专练(四)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每
小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·广东深圳高级中学期末]已知集合 A＝{x∈Z|－
1≤x≤4}，B＝{－2，－1,4,8,9}，设 C＝A∩B，则集合 C 的元素
个数为( )
A．9 B．8
C．3 D．2
答案：D
解析：A＝{x∈Z|－1≤x≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B＝{－2，－
1,4,8,9}，则 C＝A∩B＝{－1,4}，集合 C 的元素个数为 2，故选
D.
2．[2019·福建晋江四校联考]复数 z＝a＋i(a∈R)的共轭复数为
z，满足|z|＝1，则复数 z＝( )
A．2＋i B．2－i
C．1＋i D．i
答案：D
解析：根据题意可得z＝a－i，所以|z|＝ a2＋1＝1，解得 a＝
0，所以复数 z＝i.故选 D.
3．[2019·重庆一中月考]设 a，b，c 是平面向量，则 a·b＝b·c
是 a＝c 的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由 a·b＝b·c 得(a－c)·b＝0，∴a＝c 或 b＝0 或(a－c)⊥b，
∴a·b＝b·c 是 a＝c 的必要不充分条件．故选 B.
4．[2019·黑龙江牡丹江一中月考]关于函数 f(x)＝sin
(2x＋π
4)与
函数 g(x)＝cos
(2x－3π
4 )，下列说法正确的是( )
A．函数 f(x)和 g(x)的图象有一个交点在 y 轴上
B．函数 f(x)和 g(x)的图象在区间(0，π)内有 3 个交点
C．函数 f(x)和 g(x)的图象关于直线 x＝π
2
对称D．函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点(0,0)对称
答案：D
解析：∵g(－x)＝cos
(－2x－3π
4 )＝cos
(2x＋3π
4 )＝cos
(2x＋π
4
＋π
2)＝－sin
(2x＋π
4)，∴g(－x)＝－f(x)，∴函数 f(x)和 g(x)的图象关于原
点(0,0)对称，故选 D.
5．[2019·湖北武汉武昌调研考]已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝
n2－1，则 a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝( )
A．40 B．44
C．45 D．49
答案：B
解析：解法一 因为 Sn＝n2－1，所以当 n≥2 时，an＝Sn－Sn
－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝2n－1，又 a1＝S1＝0，所以 an＝Error!所
以 a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝0＋5＋9＋13＋17＝44.故选 B.
解法二 因为 Sn＝n2－1，所以当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2－
1－(n－1)2＋1＝2n－1，又 a1＝S1＝0，所以 an＝Error!所以{an}从
第二项起是等差数列，a2＝3，公差 d＝2，所以 a1＋a3＋a5＋a7＋a9
＝0＋4a6＝4×(2×6－1)＝44.故选 B.
6．[2019·黑龙江哈尔滨四校联考]已知函数 f(x)＝cosπx
3
，执行
如图所示的程序框图，则输出的 S 值为( )
A．670 B．6701
2
C．671 D．672
答案：C
解析：执行程序框图，y＝f(1)＝cosπ
3
＝1
2
，S＝0＋1
2
＝1
2
，n＝1＋
1＝2；y＝f(2)＝cos2π
3
＝－1
2
，S＝1
2
，n＝2＋1＝3；y＝f(3)＝cos π＝－1，S＝1
2
，n＝3＋1＝4；y＝f(4)＝cos4π
3
＝－1
2
，S＝1
2
，n＝4＋1＝5；
y＝f(5)＝cos5π
3
＝1
2
，S＝1
2
＋1
2
＝1，n＝6；y＝f(6)＝cos2π＝1，S＝1＋
1＝2，n＝7……直到 n＝2 016 时，退出循环．∵函数 y＝cosnπ
3
是
以 6 为周期的周期函数，2 015＝6×335＋5，f(2 016)＝cos 336π＝
cos(2π×138)＝1，∴输出的 S＝336×2－1＝671.故选 C.
7．[2019·湖南衡阳八中模拟]如图，在棱长为 2 的正方体
ABCD－A1B1C1D1 中，A1B1 的中点是 P，过点 A1 作与截面 PBC1 平
行的截面，则该截面的面积为( )
A．2 2 B．2 3
C．2 6 D．4
答案：C解析：易知截面是菱形，如图，分别取棱 D1C1，AB 的中点 E，
F，连接 A1E，A1F，CF，CE，则菱形 A1ECF 为符合题意的截面．
连接 EF，A1C，易知 EF＝2 2，A1C＝2 3，EF⊥A1C，所以
截面的面积 S＝1
2
EF·A1C＝2 6.故选 C.
8．[2019·河北张家口期中]已知 x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，
则1
x
＋ 1
3y
的最小值是( )
A．1 B．2
C．2 3 D．4
答案：D
解析：通解 ∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg 2x＋3y＝lg 2，∴x＋3y＝
1.又 x>0，y>0，∴1
x
＋ 1
3y
＝
(
1
x
＋ 1
3y)(x＋3y)＝2＋3y
x
＋ x
3y
≥2＋2＝4，
当且仅当 x＝1
2
，y＝1
6
时等号成立，所以1
x
＋ 1
3y
的最小值是 4.故选
D.
