育才中学高三模拟考数学试卷
一. 填空题
1.不等式 的解为 。
【答案】 或
【解析】
【详解】由 ，可得
即
所以不等式 的解为 或
2.已知直线 垂直于平面直角坐标系中的 轴，则 的倾斜角为________
【答案】0.
【解析】
【分析】
根据直线 垂直于 轴，可得出直线 的倾斜角.
【详解】由于直线 垂直于平面直角坐标系中的 轴，所以，直线 的倾斜角为 ，故答案为：
.
【点睛】本题考查直线倾斜角的概念，在直线的倾斜角中，规定与 轴垂直的直线的倾斜角
为 ，与 轴垂直的直线的倾斜角为 ，意在考查学生对于倾斜角概念的理解，属于基础题.
3.函数 反函数是________
【答案】 .
【解析】
分析】
由 解出 ，可得出所求函数的反函数.
【详解】由 ，得 ，则有 ， ，
的
【
1 1x
<
0x < 1x >
1 1x
< 1 0x
x
− ＜
( )x x-1 0＞
1 1x
< 0x < 1x >
l y l
l y l
l y l 0
0
y
0 x
2
π
2( ) log ( 1) 1f x x= − +
12 1 ( )xy x R−= + ∈
( )2log 1 1y x= − + x
( )2log 1 1y x= − + ( )2log 1 1x y− = − 11 2yx −− = 12 1yx −∴ = +因此，函数 的反函数为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于
基础题.
4.若角 的终边经过点 ，则 的值为________
【答案】 .
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出 的值，然后利用反三角函数的定义得出 的值.
【详解】由三角函数的定义可得 ， ，
故答案为： .
【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数
的定义求出 的值，考查计算能力，属于基础题.
5.方程 的解为 .
【答案】2
【解析】
【分析】
根据求行列式的方法化简得 ，这是一个关于 的二次方程，将 看成整
体进行求解即可.
【详解】方程 ，
等价于 ，
( ) ( )2log 1 1f x x= − + ( )12 1xy x R−= + ∈
( )12 1xy x R−= + ∈
α ( 2,2)P − arctan(tan )α
4
π−
tanα ( )arctan tanα
2tan 12
α = = −− ( ) ( )arctan tan arctan 1 4
πα∴ = − = −
4
π−
tanα
1 1 1
1 9 0 0
1 9 3x x
=
−
( )2
3 8 3 9 0x x− × − = 3x 3x
1 1 1
1 9 0 0
1 9 3x x
=
−
( )9 3 9 9 3 0x x x× − + − + =即 ，
化为
或 （舍去），
，故答案为 2.
【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程，意在考查综合应用所学知识解
答问题的能力，属于基础题.
6.由参数方程 为参数， 所表示的曲线的右焦点坐标为________
【答案】 .
【解析】
【分析】
将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状，然后求出曲线的右焦点坐标.
【 详 解 】 ， 由 ， 得 ， 所 以 ，
，
即曲线的普通方程为 ，该曲线为双曲线，其右焦点坐标为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查曲线焦点坐标的求解，考查参数方程与普通方程之间的转化，解参数方程
问题，通常将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状并进行求解，考查计算能力，
属于基础题.
7.平面直角坐标系 内有点 ， ， ， ，将四边形 绕直线
旋转一周，所得到几何体的体积为________
( )2
3 8 3 9 0x x− × − =
( )( )3 1 3 9 0x x+ − =
3 9x∴ = 3 1x = −
2x∴ =
2csc (3cot
x
y
θ θθ
=
= , )n n Zθ π≠ ∈
( )13,0
2 2csc 1 cotθ θ= +
2csc
3cot
x
y
θ
θ
=
=
csc2
cot3
x
y
θ
θ
=
=
2 2
2 2csc cot 14 9
x y θ θ− = − =
2 2
14 9
x y− = ( )13,0
( )13,0
xOy (2,1)A (2,2)B (0,2)C (0,1)D ABCD
1y =【答案】 .
【解析】
【分析】
利用图形判断出四边形 是矩形，且边 位于直线 上，旋转后形成圆柱，然后利
用圆柱的体积公式可得出所求几何体的体积.
