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黄冈八模
2019届高三理科数学模拟测试卷（二）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，，10以内的素数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的交集和补集运算得到结果即可.
【详解】，，
由补集运算得到结果为：.
故选D.
【点睛】这个题目考查了集合的交集运算和补集运算，较为简单.
2.为虚数单位，已知是纯虚数，与为共轭虚数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设，根据复数的除法运算以及共轭复数的概念得到结果.
【详解】设，为实数，，∴，解得.故.
故选A.
【点睛】这个题目考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，是基础题.
3.学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：
将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（ ）
A. 抽样表明，该校有一半学生为阅读霸
B. 该校只有50名学生不喜欢阅读
C. 该校只有50名学生喜欢阅读
D. 抽样表明，该校有50名学生为阅读霸
【答案】A
【解析】
【分析】
根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.
【详解】根据频率分布直方图可列下表：
阅读时间（分）
抽样人数（名）
10
18
22
25
20
5
抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸.
故选A.
【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.
4.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据指数和对数的运算法则分别估算a,b,c的数值大概的范围，从而得到大小关系.
【详解】，又，∴，故.
故选C.
【点睛】这个题目考查了比较两数大小的应用，常见的比较大小的方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.
5.已知函数的最小正周期为，则该函数的图像（ ）
A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
【答案】C
【解析】
于是 在对称轴上取到最值， 故A不对；
，故B不对；
又∵故C正确；．
故D不对
故选C.
6.设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若，则（ ）
A. 528 B. 529 C. 530 D. 531
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质得到结果即可.
【详解】根据等差数列的性质：得到：.
故选D.
【点睛】这个题目考查了等差数列的性质的应用，即，题目比较基础.
7.设等边三角形的边长为1，平面内一点满足，向量与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的平方等于模长的平方得到，再将两边用点乘，由向量点积公式得到夹角的余弦值.
【详解】，，对两边用点乘，与夹角的余弦值为.
故选D.
【点睛】这个题目考查了向量的模长的求法以及向量点积的运算，题目比较简单基础；平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
8.一个几何体的三视图如图所示，其体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图得到原图，再由割补法得到体积.
【详解】
该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥，如图所示，由直三棱柱的体积减去小三棱锥的体积即可得到结果，则其体积为.
故选C.
【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
9.某校有、、、四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.
甲说：“、同时获奖.”
乙说：“、不可能同时获奖.”
丙说：“获奖.”
丁说：“、至少一件获奖”
如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（ ）
A. 作品与作品 B. 作品与作品 C. 作品与作品 D. 作品与作品
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件可判断出乙丁预测正确，而甲丙预测错误，这样根据这四位同学的预测即可得出获奖的作品．
【详解】乙，丁预测的是正确的，甲，丙预测的是错误的；
丙预测错误，∴C不获奖；
丁预测正确，A，C至少一件获奖，∴A获奖；
甲预测错误，即A，B不同时获奖，∴B不获奖；
∴D获奖；
即获奖的作品是作品A与作品D．
故选：D．
【点睛】本题考查进简单合情推理的过程和方法，属于中档题．
10.设为椭圆上任意一点，，，延长至点，使得，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据椭圆定义得，再根据条件得，最后根据圆的定义得轨迹方程.
【详解】 为椭圆上任意一点,且A,B为椭圆的焦点， ，又，，所以点的轨迹方程为.选B.
【点睛】求点的轨迹方程的基本步骤是：①建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；②寻找动点P（x，y）所满足的条件；③用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；④化简方程f（x，y）=0为最简形式；⑤证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.有时可以通过几何关系得到点的轨迹，根据定义法求得点的轨迹方程.
11.如图，为圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列不正确的是（ ）
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线面垂直的判定定理，性质定理，结合面面垂直的判定定理得到结果.
【详解】平面平面
，
∴A正确，C、D显然正确.
故选B.
【点睛】这个题目考查了面面垂直的判定，先得到线面垂直，即一条线垂直于面内的两条相交直线则线面垂直，进而得到面面垂直.
12.如果函数在区间上增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上“函数”，区间叫做“区间”.若函数是区间上“函数”，则“区间”为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意需要找函数的增区间和函数的减区间，两者取交集即可.
【详解】根据题干得到：因，，故，解得.
故选B.
【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，原函数的导函数大于等于0则得到函数的增区间，导函数小于等于0则得到函数的减区间.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数,若，则__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据解析式得到a的范围，进而得到，解出参数a=1,代入表达式得到.
【详解】由时是减函数可知，若，则，∴，由得，解得，则.
故答案为：2.
【点睛】这个题目考查了分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略
(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。
(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。
(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。
14.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.
【答案】120
【解析】
分析：把丙丁捆绑在一起，作为一个元素排列，然后把甲插入，注意丙丁这个元素的位置不同决定着甲插入的方法数的不同．
详解：．
故答案为120．
点睛：本题考查排列组合的应用．排列组合中如果有元素相邻，则可用捆绑法，即相邻的元素捆绑在一起作为一个元素进行排列，当然它们之间也要全排列，特殊元素可优先考虑．注意分类与分步结合，不重不漏．
15.已知、为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，交左支于点，是等腰直角三角形，，则双曲线的离心率为____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义得，根据是等腰直角三角形得,解得，，，，再由余弦定理可得到结果.
