南昌二中 2019—2020 学年度上学期期末考试
高二数学（理）试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．用反证法证明命题：“ ，若 可被 整除，那么 中至少有一个能被 整
除．”时，假设的内容应该是（ ）
A． 都不能被 5 整除 B． 都能被 5 整除
C． 不都能被 5 整除 D． 能被 5 整除
3．函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C．1 D．
4．下列命题中错误的是（ ）
A．若命题 为真命题，命题 为假命题，则命题“ ”为真命题
B．命题“若 ，则 或 ”为真命题
C．命题“若函数 的导函数 满足 ，则 是函数 的极值点”的逆
否命题是真命题
D．命题 p： ，则 p 为
5.直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则“复数 在复平面内对应的点在第三象限”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．函数 在区间 上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
0, sin 2 1xx x∃ > > − ¬ 0, sin 2 1xx x∀ > −≤
iz −= 3
3 1− i i−
, Na b∈ ab 5 ,a b 5
,a b ,a b
,a b a
( ) cosxf x e x= (0, (0))f
4
π
2
π
p q )( qp ¬∨
7≠+ ba 2≠a 5≠b
)(xf )(' xf 0)( 0
' =xf 0x )(xf
01)1( 2 =−++ yax
],4
3[ ππ
]4
3,4[
ππ
4,0
π
ππ
,4
3
Ra∈
i
aiz +
−=
1
3 3>a
2 31( ) 2 3f x x x= − [0 , 6]
32
3
16
3 12 98．若 ， ， ，则 的大小关系为( )
A． B． C． D．
9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两
位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看
后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩
10.下列命题为真命题的个数是（ ）
① ② ③
A．0 B．1 C．2
D．3
11.双曲线 的左,右顶点分别是 ， 是 上任意一点，直线 分
别与直线 交于 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
12．若函数 与函数 的图象存在公切线，则正实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知函数 ，则 等于____________.
14. __________.
15．已知点 P（x，y）是抛物线 y2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x+2）2+（y―4）2＝1 上任意
一点，则|PQ|+x 的最小值为_____．
2 2
1 1
S x dx= ∫ 2
2 1
1S dxx
= ∫ 2
3 1
xS e dx= ∫ 1 2 3, ,S S S
1 2 3S S S< < 2 1 3S S S< < 2 3 1S S S< < 3 2 1S S S< <
e
1ln π
π
3
3
>ee
:C
2
2 14
x y− = 1 2,A A P C 1 2,PA PA
: 1l x = ,M N MN
1 3
1)( 2−=xxf 1ln)( −= xaxg a
),0( e ],0( e )2,0( e ]2,0( e
( ) sin 2 3f x x
π = − 3f
π
′
=+−∫− dxxx1
1
2 )1(16.已知函数 .下列说法正确的是___________.
① 有且仅有一个极值点；
② 有零点；
③若 极小值点为 ，则 ；
④若 极小值点为 ，则 .
三、解答题：本大题共 6 个题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
命题 ，命题 方程 表示焦点在 轴上的
椭圆．
（1）若“ 或 ”为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若“非 ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分）
在平面直角坐标系 中，曲线 为 （ 为参数）.在以 为原点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，射线
与 除极点外的一个交点为 ，设直线 经过点 ，且倾斜角为 ，直线 与曲线 的
两个交点为 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
2ln)( −−= xexf x
)(xf
)(xf
)(xf 0x 2
1)(0 0 > − ¬ 0, sin 2 1xx x∀ > −≤
iz −= 3
3 1− i i−
, Na b∈ ab 5 ,a b 5
,a b ,a b
,a b a
( ) cosxf x e x= (0, (0))f
4
π
2
π
( ) cos sinx xf x e x e x−′ = ( ) 1f x′ =
4
π
p q )( qp ¬∨
7≠+ ba 2≠a 5≠b
)(xf )(' xf 0)( 0
' =xf 0x )(xf
01)1( 2 =−++ yaxA． B． C． D．
6．若 ，则“复数 在复平面内对应的点在第三象限”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
7．函数 在区间 上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【 答 案 】 A
【 解 析 】 .
