北京市西城区2019-2020高一上学期期末考试数学试题（Word版带解析）.doc

2019-2020 学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷 一、选择题 1.已知集合 A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么 A∩B＝（　　） A. {﹣1，1} B. {﹣2，0} C. {﹣2，0，2} D. {﹣2， ﹣1，0，1} 【答案】C 【解析】 【分析】 利用交集直接求解． 【详解】∵集合 A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}， A∩B＝{﹣2，0，2}． 故选：C． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题． 2.方程组 的解集是（　　） A. {(1，﹣1),(﹣1，1)} B. {(1，1),(﹣1，﹣1)} C. {(2，﹣2),（﹣2，2)} D. {(2，2),(﹣2，﹣2)} 【答案】A 【解析】 【分析】 求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数． 【详解】方程组 的解为 或 ， 其解集为　 ． 故选：A． 【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起 来，表示有序，即代表元可表示为 ，一个解可表示为 ． 2 2 0 2 x y x y + =  + = 2 2 0 2 x y x y + =  + = 1 1 x y =  = − 1 1 x y = −  = {(1, 1),( 1,1)}− − ( , )x y (1, 1)−3.函数 y＝ 的定义域是（　　） A. [0，1) B. (1，+∞) C. (0，1)∪(1,+∞) D. [0，1)∪(1,+∞) 【答案】D 【解析】 【分析】 由偶次根式的被开方数大于等于 0，分式的分母不为 0，可得到不等式组 ，解出 即可求得定义域． 【详解】依题意， ，解得 x≥0 且 x≠1，即函数的定义域为[0，1)∪ (1，+∞)， 故选：D． 【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题． 4.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（　　） A. y＝x+1 B. y＝x2﹣1 C. y＝2x D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于 A，y＝x+1，为一次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 对于 B，y＝x2﹣1，为二次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 对于 C，y＝2x，为指数函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 对于 D， ，为对数函数，在 (0，+∞)上单调递减，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 5.设 a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则 a，b，c 的大小关系为（　　） A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. b＜c＜a 1 1x x + − 0 1 0 x x ≥  − ≠ 0 1 0 x x ≥  − ≠ 1 2 logy x= 1 2 logy x=【答案】A 【解析】 【分析】 利用对数函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值 0 和 1 比较． 【详解】∵log20.4＜log21＝0，∴a＜0， ∵0.42＝0.16，∴b＝0.16， ∵20.4＞20＝1，∴c＞1， ∴a＜b＜c， 故选：A． 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指 数函数的性质的合理运用． 6.若 ， ，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：根据 ，有 ，由于 ，两式相乘有 ， 故选 B. 考点：不等式的性质. 7.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 试题分析：因为 成立， 的符号是不确定的，所以不能推出 成立，反之也不 行，所以是既不充分也不必要条件，故选 D． 考点：充分必要条件的判断． 0a b> > 0c d< < ac bd> ac bd< ad bc< ad bc> 0c d< < 0c d− > − > 0a b> > ,ac bd ac bd− > − < ,a b R∈ a b> a b> a b> ,a b a b>8.某种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么 x 小时后病人血液中这种药物的含量为（　　） A. 2000(1﹣0.2x)mg B. 2000(1﹣0.2)xmg C. 2000(1﹣0.2x)mg D. 2000•0.2xmg 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数函数模型求得函数 y 与 x 的关系式． 【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时 20%的比例递减，给某病人注射了该药物 2000mg，经过 x 个小时后， 药物在病人血液中的量为 y＝2000× (1﹣20%)x＝2000×0.8x (mg)， 即 y 与 x 的关系式为 y＝2000×0.8x． 故选：B． 【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题． 9.如图，向量 等于（　　） A. 3 ﹣ B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量减法法则，表示出 ，然后根据加法法则与数乘运算得出结论． 【详解】 ＝ ， 故选：B． 