【详解】
设双曲线的实半轴长为，半焦距为.如图，根据双曲线的定义得，根据是等腰直角三角形得，解得，，，.在中，由余弦定理得 ，解得，则双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).
16.已知数列满足，为数列的前项和，则的值为__________．
【答案】2016
【解析】
∵数列满足
∴，且，则.
∴
∵
∴
故答案为.
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60分
17.在中，角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的最小值.
【答案】（1）（2）12
【解析】
试题分析：利用余弦定理化简，转化求解角；
利用三角形的面积以及余弦定理结合基本不等式求解即可。
解析：(1)
（2）
故最小值为12.
18.如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，.
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成锐二面角大小.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
(1)由几何关系得到平面，进而得到线线垂直；（2）将平面延伸，找到两个面的交线，再由二面角的平面角的定义得到所求角，进而得到结果.
【详解】（1）由，，，
，得，
∴.故.
由，，，，得，
由，得，
由，得，∴，
故.
因此平面.
又平面，∴.
（2）
延长交于，延长交于，连，则为平面与平面所成锐二面角的棱，连，，，∴，
所以，为直角，∴，
所以为等边三角形，∴，∴为直角，
于是为平面与平面所成锐二面角的平面角，其大小为.
【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。
19.已知抛物线的方程为，抛物线的焦点到直线的距离为.
（1）求抛物线的方程；
（2）设点在抛物线上，过点作直线交抛物线于不同于的两点、，若直线、分别交直线于、两点，求最小时直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）焦点 ，根据点到直线的距离，求抛物线方程；（2）设直线的方程为与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，再求直线的方程，得到点的坐标，利用根与系数的关系表示两点间距离，求最值.
试题解析：（1）抛物线的焦点为，，得，或（舍去）
∴抛物线的方程为.
（2）点在抛物线上，∴，得，
设直线为，，，
由得，；
∴，，
，
由，得，同理；
∴；
∴当时，，此时直线方程：.
【点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，确定抛物线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
20.某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量（千克）与使用某种液体肥料的质量（千克）之间的关系如图所示.
（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量限制，并有如下关系：
周光照量（单位：小时）
光照控制仪运行台数
3
2
1
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
附：相关系数公式，
参考数据：，.
【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系；（2）2台.
【解析】
【分析】
(1)根据公式得到相关系数的值，通过比较得到判断；（2）分别求出安装一台，两台，三台时的利润均值，得到结果.
【详解】（1）由已知数据可得，.
∵，
，
.
∴相关系数 .
∵，∴可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.
①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.
②安装2台光照控制仪的情形：
当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），
，
当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润（元），
，
故的分布列为
2000
6000
0.2
0.8
∴（元）.
③安装3台光照控制仪的情形：
当时，只有1台光照控制仪运行，
此时周总利润（元），
，
当时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润（元），
，
当时，3台光照控制仪都运行，
周总利润（元），
，
故的分布列为
1000
5000
9000
0.2
0.7
0.1
∴（元）.
综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.
21.已知函数，其中．
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）记的导函数为．当时，证明：存在极小值点，且．
【答案】（1）0；（2）见解析
【解析】
分析：第一问对函数求导，利用两直线垂直，斜率所满足的条件求得切线的斜率，即函数在对应点处的导数，从而求得，第二问写出函数的解析式，对其求导，根据，从而将研究的符号转化为研究的符号，对其再求导，从而确定出函数在给定区间上的变化趋势，以及极小值点所满足的条件，最后证得结果.
详解：（1）
依题意，有 ，解得.
（2）令，
所以．
因为，所以与同号．
设，则 ．
所以对任意，有，故在单调递增．
因，所以，，
故存在，使得．
与在区间上的情况如下：
↘
极小值
↗
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以若，存在，使得是的极小值点．
令，得到，所以．
点睛：该题属于导数的综合应用问题，一是要明确两直线垂直时斜率的关系，再结合导数的几何意义求导对应的参数的值，第二问研究的是函数的极值问题，通过研究导数的符号确定函数的单调区间，从而确定函数在哪个点处取得极值，在这里需要注意的是对导函数的转化问题，从而将函数解析式简化.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线分别交于（不包括极点）点.
（1）求证：；
（2）当，B，C两点在曲线上，求与的值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）利用点的极坐标方程和两角和差的三角公式进行求解；（2）将两点的极坐标化为直角坐标，写出经过两点的直线方程，对照直线的参数方程进行求解．
试题解析：（Ⅰ）依题意，，；
（Ⅱ）当时，两点的极坐标为化为直角坐标为
所以经过点B，C的直线方程为，而曲线是经过点且倾斜角为的直线，故。
考点：1.曲线的极坐标、参数方程、普通方程的互化；2.三角恒等变换．
23.设函数．
（1）求不等式解集；
（2）若不等式的解集是非空的集合，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题．
（Ⅰ），令或，
得，，所以，不等式的解集是．-------6分
（Ⅱ）在上递减，递增，所以，，
由于不等式的解集是非空的集合，所以，
解之，或，即实数的取值范围是．
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