【详解】如下图所示，四边形 是矩形，且边 位于直线 上，且 ， ，
将四边形 绕着直线 旋转一周，形成的几何体是圆柱，且该圆柱的底面半径为 ，
高为 ，因此，该几何体的体积为 ，故答案为： .
【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得
几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题.
8.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交
大和浙大不同时被选中的概率为________
【答案】 .
【解析】
【分析】
先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙
大同时被选中”的概率，再利用对立事件的概率公式得出所求事件的概率.
【详解】由题意知，事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件为“交大和浙大同时被选
中”，
由古典概型的概率公式得知，事件“交大和浙大同时被选中”的概率为 ，
2π
ABCD AD 1y =
ABCD AD 1y = 1AB = 2AD =
ABCD 1y = 1
2 21 2 2π π× × = 2π
4
5
1
4
3
6
1
5
C
C
=由对立事件的概率知，事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为 ，故答案为： .
【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类
讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等
题.
9.已知 且 ，设函数 的最大值为 1，则实数 的取值范围
是________
【答案】 .
【解析】
【分析】
由函数 在 上单调递增，且 结合题中条件得出函数 在
上单调递减，且 ，于此列出不等式组求出实数 的取值范围.
【详解】由题意知，函数 在 上单调递增，且 ，
由于函数 的最大值为 ，
则函数 在 上单调递减且 ，
则有 ，即 ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 ，故答案为： .
【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段
函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10.对于给定的复数 ，若满足 的复数 对应的点的轨迹是椭圆，则
的取值范围是________
【答案】 .
1 41 5 5
− = 4
5
0a > 1a ≠ 2, 3( ) 2 log , 3a
x xf x x x
− ≤= + >
a
1[ ,1)3
( )y f x= ( 3, −∞ ( )3 1f = ( )y f x=
( )3,+∞ 2 log 3 1a
+ ≤ a
( )y f x= ( 3, −∞ ( )3 1f =
( ) 2, 3
2 log , 3a
x xf x x x
− ≤= + > 1
( ) 2 logaf x x= + ( )3,+∞ 2 log 3 1a
+ ≤
0 1
2 log 3 1a
a<
( )0y m m= > π
ω m
ABC∆ , ,a b c , ,A B C∠ ∠ ∠ ,02
A
( )f x
1a = ABC∆
1, 1mω = =
3S
π=
ω m ,02
A
( )f x A ABC
( ) ( )23cos sinf x xω= − ( ) ( ) 3cos 2x xω ω − = sin 2 3x
πω − −
( )f x π m 1, 1mω = =
,02
A
( )f x sin 03A
π − = A ABC∆
3A
π=
ABC∆ R
1 2 32 sin 3sin 3
aR A π= = = 3
3R =所以 的外接圆的面积
【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题
的关键，是中档题．
19.已知函数 ，其中 ， 且 ， 且
（1）若 ，试判断 的奇偶性；
（2）若 ， ， ，证明 的图像是轴对称图形，并求出对称轴.
【答案】(1)见解析（2）函数 的图像是轴对称图形，其对称轴是直线 ．
【解析】
【分析】
（1）由 得出 ，于是得出 ，利用偶函数的定义得出 ，利
用奇函数的定义得出 ，于是得出当 时，函数 为非奇非偶函数；
（2）先得出 ，并设函数 图象的对称轴为直线 ，利用定义
，列等式求出 的值，即可而出函数 图象的对称轴方程.
【详解】（1）由已知， ，于是 ，则 ，
若 是偶函数，则 ，即 ，
所以 对任意实数 恒成立，所以 ．
若 是奇函数，则 ，即 ，
所以 对任意实数 恒成立，所以 ．
综上，当 时， 是偶函数；
当 时， 奇函数，当 ， 既不是奇函数也不是偶函数；
（2） ，若函数 的图像是轴对称图形，且对称轴是直线 ，即
对任意实数 ， 恒成立，
，化简得 ，
.
