
k k
k
− > −
− > 1 5k< <
2 2
12
x y
k k
+ =− (2 ) 0k k− < 2k > 0k <
1 5
0 2
k
k
<
或
或
1 5
2 0
k
k k
<
( ) ( )2 2
1 : 4 3 1C x y+ + − =
2 2
2 : 164 9
x yC + =
1C ( )4,3− 1
2C x 8
2
πϕ = ( )4,4P − ( )8cos ,3sinQ θ θ 32 4cos ,2 sin2M θ θ − + +
3 : 2 7 0C x y− − = M 3C 5 4cos 3sin 135d θ θ= − −
4 3cos ,sin5 5
θ θ= = − d 8 5
5
( ),C x y C ( )1,0F 1x = −
( )2 21 1x y x∴ − + = + 2 4y x=
2 4y x=
l l ( )8 4x m y− = −
( )
2 4
8 4
y x
x m y
= − = −
2 4 16 32 0y my m− + − =
( ) ( )2 216 4 16 32 16 4 8 0m m m m∆ = − − = − + >
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 24 , 16 32y y m y y m+ = = −因为 ，
，…………………11 分
所以 为定值，且定值为 .………………12 分
22. 解 ： （ 1 ） 连 接 , 因 为 ， 所 以 为 的 中 点 ， 因 为
， 所 以 ， 所 以 点 在 的 垂 直 平 分 线 上 ， 所 以
,因为 ,所以点 在以 为焦
点 的 椭 圆 上 ， 因 为 ， 所 以 ， 所 以 点 的 轨 迹 方 程 为 ：
.…………………4 分
（2）由 得 …………………5 分
因为直线 与椭圆 相切于点 ，所以
，即 ，解得 ，
即点 的坐标为 ，…………………7 分
因为点 在第二象限，所以 ，所以 ，
所以点 的坐标为 ，设直线 与 垂直交于点 ，
则 是点 到直线 的距离，且直线 的方程为 ，
所以
( )4, 4P − ( )( )1 2 1 2
1 2 2 2
1 2 1 21 2
4 4 4 4 16
4 4 4 44 44 4
y y y yk k x x y yy y
+ + + += ⋅ = ⋅ =− − − −− −
( )1 2 1 2
16 16 14 16 16 32 16 16y y y y m m
= = = −− + + − − +
1 2k k 1−
2MC 2 22C N C P= P 2C N
2 0MP C N =
2MP C N⊥ M 2C N
2MN MC= 1 2 1 2 6 4MN MC MC MC+ = + = > M 1 2,C C
6, 2a c= = 2 2b = M
2 2
16 2
x y+ =
2 2
16 2
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 23 1 6 3 6 0k x kmx m+ + + − =
:l y kx m= + Γ P ( ) ( )( )2 2 26 4 3 1 3 6km k m∆ = − + −
( )2 212 6 2 0k m= + − = 2 26 2m k= +
2 2
3 ,3 1 3 1
km mx yk k
−= =+ +
P 2 2
3 ,3 1 3 1
km m
k k
−
+ +
P 0, 0k m> > 26 2m k= +
P
2 2
3 2 2,
3 1 3 1
k
k k
− + +
'l l Q
PQ P 'l 'l 1y xk
= −
，…………………10 分
当 且 仅 当 ， 即 时 ， 有 最 大 值 ， 所 以
, 即 面 积 的 取 值 范 围 为
.…………………12 分
2 2
4 2
2
2 2
1 3 2 2
2 2 2 23 1 3 1
1 13 4 11 3 4
k
k kk kPQ
k k kk k
−× +
+ += = =
+ ++ + +
2 2 2 2 6 2
3 14 2 3
≤ = = −
++
2
2
13k k
= 2 3
3k = PQ 6 2−
1 4 2 4 3 42PABS PQ∆ = × × ≤ − PAB∆
(0,4 3 4−
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