【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题． a b−  1e 2e 1 23e e−  1 23e e− +  1 23e e− +  a b−  a b−  1 23e e− 10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 y，观影人数记为 x，其函 数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图 （2）、图（3）中的实线分别为调整后 y 与 x 的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对 应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成 本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高 票价，并降低成本．其中，正确的说法是（　　） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解． 【详解】由图可知，点 A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价， 故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图 (3)成本保持不变，但提高了票价，即③ 对； 故选：C． 【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题． 二、填空题 11.已知方程 x2﹣4x+1＝0 的两根为 x1 和 x2，则 x12+x22＝_____． 【答案】14 【解析】 分析】 利用韦达定理代入即可． 【详解】方程 x2﹣4x+1＝0 的两根为 x1 和 x2， x1+x2＝4，x1x2＝1， x12+x22＝ (x1+x2)2﹣2x1x2＝16﹣2＝14， 【故答案为：14． 【点睛】考查韦达定理的应用，基础题． 12.已知向量 ＝(1,﹣2)， ＝(﹣3,m)，其中 m∈R．若 ， 共线，则| |＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】 由向量共线的坐标表示求出 m，再由模的坐标运算计算出模． 【详解】∵ ， 共线，∴m－6＝0，m＝6， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题． 13.已知函数 f(x)＝log3x．若正数 a，b 满足 ，则 f(a)﹣f(b)＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】 直接代入函数式计算． 【详解】 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题． 14.函数 的零点个数是_____；满足 f(x0)＞1 的 x0 的取值范围是 _____． 【答案】 (1). 2 (2). （﹣1，0）∪（2，+∞） 【解析】 【分析】 直接解方程 求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解．解不等式 f (x0)＞1 也同样由函数解析式去求解． a b a b b 3 5 a b 2 2( 3) 6 3 5b = − + = 3 5 1 9 a b = 2− 3 3 3 3 1( ) ( ) log log log log 29 af a f b a b b − = − = = = − 2− ( ) 2 2, 0 3, 0 x xf x x x +  ( ) 0f x =【详解】 时， ， ，当 时， ， 共 2 个零点，即零点个数为 2； 当 时， ， ，当 时， ，即 ， ∴ 的 的取值范围是 ． 故答案为：2； ． 【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意 各段的取值范围即可． 15.已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中 c∈R．①集合∁RA＝_____；②若 ∀x∈R，都有 x∈A 或 x∈B，则 c 的取值范围是_____． 【答案】 (1). {x|﹣2＜x＜3} (2). （﹣∞，﹣2] 【解析】 【分析】 ①先求出集合 A，再利用补集的定义求出∁RA； ②由对∀x∈R，都有 x∈A 或 x∈B，所以 A∪B＝R，从而求出 c 的取值范围． 【详解】①∵集合 A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2 或 x≥3}， ∴∁RA＝{x|﹣2＜x＜3}； ②∵对∀x∈R，都有 x∈A 或 x∈B，∴A∪B＝R， ∵集合 A＝{x|x≤﹣2 或 x≥3}，B＝{x|x＞c}， ∴c≤﹣2， ∴c 的取值范围是： (﹣∞，﹣2]， 故答案为：{x|﹣2＜x＜3}； (﹣∞，﹣2]． 【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用， 难度不大，属于基础题． 16.给定函数 y＝f(x)，设集合 A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得 x+y＝0 成立，则称函数 f(x)具有性质 P．给出下列三个函数：① ；② ；③y＝ lgx．其中，具有性质 P 的函数的序号是_____． 【答案】①③ 0x > 2( ) 3 0f x x= − = 3x = 0x < ( ) 2 0, 2f x x x= + = = − 0x > 2( ) 3 1f x x= − > 2x > 0x < ( ) 2 1, 1f x x x= + > > − 1 0x− < < 0( ) 1f x > 0x ( 1,0) (2, )− +∞ ( 1,0) (2, )− +∞ 1y x = 1 2 x y  =   【解析】 【分析】 A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即 可． 