2020高考文科数学二轮分层特训卷：模拟仿真专练（二）（Word版有解析）.doc

专练(二) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知 U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝1 x ，x>2}，则∁UP＝(　　) A. [ 1 2 ，＋∞)　　　　　B. (0，1 2)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪ [ 1 2 ，＋∞)答案：A 解析：因为函数 y＝log2x 在定义域内为增函数，故 U＝{y|y>0}， 函数 y＝1 x 在(0，＋∞)内为减函数，故集合 P＝{y|00，所以 m 的最小值为π 4 ，可知 k ＋m 的最小值为 2＋π 4 .故选 A. 8．[2019·山西太原一中检测]已知实数 x，y 满足|x|＋|y|≤1， 则 z＝2|x|－|y|的最大值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案：D 解析：令|x|＝a，|y|＝b，则Error!且 z＝2a－b.作出可行域如图 中阴影部分所示，作出直线 b＝2a，并平移，由图知，当平移后的 直线过点(1,0)时，z 取得最大值，且 zmax＝2×1－0＝2.故选 D. 9．[2019·河南郑州摸底]现有一个不透明的口袋中装有标号分 别为 1,2,2,3 的四个小球，它们除数字外完全相同，现从中随机取 出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取 出小球所标号码不同的概率为(　　) A.1 6 B.5 6C.3 8 D.5 8 答案：D 解析：随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取 出一球，则两次取出小球的所有情况共有 4×4＝16(种)，其中号 码相同的情况共有 6 种，则号码不同的概率为 P＝1－ 6 16 ＝5 8 ，故 选 D. 10．[2019·辽宁五校期末]在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边 分别是 a，b，c，已知 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，且 c＝ 7， C＝π 3 ，则△ABC 的面积是(　　) A.3 3 4 B.7 3 6 C.3 3 4 或 21 3 D.3 3 4 或7 3 6 答案：D 解析：由 sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，得 2sin Bcos A＝3sin 2A＝6sin Acos A，即 sin Bcos A＝3sin Acos A．当 cos A＝0 时，A＝ π 2 ，而 C＝π 3 ，c＝ 7，所以 B＝π 6 ，b＝ctan B＝ 7× 3 3 ＝ 21 3 ，所以 此时△ABC 的面积为 1 2 bc＝1 2 × 21 3 × 7＝7 3 6 ；当 cos A≠0 时，可 得 sin B＝3sin A，由正弦定理得 b＝3a，又 c＝ 7，所以 cos C＝ a2＋b2－c2 2ab ＝a2＋9a2－( 7)2 6a2 ＝cosπ 3 ＝1 2 ，得 a＝1，所以 b＝3，此时 △ABC 的面积为 1 2 absin C＝1 2 ×1×3× 3 2 ＝3 3 4 .综上可知，△ABC 的面积为3 3 4 或7 3 6 .故选 D. 11．[2019·河北唐山期中]如图，在△ABC 中，CM→ ＝2MB→ ，过 点 M 的直线分别交射线 AB，AC 于不同的两点 P，Q，若 AP→ ＝ mAB→ ，AQ→ ＝nAC→ ，则 mn＋m 的最小值为(　　)A．2 B．2 3 C．6 D．6 3 答案：A 解析：连接 AM，由已知可得AM→ ＝AB→ ＋BM→ ＝AB→ ＋1 3BC→ ＝AB→ ＋ 1 3 (AC→ －AB→ )＝2 3AB→ ＋1 3AC→ ＝ 2 3mAP→ ＋ 1 3nAQ→ .因为 P，M，Q 三点共线， 所以 2 3m ＋ 1 3n ＝1，所以 mn＋m＝ 2n＋m 3 ＋m＝ 2n 3 ＋4m 3 ＝ ( 2n 3 ＋4m 3 ) ( 2 3m ＋ 1 3n)＝10 9 ＋4n 9m ＋4m 9n ≥10 9 ＋2 4n 9m × 4m 9n ＝2，当且仅当4n 9m ＝4m 9n ， 即 m＝n＝1 时取等号， 所以 mn＋m 的最小值为 2.故选 A. 12．[2019·陕西汉中模拟]设抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，过点 M(－1,0)的直线在第一象限交抛物线于 A，B 两点，且AF→ ·BF→ ＝0， 则直线 AB 的斜率 k＝(　　) A. 2 B. 2 2 C. 3 D. 3 3 答案：B 解析：设直线 AB 的方程为 y＝k(x＋1)(易知 k>0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)． 由Error!可得 k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由根与系数的关系得 x1·x2＝1，x1＋x2＝4－2k2 k2 .又AF→ ·BF→ ＝0，易知 F(1,0)，所以(1－x1)(1－x2)＋k2(x1＋1)(x2＋ 1)＝0，即(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝0，即 2k2＋2＋(k2－1) 4－2k2 k2 ＝0，解得 k＝ 2 2 .故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将正确 答案填在题中的横线上．) 13．[2019·陕西宝鸡四校第二次联考]已知 α 为锐角，且 sin α·( 3－tan 10°)＝1，则 α＝________. 