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疯狂专练9
立体几何
一、选择题（5分/题）
1．[2017·铜梁一中]右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：
①//； ②与成角；
③与成异面直线且； ④与面所成角为．
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知与不平行，故①错误；连接、，将平移到，则与成角，故②正确；同理与成角，故③错误；与面所成角不为，故④错误，综上可得只有②正确，故选A．
2．[2017·天水一中]设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
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【答案】A
【解析】①可以作为线面垂直的性质定理，①正确；②在时，有，又，得，②正确；③在时，可能相交，可能异面，也可能平行，③错误；④把门绕轴旋转，它在每一个位置都与地面垂直，但门所在的各个位置并不垂直，④错误，故选A．
3．[2017·福建联考]已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）
A．存在某个位置，使得直线与直线垂直
B．存在某个位置，使得直线与直线垂直
C．存在某个位置，使得直线与直线垂直
D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直
【答案】C
【解析】如图，，，依题意，，，，．
A，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则∵，∴平面，从而，这与已知矛盾，排除A；
B，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，从而平面平面，即在底面上的射影应位于线段上，这是不可能的，排除B；
C，若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则平面，平面平面，取中点，连接，则，∴就是二面角的平面角，此角显然存在，即当在底面上的射影位于的中点时，直线与直线垂直，故C正确；
D，由上所述，可排除D；故选C．
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4．[2017·辽宁实验]已知，是平面，，是直线．下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【解析】由题意得，A中，若，则有直线与平面垂直的判定定理得，所以是正确的；B中，若，则与平行或异面，所以是不正确的；C中，若，则由平面与平面平行的判定定理得，所以是正确的；D中，，则由平面与平面垂直的判定定理得，所以是正确的．
5．[2017·延边模拟]已知三棱锥，满足，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将该三棱锥补成为正方体，如图．
．故选C．
6．[2017·福建毕业]设是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【解析】①可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④
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对，故选D．
7．[2017·邢台一中]已知三棱锥中，，，且各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】四棱锥四个顶点都在底面边长为，高为的长方体的顶上，故棱锥的外接球也是长方体的外接球，球的半径，，故选A．
8．[2017·南昌模拟]《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈（如图）．问它的体积是多少?”这个问题的答案是（ ）
A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈
【答案】A
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【解析】过点分别作平面和平面垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分，中间是直三棱柱，两边是两个一样的四棱锥，所以立方丈，故选A．
9．[2017·安阳模拟]北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如果棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共层，上底由个物体组成，以下各层的长、宽一次各增加一个物体，最下层（即下底）由个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（ ）
A．83 B．84 C．85 D．86
【答案】C
【解析】从题设及三视图中所提供的图形信息和数据信息可知，代入公式，应选答案C．
10．[2017·邢台月考]
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如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆，如果圆柱的体积是，那么三棱柱的体积是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆的半径为，等腰直角三角形的边长为，设三棱柱的体积为，则，，，故选C．
11．[2017·巴蜀中学]已知正四棱锥的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A．1:2 B．4:5 C．1:3 D．2:5
【答案】D
【解析】如图，设正四棱锥的高为，内切球与外接球的半径分别为，由题设可得，即，因，故．由于，因此，故，应选D．
12．[2017·江西质检]如图所示，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，，设，
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，给出以下命题：
①四边形为平行四边形；
②若四边形面积，，则有最小值；
③若四棱锥的体积，，则为常函数；
④若多面体的体积，，则为单调函数．
⑤当时，四边形为正方形．
其中假命题的个数为（ ）
A．0 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】对①，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，所以四边形为平行四边形，正确；
对②，因为平面，，所以平面，平面，所以，所以四边形面积，因为为定值，所以当分别为，的中点时有最小值，正确；
对③，，因为为定值，到平面的距离为定值，所以的体积为定值，即为常函数，正确；
对④，如图：过作平面平面，分别交，，于，
则多面体的体积，
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而，，
，所以，常数，错误；
对⑤，当时，四边形为正方形正确；故选D．
二、填空题（5分/题）
13．[2017·天津质检]如图，正方体中，给出以下四个结论：
①平面；②与平面相交；③平面；④平面平面，其中正确结论的序号是_______．
【答案】①④
【解析】对于①，由于平面平面，而平面，故与平面没有公共点，所以平面，正确；对于②，由于，所以平面，错误；对于③，与显然不垂直，错误；对于④，容易证明平面，而平面，故平面平面．正确．故答案为：①④．
14．[2017·黄山模拟]已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上．以平行于平面
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的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立．则短轴长为，长轴为的椭球体的体积为_____．
【答案】
【解析】根据题意可得：椭半球体的体积等于圆柱截去圆锥所剩下部分的体积，所以椭半球体体积为，故椭球体的体积为．
15．[2017·名族中学]已知正四面体的棱长为，为棱的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________．
【答案】
【解析】将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，∵正四面体的棱长为，∴正方体的棱长为，可得外接球半径满足，解得，为棱的中点，过作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大时，截面圆的面积取最小值，此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积最小值为．
16．[2017·鹰潭一中]在正四棱锥内有一半球，其底面与正四棱锥的底面重合，且与正四棱锥的四个侧面相切，若半球的半径为，则当正四棱锥的体积最小时，其高等于_________．
【答案】
【解析】如图，设球心为，设四棱锥的高，设四棱锥底面长为，
∴，∴，
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∴，∴，
∴，
∴当时，正四棱锥的体积最小，，故答案为：．
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