【详解】对①，A＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x∈A， ∃y∈B，使得 x+y＝0 成立，即具有性质 P； 对②，A＝R，B＝ (0，+∞)，当 x＞0 时，不存在 y∈B，使得 x+y＝0 成立，即不具有性质 P； 对③，A＝ (0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得 x+y＝0 成立，即具有性质 P； 故答案为：①③． 【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题． 三、解答题 17.某校高一新生共有 320 人，其中男生 192 人，女生 128 人．为了解高一新生对数学选修 课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取 5 人进行访谈． （Ⅰ）这 5 人中男生、女生各多少名？ （Ⅱ）从这 5 人中随即抽取 2 人完成访谈问卷，求 2 人中恰有 1 名女生的概率． 【答案】（Ⅰ）男生3 人，女生 2 人；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 (Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这 5 人中男生人数和女生人数． (Ⅱ)记这 5 人中 3 名男生为 B1，B2，B3，2 名女生为 G1，G2，利用列举法能求出抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率． 【详解】(Ⅰ)这 5 人中男生人数为 ，女生人数为 ． (Ⅱ)记这 5 人中的 3 名男生为 B1，B2，B3，2 名女生为 G1，G2， 则样本空间为： Ω＝{ (B1，B2)， (B1，B3)， (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，B3)， (B2，G1)， (B2，G2)， (B3， G1)， (B3，G2)， (G1，G2)}， 样本空间中，共包含 10 个样本点． 设事件 A 为“抽取的 2 人中恰有 1 名女生”， 的 3 5 192 5 3320 × = 128 5 2320 × =则 A＝{ (B1，G1)， (B1，G2)， (B2，G1)， (B2，G2)， (B3，G1)， (B3，G2)}， 事件 A 共包含 6 个样本点． 从而 所以抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率为 ． 【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题． 18.在直角坐标系 xOy 中，记函数 的图象为曲线 C1，函数 的图象为曲线 C2． （Ⅰ）比较 f（2）和 1 的大小，并说明理由； （Ⅱ）当曲线 C1 在直线 y＝1 的下方时，求 x 的取值范围； （Ⅲ）证明：曲线 C1 和 C2 没有交点． 【答案】（Ⅰ）f(2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log25,3)；（Ⅲ）证明见解析 【解析】 【分析】 (Ⅰ)因为 ，求出 f (2)的值，结合函数的单调性判断 f (2)和 1 的 大小． (Ⅱ)因为“曲线 C 在直线 y＝1 的下方”等价于“f (x)＜1”，推出 ．求解即 可． (Ⅲ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线 C1 和 C2 没有交点． 【详解】解： (Ⅰ)因为 ， 又函数 y＝log3x 是 (0，+∞)上的增函数， 所以 f (2)＝log34＞log33＝1． (Ⅱ)因为“曲线 C 在直线 y＝1 的下方”等价于“f (x)＜1”， 所以 ． 因为 函数 y＝log3x 是 (0，+∞)上的增函数， 所以 0＜8﹣2x＜3， 即 5＜2x＜8， 所以 x 的取值范围是 (log25，3)． ( ) 6 3 10 5P A = = 3 5 ( ) ( )3log 8 2xf x = − ( ) 3g x x= − ( ) ( )2 3 32 log 8 2 log 4f = − = ( )3log 8 2 1x− < ( ) ( )2 3 32 log 8 2 log 4f = − = ( )3log 8 2 1x− ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 x xf x x x x + += = =− − − 1 21 x x< < 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1( ) ( ) 1 1 ( 1)( 1) x xf x f x x x x x −− = − =− − − − 1 21 x x< < 1 2 2 11 0, 1 0, 0x x x x− > − > − >∴ ，即 ， ∴ 在 上是减函数； (III)由 (I) (II)知函数 在 上是增函数， ∴ ， ， ∴所求值域为 ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础． 21.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本 C（单位：万元）与生产量 x （单位：千件）间的函数关系是 C＝3+x；销售收入 S（单位：万元）与生产量 x 间的函数 关系是 . （Ⅰ）把商品的利润表示为生产量 x 的函数； （Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？ 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）确定 5 千件时，利润最大． 【解析】 【分析】 (I)用销售收入减去生产成本即得利润； (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量． 【详解】(I)设利润是 (万元)，则 ， ∴ ； (II) 时， ， 由“对勾函数”知，当 ，即 时， ， 为 1 2( ) ) 0(f x f x− > 1 2( ) ( )f x f x> ( )f x (1, )+∞ ( )f x [ 4, 2]− − min 2 4 1 1( ) ( 4) ( 4) 1 3f x f − += − = =− − max 2 2 1( ) ( 2) 1( 2) 1f x f − += − = =− − 1[ ,1]3 183 5,0 68 14, 6 x xS x x  + + <