优解 ∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg 2x＋3y＝lg 2，∴x＋3y＝1.又
x>0，y>0，∴1
x
＋ 1
3y
＝x＋3y
3xy
＝ 1
3xy
≥ 1
(
x＋3y
2 )2
＝4，当且仅当 x＝1
2
，y
＝1
6
时等号成立，所以1
x
＋ 1
3y
的最小值是 4，故选 D.
9．[2019·河北唐山摸底]已知函数 f(x)＝sin x－sin 3x，x∈[0,2π]，
则 f(x)的所有零点之和等于( )
A．5π B．6π
C．7π D．8π
答案：C
解析：f(x)＝sin x－sin(2x＋x)＝sin x－sin 2xcos x－cos 2xsin x
＝sin x－2sin x(1－sin2x)－(1－2sin2x)sin x＝sin x－(3sin x－4sin3x)
＝2sin x(2sin2x－1)，
令 f(x)＝0 得 sin x＝0 或 sin x＝± 2
2
.
于是，f(x)在[0,2π]上的所有零点为 x＝0，π
4
，3π
4
，π，5π
4
，7π
4
，2π.故 f(x)的所有零点之和为 0＋π
4
＋3π
4
＋π＋5π
4
＋7π
4
＋2π＝7π，故
选 C.
10．[2019·江西七校联考]图中的图案是我国古代建筑中的一
种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥，在圆内随机取一点，则
该点取自阴影区域(由四条半径与大圆半径相等的四分之一圆弧围
成)内的概率是( )
A.1
2
B.1
3
C.4
π
－1 D．2－4
π
答案：C
解析：设圆的半径为 1，则该点取自阴影区域内的概率 P＝
S 阴影
S 圆
＝2 × 2－π
π
＝4
π
－1，故选 C.
11．[2019·四川内江一模]设函数 f(x)在 R 上存在导数 f′(x)，
对 任 意 的 x∈R ， 有 f( － x) － f(x) ＝ 0 ， 且 x∈[0 ， ＋ ∞) 时 ，
f′(x)>2x，若 f(a－2)－f(a)≥4－4a，则实数 a 的取值范围为( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
答案：A
解析：对任意的 x∈R，有 f(－x)－f(x)＝0，所以 f(x)为偶函
数．
设 g(x)＝f(x)－x2，所以 g′(x)＝f′(x)－2x，
因为 x∈[0，＋∞)时 f′(x)>2x，所以 x∈[0，＋∞)时，g′(x)
＝f′(x)－2x>0，所以 g(x)在[0，＋∞)上为增函数．
因为 f(a－2)－f(a)≥4－4a，所以 f(a－2)－(a－2)2≥f(a)－a2，
所以 g(a－2)≥g(a)，易知 g(x)为偶函数，所以|a－2|≥|a|，解得 a≤1，故选 A.
12．[2019·河北衡水中学五调]已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的
焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，且直线 l
与圆 x2－px＋y2－3
4
p2＝0 交于 C，D 两点．若|AB|＝2|CD|，则直线
l 的斜率为( )
A．± 2
2
B．± 3
2
C．±1 D．± 2
答案：C
解析：由题设可得圆的方程为
(x－p
2)
2＋y2＝p2，故圆心坐标为
(
p
2
，0)，为抛物线 C 的焦点，所以|CD|＝2p，所以|AB|＝4p.设直线
l：x＝ty＋p
2
，代入 y2＝2px(p>0)，得 y2－2pty－p2＝0.设 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则 y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，则|AB|＝ (1＋t2)(4p2t2＋4p2)
＝2p(1＋t2)＝4p，所以 1＋t2＝2，解得 t＝±1，故选 C.
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将正确
答案填在题中的横线上．)
13．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参
加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖
结果揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团
队获奖结果预测如下：
小张说：“甲团队获得一等奖．”
小王说：“甲或乙团队获得一等奖．”
小李说：“丁团队获得一等奖．”
小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖．”
若这四位同学中只有两位的预测结果是对的，则获得一等奖
的团队是________．
答案：丁
解析：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小
赵的预测结果是对的，小李的预测结果是错的，与题设矛盾；
②若获得一等奖的团队是乙团队，则小王的预测结果是对的，
小张、小李、小赵的预测结果是错的，与题设矛盾；③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人的预测结果都是错
的，与题设矛盾；
④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵的预测结果
是对的，小张、小王的预测结果是错的，与题设相符．
故获得一等奖的团队是丁．
14．[2019·江苏无锡模考]以双曲线x2
5
－y2
4
＝1 的右焦点为焦点
的抛物线的标准方程是________．
答案：y2＝12x
解析：双曲线中，c＝ 5＋4＝3，所以右焦点坐标为(3,0)，故
抛物线的焦点坐标为(3,0)，所以p
2
＝3，p＝6，抛物线的标准方程
为 y2＝12x.
15．[2019·云南第一次统一检测]已知函数 f(x)＝Error!若 f(m)
＝－6，则 f(m－61)＝________.
答案：－4
解析：∵函数 f(x)＝Error!f(m)＝－6，∴当 m4，即 a>2，
所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
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