1
24．1.4 圆周角
1．顶点在__圆___上，并且两边和圆__相交___的角叫圆周角．
2．在同圆或等圆中，__同弧___或__等弧___所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__
圆心角___的一半．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相等___．
3．半圆或直径所对的圆周角是__直角___，90°的圆周角所对的弦是__直径___．
4．圆内接四边形对角__互补___，外角等于__内对角___.
知识点 1：认识圆周角
1．下列图形中的角是圆周角的是( B )
2．在⊙O 中，A，B 是圆上任意两点，则AB︵
所对的圆心角有__1___个，AB︵
所对的圆周角
有__无数___个，弦 AB 所对的圆心角有__1___个，弦 AB 所对的圆周角有__无数___个．
知识点 2：圆周角定理
3．如图，已知点 A，B，C 在⊙O 上，ACB︵
为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是( A )
A．2∠C B．4∠B
C．4∠A D．∠B＋∠C
,第 3 题图) ,第 4 题图)
4．(2014·重庆)如图，△ABC 的顶点 A，B，C 均在⊙O 上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则
∠AOC 的大小是( C )
A．30° B．45° C．60° D．70°
知识点 3：圆周角定理推论
5．如图，已知 AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B 的度数是( C )
A．35° B．45° C．55° D．65°
,第 5 题图),第 6 题图),第 7 题图)
6．如图，CD⊥AB 于 E，若∠B＝60°，则∠A＝__30°___．
7．如图，⊙O 的直径 CD 垂直于 AB，∠AOC＝48°，则∠BDC＝__24°___．
8．如图，已知 A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，AB＝BC，BD 交 AC 于点 E，连接 CD，AD.
求证：DB 平分∠ADC.
解：∵AB＝BC，∴AB︵
＝BC︵
，∴∠BDC＝∠ADB，∴DB 平分∠ADC
知识点 4：圆内接四边形的对角互补
9．如图，四边形 ABCD 是圆内接四边形，E 是 BC 延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE
的大小是( B )
A．115° B．105° C．100° D．95°
,第 9 题图) ,第 10 题图)
10．如图，A，B，C，D 是⊙O 上顺次四点，若∠AOC＝160°，则∠D＝__80°___，∠B＝
__100°___.2
11．如图，▱ABCD 的顶点 A，B，D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上，连接 AE，∠E＝
36°，则∠ADC 的度数是( B )
A．44° B．54° C．72° D．53°
,第 11 题图) ,第 12 题图)
12．(2014·丽水)如图，半径为 5 的⊙A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠
EAD.已知 DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则弦 BC 的弦心距等于( D )
A.
41
2 B.
34
2 C．4 D．3
13．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB＝__20°___．
,第 13 题图),第 14 题图),第 15 题图)
14．如图，△ABC 内接于⊙O，点 P 是AC︵
上任意一点(不与 A，C 重合)，∠ABC＝55°，
则∠POC 的取值范围是__0°＜∠POC＜110°___．
15．如图，⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于 A，D 两点，已知∠OBA＝30°，点 A
的坐标为(2，0)，则点 D 的坐标为__(0，2 3)___．
16．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC，AC 于点 D，E，且
点 D 为边 BC 的中点．
(1)求证：△ABC 为等边三角形；
(2)求 DE 的长．
解：(1)连接 AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.∵点 D 是 BC 的中点，∴AD 是 BC
的垂直平分线，∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC 为等边三角形 (2)连接
BE，∵AB 是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE＝EC，即 E 为 AC
的中点．又∵D 是 BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE＝
1
2AB＝
1
2×2＝1
17．(2014·武汉)如图，AB 是⊙O 的直径，C，P 是AB︵
上两点，AB＝13，AC＝5.
(1)如图①，若点 P 是AB︵
的中点，求 PA 的长；
(2)如图②，若点 P 是BC︵
的中点，求 PA 的长．
解：(1)连接 PB.∵AB 是⊙O 的直径，P 是AB︵
的中点，∴PA＝PB，∠APB＝90°，可求 PA
＝
2
2 AB＝
13 2
2 (2)连接 BC，OP 交于点 D，连接 PB.∵P 是 BC︵
的中点，∴OP⊥BC，BD＝
CD.∵OA＝OB，∴OD＝
1
2AC＝
5
2.∵OP＝
1
2AB＝
13
2 ，∴PD＝OP－OD＝
13
2 －
5
2＝4.∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，由勾股定理可求 BC＝12，∴BD＝
1
2BC＝6，∴PB＝ PD2＋BD2＝ 42＋62＝2
13.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB＝90°，∴PA＝ AB2－PB2＝ 132－（2 13）2＝3 13
18．已知⊙O 的直径为 10，点 A，B，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点 D.
(1)如图①，若 BC 为⊙O 的直径，AB＝6，求 AC，BD，CD 的长；
(2)如图②，若∠CAB＝60°，求 BD 的长．3
解：(1)∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°.在 Rt△CAB 中，AC＝ BC2－AB2＝
102－62＝8.∵AD 平分∠CAB，∴CD︵
＝BD︵
，∴CD＝BD.在 Rt△BDC 中，CD2＋BD2＝BC2＝100，∴
BD2＝CD2＝50，∴BD＝CD＝5 2 (2)连接 OB，OD.∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB
＝
1
2∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°.又∵⊙O 中 OB＝OD，∴△OBD 是等边三角形，∵⊙
O 的直径为 10，∴OB＝5，∴BD＝5
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