ABC∆ 2
3S R
ππ= =
( ) x xf x a k b= + ⋅ k ∈R 0a > 1a ≠ 0b > 1b ≠
1ab = ( )f x
2a = 1
2b = 16k = ( )f x
( )f x 2x =
1ab = 1b a−= ( ) x xf x a k a−= + ⋅ 1k =
1k = − 1k ≠ ± ( )y f x=
( ) 2 16 2x xf x −= + ⋅ ( )y f x= x m=
( ) ( )f m x f m x− = + m ( )y f x=
1b a
= ( ) x xf x a k a−= + ⋅ ( ) x xf x a k a−− = + ⋅
( )f x ( ) ( )f x f x= − x x x xa k a a k a− −+ ⋅ = + ⋅
( )( )1 0x xk a a−− − = x 1k =
( )f x ( ) ( )f x f x− = − ( )x x x xa k a a k a− −+ ⋅ = − + ⋅
( )( )1 0x xk a a−+ + = x 1k = −
1k = ( )f x
1k = − ( )f x 1k ≠ ± ( )f x
( ) 2 16 2x xf x −= + ⋅ ( )f x x m=
x ( ) ( )f m x f m x− = +
( ) ( )12 16 2 2 16 2m x m xm m x− − − +− ++ ⋅ = + ⋅ ( )( )2 2 2 16 2 0x x m m− −+ − ⋅ =因为上式对任意 成立，所以 ， ， ．
所以，函数 的图像是轴对称图形，其对称轴是直线 ．
【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，考查函数对称性的求解法，解题的关键要从函数奇偶
性的定义以及对称性定义列式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20.已知两动圆 和 （ ），把它们的
公共点的轨迹记为曲线 ，若曲线 与 轴的正半轴的交点为 ，且曲线 上的相异两点
满足： .
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）证明直线 恒经过一定点，并求此定点的坐标；
（3）求 面积 的最大值.
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（1）设两动圆的公共点为 ，由椭圆定义得出曲线 是椭圆，并得出 、 、 的值，即可
得出曲线 的方程；
（2）求出点 ，设点 ， ，对直线 的斜率是否存在分两种情况讨论，
在斜率存在时，设直线 的方程为 ，并将该直线方程与椭圆 的方程联立，列出
韦达定理，结合条件 并代入韦达定理求出 的值，可得出直线 所过点的坐标，
在直线 的斜率不存在时，可得出直线 的方程为 ，结合这两种情况得出直线
所过定点坐标；
（3）利用韦达定理求出 面积 关于 的表达式，换元 ，然后利用基
本不等式求出 的最大值.
【详解】（1）设两动圆的公共点为 ，则有： ．
由椭圆的定义可知 的轨迹为椭圆， ， ，所以曲线 的方程是： ；
x∈R 2 16 2 0m m−− ⋅ = 2 4m = 2m =
( )f x 2x =
2 2 2
1 : ( 3)F x y r+ + = 2 2 2
2 : ( 3) (4 )F x y r− + = − 0 4r< <
C C y M C
A B、 0MA MB⋅ =
C
AB
ABM S
2
2 14
x y+ = 64
25
Q C a b c
C
M ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB
AB y kx m= + C
0MA MB⋅ = m AB
AB AB 0x = AB
ABM∆ S k 225 4 2t k= + ≥
S
Q 1 2 1 24QF QF F F+ = >
Q 2a = 3c = C
2
2 14
x y+ =（2）由题意可知： ，设 ， ，
当 的斜率存在时，设直线 ，联立方程组：
，把②代入①有： ，
③， ④，
因为 ，所以有 ，
，把③④代入整理：
，（有公因式 ）继续化简得：
， 或 （舍），
当 的斜率不存在时，易知满足条件 的直线 为：
过定点 ，综上，直线 恒过定点 ；
（3） 面积 ，
由第（2）小题的③④代入，整理得： ，
因 在椭圆内部，所以 ，可设 ，
， ， （ 时取到最大值）．
所以 面积 的最大值为 ．
【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，考查直线过定点问题以及三角形面积问题，
对于这些问题的处理，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理设而不求法求
解，难点在于计算量，易出错.