8．若 ， ， ，则 的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
依题意， ，故 ，所以选 B.
9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两
位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后
甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩
【答案】A
10.下列命题为真命题的个数是（ C ）
① ② ③
A．0 B．1 C．2
D．3
11.双曲线 的左,右顶点分别是 ， 是 上任意一点，直线 分
],4
3[ ππ
]4
3,4[
ππ
4,0
π
ππ
,4
3
Ra∈
i
aiz +
−=
1
3 3>a
2 31( ) 2 3f x x x= − [0 , 6]
32
3
16
3 12 9
2
1 2
32( ) 4 0, 0, 4, (0) 0, (4) , (6) 03f x x x x x f f f′ = − = = = ∴ = = =
2 2
1 1
S x dx= ∫ 2
2 1
1S dxx
= ∫ 2
3 1
xS e dx= ∫ 1 2 3, ,S S S
1 2 3S S S< < 2 1 3S S S< < 2 3 1S S S< < 3 2 1S S S< <
3
2 2 2 2
1 1 2 1 3 1
7| , ln | ln 2, |3 3
xxS S x S e e e
= = = = = = − 2 1 3S S S< <
e
1ln π
π
3
3
>ee
:C
2
2 14
x y− = 1 2,A A P C 1 2,PA PA别与直线 交于 ，则 的最小值是（ B ）
A． B． C．2 D．3
12．若函数 与函数 的图象存在公切线，则正实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
13．已知函数 ，则 等于____________.
详解： 函数
，
将 代入，得
14. __________.
15．已知点 P（x，y）是抛物线 y2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x+2）2+（y﹣4）2＝1 上任意
一点，则|PQ|+x 的最小值为_____．
【答案】3
画出图像,设焦点为 ,由抛物线的定义有 ,故 .
又 当且仅当 共线且 为 与圆 的交点时 取最小值为
.故 的最小值为 .
又当 为线段 与抛物线的交点时 取最小值,
此时
: 1l x = ,M N MN
1 3
1)( 2 −= xxf 1ln)( −= xaxg a
),0( e ],0( e )2,0( e ]2,0( e
( ) sin 2 3f x x
π = − 3f
π
′ 1
( ) sin 2 3f x x
π = −
'( ) 2 (2 )3f x cos x
π∴ = −
3x
π= 2'( ) 2 ( ) 2 13 3 3 3f cos cos
π π π π= − = =
=+−∫− dxxx1
1
2 )1( 2
π
(1,0)F 1PF x= + 1x PF= −
PQ QC CP+ ≥ , ,C Q P Q CP C PQ
1PC QC PC− = − PQ x+ 1 1 2PC PF PC PF− + − = + −
P CF PC PF+
2 22 2 [1 ( 2)] (0 4) 2 3PQ x PC PF CF+ = + − = − = − − + − − =16.已知函数 .下列说法正确的是___________.
① 有且仅有一个极值点；
② 有零点；
③若 极小值点为 ，则
④若 极小值点为 ，则
①③
17．命题 ，命题 方程 表示焦点在 轴上的
椭圆．
（1）若“ 或 ”为假命题，求实数 的取值范围；
（2）若“非 ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
试题解析：（1）关于命题 ，
时，显然不成立， 时成立，恒成立
时，只需 即可，解得： ，故 为真时： ；
关于命题 ， 解得： ，
命题“ 或 ”为假命题，即 均为假命题，则 ；．
（2）非 ，所以
18．在平面直角坐标系 中，曲线 为 （ 为参数）.在以 为原点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，射线
与 除极点外的一个交点为 ，设直线 经过点 ，且倾斜角为 ，直线 与曲线 的
2ln)( −−= xexf x
)(xf
)(xf
)(xf 0x 2
1)(0 0 +>− aa 2 1a− < <
p q ,p q 4 1a a≤ − ≥或
: 2 1q a a≤ − ≥或 3 1m m≤ − ≥或
xOy 1C
=
=
sin
cos2
ϕ
ϕ
y
x ϕ O x
2C θρ cos4= ( 0)4
πθ ρ= ≥
2C M l M 6
π
l 1C两个交点为 .