答案：40° 解析：由题意知 sin α( 3－tan 10°) ＝sin α· 3cos 10°－sin 10° cos 10° ＝sin α·2(sin 60°cos 10°－cos 60°sin 10°) cos 10° ＝sin α·2sin 50° sin 80° ＝sin α· 2cos 40° 2sin 40°cos 40° ＝ sin α sin 40° ＝1， 即 sin α＝sin 40°.因为 α 为锐角，所以 α＝40°. 14．[2019·山东邹城质监]观察下列各式： 12＝1 × 2 × 3 6 ； 12＋22＝2 × 3 × 5 6 ； 12＋22＋32＝3 × 4 × 7 6 ； 12＋22＋32＋42＝4 × 5 × 9 6 ； …… 照此规律，当 n∈N*时，12＋22＋32＋…＋n2＝________. 答案：n(n＋1)(2n＋1) 6 解析：第一个式子：12＝1 × (1＋1) × [1＋(1＋1)] 6 ；第二个式子：12＋22＝2 × (2＋1) × [2＋(2＋1)] 6 ；第三个式子：12＋22＋32 ＝3 × (3＋1) × [3＋(3＋1)] 6 ；第四个式子：12 ＋22 ＋32 ＋42 ＝ 4 × (4＋1) × [4＋(4＋1)] 6 ；……第 n 个式子：12＋22＋32＋…＋n2 ＝n·(n＋1)·[n＋(n＋1)] 6 ＝n(n＋1)(2n＋1) 6 . 15．[2019·福建福州质量抽测]随机抽取某中学甲班 9 名同学、 乙班 10 名同学，得到他们的期中考试数学成绩的茎叶图如图所示， 估计该中学甲、乙两班数学成绩的中位数分别是________. 答案：76　83 解析：将甲班 9 名同学的成绩按从小到大的顺序排列，为 52,66,72,74,76,76,78,82,96，故中位数为 76；将乙班 10 名同学的成 绩按从小到大的顺序排列，为 62,74,76,78,82,84,85,86,88,92，故中 位数为82＋84 2 ＝83. 16．[2019·湖南四校摸底]已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f (x＋5 2)＋ f(x) ＝ 0 ， 当 － 5 4 ≤x≤0 时 ， f(x) ＝ 2x ＋ a ， 则 f(16) ＝ ________. 答案：1 2 解析：由 f (x＋5 2)＋f(x)＝0，得 f(x)＝－f (x＋5 2)＝f(x＋5)，所以 函数 f(x)是以 5 为周期的函数，则 f(16)＝f(3×5＋1)＝f(1)．又 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，即 1＋a＝0，解得 a＝－ 1，所以当－5 4 ≤x≤0 时，f(x)＝2x－1，所以 f(－1)＝－1 2 ，则 f(1)＝－f(－1)＝1 2 ，故 f(16)＝1 2 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．) 17．(12 分)[2019·河南郑州高中毕业班第二次质量预测]已知 数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，an>0，若 an＝ Sn＋ Sn－1(n≥2 且 n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 cn＝an·2an，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解析：(1)依题意知 an＝ Sn＋ Sn－1(n≥2 且 n∈N*)，且 an>0， 又当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1， 两式相除，得 Sn－ Sn－1＝1(n≥2)， 可知数列{ Sn}是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列， 所以 Sn＝1＋(n－1)×1＝n，即 Sn＝n2. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 当 n＝1 时，a1＝S1＝1，满足上式， 所以 an＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)知，an＝2n－1，所以 cn＝(2n－1)·22n－1， 则 Tn＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n－1)×22n－1　①， 4Tn＝1×23＋3×25＋…＋(2n－3)×2 2n － 1＋(2n－1)×2 2n ＋ 1　 ②， ①－②得－3Tn＝2＋2×(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)×22n＋1 ＝2＋2×8(1－22n－ 2) 1－4 －(2n－1)×22n＋1＝－10 3 ＋ ( 5 3 －2n)×22n＋1， 所以 Tn＝(6n－5) × 22n＋1＋10 9 . 18．(12 分)[2019·河南开封模拟]如图，在四棱锥 P－ABCD 中， AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N 分别 为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点．(1)求证：CE∥平面 PAD； (2)求证：平面 EFG⊥平面 EMN. 解析： (1)取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EH 綊 1 2 AB.又 CD 綊 1 2 AB， 所以 EH 綊 CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CE∥DH. 又 DH⊂平面 PAD，CE⊄平面 PAD，所以 CE∥平面 PAD. (2)因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EF∥PA. 又 AB⊥PA， 所以 EF⊥AB，同理可证 AB⊥FG. 又 EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面 EFG， 所以 AB⊥平面 EFG. 又 M，N 分别为 PD，PC 的中点， 所以 MN∥CD.又 AB∥CD，所以 MN∥AB， 所以 MN⊥平面 EFG.