21.已知无穷数列 的前 n 项和为 ，记 ， ，…， 中奇数的个数为 ．
( )0,1M ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
AB :AB y kx m= +
2
2 14
x y
y kx m
+ =
= +
①
②
( )2 2 21 4 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
8
1 4
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 4
1 4
mx x k
−⋅ = +
0MA MB⋅ = ( )( )1 2 1 21 1 0x x kx m kx m⋅ + + − + − =
( ) ( )( ) ( )22
1 2 1 21 1 1 0k x x k m x x m+ ⋅ + − + + − =
( ) ( ) ( )2
22
2 2
4 4 81 1 1 01 4 1 4
m kmk k m mk k
− −+ + − + − =+ + 1m −
( )( )1 5 3 0m m− + = 3
5m = − 1m =
AB 0MA MB⋅ = AB 0x =
30, 5N − AB 30, 5N −
ABM∆ 2
1 2 1 2 1 2
1 4 ( ) 42 5AMN BMNS S S MN x x x x x x∆ ∆= + = − = + − ⋅
2
2
32 25 4
25 1 4
kS k
+= ⋅ +
N k ∈R 225 4 2t k= + ≥
2
32 32 ( 2)94 9 4
tS tt t t
= = ≥+ +
9 254 2t t
+ ≥
64
25S∴ ≤ 0k =
ABM∆ S 64
25
{ }( )n na a Z∈ nS 1S 2S nS nb(Ⅰ)若 = n，请写出数列 的前 5 项；
(Ⅱ)求证：" 为奇数， (i = 2,3,4,）为偶数”是“数列 是单调递增数列”的充分不
必要条件；
(Ⅲ)若 ，i=1, 2, 3,…，求数列 的通项公式.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）代入 的值，即可求得 ， ， ， ， ．
（Ⅱ）根据题意，先证充分性和不必要性，分别作出证明．
（Ⅲ）分当 为奇数和当 为偶数，两种情况进而推导数列的通项公式．
试题解析：
（Ⅰ）解： ， ， ， ， ．
（Ⅱ）证明：（充分性）
因为 为奇数， 为偶数，
所以，对于任意 ， 都为奇数．
所以 ．
所以数列 是单调递增数列．
（不必要性）
当数列 中只有 是奇数，其余项都是偶数时， 为偶数， 均为奇数，
所以 ，数列 是单调递增数列．
所以“ 为奇数， 为偶数”不是“数列 是单调递增数列”的必要条件；
综上所述，“ 为奇数， 为偶数”是“数列 是单调递增数列” 的充分
不必要条件．
（Ⅲ）解：（1）当 为奇数时，
如果 为偶数，
na { }nb
1a ia { }nb
i ia b= { }na
0na =
n 1 =1b 2 =2b 3 =2b 4 =2b 5 =3b
ka ka
1=1b 2 =2b 3 =2b 4 =2b 5 =3b
1a ( )2,3,4,ia i =
*i N∈ iS
nb n=
{ }nb
{ }na 2a 1S ( )2,3,4,iS i =
1nb n= − { }nb
1a ( )2,3,4,ia i = { }nb
1a ( )2,3,4,ia i = { }nb
ka
kS若 为奇数，则 为奇数，所以 为偶数，与 矛盾；
若 为偶数，则 为偶数，所以 为奇数，与 矛盾．
所以当 为奇数时， 不能为偶数．
（2）当 为偶数时，
如果 为奇数，
若 为奇数，则 为偶数，所以 为偶数，与 矛盾；
若 为偶数，则 为奇数，所以 为奇数，与 矛盾．
所以当 为偶数时， 不能为奇数．
综上可得 与 同奇偶．
所以 为偶数．
因为 为偶数，所以 为偶数．
因为 为偶数，且 ，所以 ．
因为 ，且 ，所以 ．
以此类推，可得 ．
点睛：本题考查学生对新定义 理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于
新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列
求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能
力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.
的
1ka + 1kS + 1 1 1k k kb b a+ = + = + 1 1k ka b+ +=
1ka + 1kS + 1k k kb b a+ = = 1 1k ka b+ +=
ka kS
ka
kS
1ka + 1kS + 1k k kb b a+ = = 1 1k ka b+ +=
1ka + 1kS + 1 1 1k k kb b a+ = + = + 1 1k ka b+ +=
ka kS
ka kS
n nS a−
1 1n n nS S a+ += − na
1 1 1a b S= = 10 1b≤ ≤ 1 1 0b a= =
2 2 1 1 1a b b= ≤ + = 2 0b ≥ 2 2 0b a= =
0na =
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