（1）求 普通方程和 的直角坐标方程；
（2）求 的值.
18.试题分析：（1） 的普通方程是 .
由 得 ，所以 的直角坐标方程是
（2）联立 与 得 或 ， 不是极点， .
依题意，直线 的参数方程可以表示为 （ 为参数），
代入 得 ,设 点的参数是 ，则
，
19．数列 的前 项和为 ，且满足 ．
(1)求 ， ， ， 的值；
(2)猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
解：（1）当 时，∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
同理 ， ；
（2）猜想
下面用数学归纳法证明这个结论.
①当 时，结论成立.
②假设 时结论成立，即 ，
BA,
1C 2C
MBMA ⋅
1C
2
2 14
x y+ =
θρ cos4= θρρ cos42 = 2C 0422 =−+ xyx
0422 =−+ xyx y x= )2,2(M )0,0(M M )2,2(M∴
l
+=
+=
2
12
2
32
ty
tx
t
2
2 14
x y+ = 27 (2 3 8) 16 04 t t+ + + = BA, 1, 2t t
7
64
21 =tt 7
64|| 21 ==⋅∴ ttMBMA
{ }na n nS ( )*1 2 Nn n
n
a S nS
= + − ∈
1S 2S 3S 4S
{ }nS
1n = 1 1 1
1
1 2a S S S
= = + −
1
1
2S =
2 2 1 2
2
1 2a S S S S
= − = + −
2
2
3S =
3
3
4S = 4
4
5S =
( )*N1n
nS nn
= ∈+
1n =
( )*, 1n k k N k= ∈ ≥
1k
kS k
= +当 时， ，
∴ ，∴
即当 时结论成立.
由①②知 对任意的正整数 n 都成立.
20．(本小题满分 12 分) 设函数 ．
（Ⅰ）当 时， 恒成立，求 范围；
（Ⅱ）方程 有唯一实数解，求正数 的值．
20．【解析】（Ⅰ）当 时， ．
解 得 或 （舍去）．当 时， ， 单调递增，当
时 ， ， 单 调 递 减 ． 所 以 的 最 大 值 为 ． 故
．
（Ⅱ）方程 即
解法 1：设 ，解
得 ( ( )f x (0, )+∞
1 0a + > 1a > − '( ) 0f x > 1x a> + '( ) 0f x < 1x a< +
( )f x (0, 1)a + ( 1, )a + +∞
( ) (sin 1)xf x a x> +
ln 1 sinx x a a x a+ + > + ln sin 1x x a x> −
ln 1x x ax≥ −
( ) ln 1g x x x ax= − + '( ) 1 ln ln 1g x x a x a= + − = + −
( )f x 1(0,e )a− 1(e , )a− +∞
1 1 1 1( ) ( ) ( 1) 1 1a a a ag x g e a e ae e− − − −≥ = − − + = −
0 1a≤ ≤ 11 0ae −− ≥ ( ) 0g x ≥
ln 1x x ax≥ − 1x = 1a =
1 sin 1ax a x− ≥ − ( ) sinh x x x= − '( ) 1 cos 0h x x= − ≥
( )h x (0, )+∞ ( ) (0) 0h x h> = sinx x>
0 1a≤ ≤ 1 sin 1ax a x− ≥ − 0a =
ln 1x x ax≥ − 1 sin 1ax a x− ≥ −
ln sin 1x x a x> − ( ) (sin 1)xf x a x> +
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