因为 MN⊂平面 EMN，所以平面 EFG⊥平面 EMN. 19．(12 分)[2019·广东七校联考]某物流公司每天从甲地运货 物到乙地，统计最近 200 天配送的货物量，可得如图所示的频率 分布直方图．(频率分布直方图中每个小组取中间值作为该组数据 的代表) (1)估计该物流公司从甲地到乙地平均每天配送的货物量； (2)该物流公司拟购置货车专门运送从甲地到乙地的货物，一 辆货车每天只能运送一趟，每辆货车每趟最多只能装载 40 件货物， 满载发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利 1 000 元； 若未发车，则每辆货车每天亏损 200 元．为使该物流公司此项业 务每天的营业利润最大，估计该物流公司应该购置几辆货车？ 解析：(1)根据题意及频率分布直方图得 a＝ [1－( 1 320 ＋ 1 320 ＋ 1 160) × 40]÷40＝ 1 80 ， 易知从甲地到乙地每天配送的货物量为 60 件，100 件，140 件，180 件的天数分别为 25,50,100,25. 故估计该公司从甲地到乙地平均每天配送的货物量为 60 × 25＋100 × 50＋140 × 100＋180 × 25 200 ＝125(件)． (2)由(1)可知从甲地到乙地每天配送的货物量为 60 件，100 件， 140 件，180 件的天数分别为 25,50,100,25，依题意知， (ⅰ)若购置 1 辆车，则物流公司每天的营业利润值为 1 000； (ⅱ)若购置 2 辆车，则每天的营业利润值的可能取值为 2 000,800，对应的天数分别为 175,25，故平均利润值为2 000 × 175＋800 × 25 200 ＝1 850； (ⅲ)若购置 3 辆车，则每天的营业利润值的可能取值为 3 000,1 800,600，对应的天数分别为 125,50,25， 故 平 均 利 润 值 为3 000 × 125＋1 800 × 50＋600 × 25 200 ＝ 2 400； (ⅳ)若购置 4 辆车，则每天的营业利润值的可能取值为 4 000,2 800,1 600,400，对应的天数分别为 25,100,50,25， 故 平 均 利 润 值 为 4 000 × 25＋2 800 × 100＋1 600 × 50＋400 × 25 200 ＝2 350. 因为 2 400>2 350>1 850>1 000， 所以为使该物流公司此项业务每天的营业利润最大，该物流 公司应该购置 3 辆货车． 20．(12 分)[2019·湖南湘东六校联考]已知椭圆 C： x2 a2 ＋y2 b2 ＝ 1(a>b>0)的离心率 e＝1 2 ，点 A(b,0)，B，F 分别为椭圆 C 的上顶点 和左焦点，且|BF|·|BA|＝2 6. (1)求椭圆 C 的方程． (2)若过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 G，H 两点(G 在 M， H 之间)，设直线 l 的斜率 k>0，在 x 轴上是否存在点 P(m,0)，使得 以 PG，PH 为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出 m 的取 值范围；如果不存在，请说明理由． 解析：(1)由离心率 e＝1 2 得 a＝2c　①. 由|BF|·|BA|＝2 6，得 a· b2＋b2＝2 6，∴ab＝2 3　②. 又 a2－b2＝c2　③，∴由①②③可得 a2＝4，b2＝3， ∴椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)设直线 l 的方程为 y＝kx＋2(k>0)， 由Error!得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，易知 Δ>0，∴k>1 2 . 设 G(x1，y1)，H(x2，y2)，则 x1＋x2＝ －16k 4k2＋3 ，PG→ ＋PH→ ＝(x1＋x2－2m，k(x 1＋x2)＋4)， GH→ ＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－ x1))． ∵菱形的对角线互相垂直，∴(PG→ ＋PH→ )·GH→ ＝0， ∴(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m＝0，得 m＝－ 2k 4k2＋3 ， 即 m＝－ 2 4k＋3 k ，∵k>1 2 ，∴－ 3 6 ≤m1”是“函数 f(x)有唯一零点”的充分不必要条 件． 解析：(1)由题意得 f′(x)＝6mx2－6x＝6x(mx－1)，所以当 m＝ 1 时，f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，令 f′(x)＝0，解得 x＝ 0 或 x＝1. 当 x 在[－1,2]内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 由上表知，当 x∈[－1,2]时，f(x)max＝5，f(x)min＝－4. 故 f(x)在区间[－1,2]上的最大值和最小值分别为 5 和－4. (2)因为 m>1，所以由 f′(x)＝6mx (x－1 m)＝0 得 x＝0 或 x＝1 m . 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：因为 f ( 1 m )＝2m· 1 m3 －3· 1 m2 ＋1＝－ 1 m2 ＋1，且 m>1，所以 f ( 1 m )>0. 又 f(－m)＝m2(－2m2－3)＋11”是“函数 f(x)有唯一零点”的充分条件． 当 m＝－2 时，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 又 f (－1 2 )＝1 2 －3 4 ＋1>0，f(0)>0，f(3)1”是“函数 f(x)有唯一零点”的充分不必要条 件． 选考题(请考生在第 22、23 题中任选一题作答，多答、不答按 本选考题的首题进行评分．) 22．(10 分)[2019·湖南衡阳八中模拟][选修 4－4：坐标系与参 数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参 数，0≤α