复兴中学高三模拟数学试卷
一、填空题
1.已知全集 U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则 _____
【答案】{2，4，5}
【解析】
【分析】
根据补集的定义直接求解：∁UA 是由所有属于集合 U 但不属于 A 的元素构成的集合．
【详解】因为全集 ， ，
所以根据补集的定义得
故答案为：{2，4，5}
【点睛】本题考查了补集的定义以及简单求解，属于基础题．
2.已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 .
【答案】 .
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，也可利用复数模的性质求解：
考点：复数的模
3. 的展开式中， 的系数为 。（用数字作答）
【答案】10.
【解析】
解：因为由二项式定理的通项公式可知
4.设数列 （ ）是等差数列，若 和 是方程 的两根，则数列
=U A
{ }1,2,3,4,5U = { }1,3A =
{ }2,4,5U A =
z 1iz i= + i z =
2
1iz i= + 1 1,iz ii
+= = − + 2z =
1 1 2.iz i i z i z= + ⇒ ⋅ = + ⇒ =
2 51( )x x
+ 4x
10 3 4 2
5 510 3 4 2 =10r rC x r r x C− ∴ − = ∴ = ∴ 的系数为
{ }na n∈ *N 2a 2018a 24 8 3 0x x− + =的前 2019 项的和 ________
【答案】2019
【解析】
【分析】
根据二次方程根与系数的关系得出 ，再利用等差数列下标和的性质得到
，然后利用等差数列求和公式可得出答案.
【详解】由二次方程根与系数的关系可得 ，
由等差数列的性质得出 ，
因此，等差数列 的前 项的和为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查等差数列的性质与等差数列求和公式的应用，涉及二次方程根与系数的关
系，解题的关键在于等差数列性质的应用，属于中等题.
5.将圆锥的侧面展开后得到一个半径为 2 的半圆，则此圆锥的体积为________
【答案】
【解析】
【分析】
设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得
出 ，由题意得出 ，再由勾股定理得出 的值，最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体
积.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，则 ，
由题意可知， ， ，由勾股定理得 ，
因此，该圆锥的体积为 ，故答案为： .
【点睛】本题考查圆锥体积的计算，涉及圆锥的侧面展开图问题，解题时要注意扇形弧长等
于圆锥底面圆周长这一条件的应用，考查空间想象能力，属于中等题.
{ }na 2019S =
2 2018 2a a+ =
1 2019 2 2018a a a a+ = +
2 2018 2a a+ =
1 2019 2 2018 2a a a a+ = + =
{ }na 2019
( )1 2019
2019
2019 2019 2 20192 2
a aS
+ ×= = =
2019
3
3
π
r l h
r 2l = h
r l h 2l =
2l rπ π= 12
lr∴ = = 2 2 3h l r= − =
2 21 1 31 33 3 3r hπ π π= × × = 3
3
π6.若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则实数 的值
是 .
【答案】8
【解析】
试题分析： 的右焦点为 ，所以
考点：本小题主要考查双曲线和抛物线中基本量的计算，考查学生的运算求解能力.
点评：椭圆和双曲线、抛物线经常结合出题，要注意它们之间基本量的联系和区别.
7.如图，长方体 的边长 ， ，它的外接球是球 ，
则 ， 这两点的球面距离等于_________．
【答案】
【解析】
由题意， ，所以 ，
所以 。
8.若命题“对任意 ， 恒成立”是假命题，则实数 的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】
2 2 ( 0)y px p= >
2 2
16 10
x y− =
2 2
16 10
x y− =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AB AA= = 2AD = O
A 1A
3
π
( )22 21 1 1 2 12R OA= = + + = 1 3AOA
π∠ =
3l R
πα= =
[ , ]3 4x
π π∈ − tan x m< m
1m £由题意得出命题“ ， ”为真命题，转化为 ，利用函数
在区间 上的单调性得出该函数的最大值，从而得出实数 的取值范围.
【详解】由题意得出命题“ ， ”为真命题，则有
由于正切函数 在区间 上单调递增，所以， ， ，
因此，实数 的取值范围是 ，故答案为： .
【点睛】本题考查全称命题的真假与参数，解题时要根据全称命题的真假转化为函数的最值
来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.
9.某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后得产品净重（单位：克）数据绘制的频
率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间 ，样本中净重在区间
的产品个数是 24，则样本中净重在区间 的产品个数是________
【答案】44
【解析】
【分析】
先利用已知条件求出样本容量，并由频率分布直方图得出样本中净重在区间 的产品
所占的频率，再利用样本容量乘以该频率可得出结果.
【详解】由频率分布直方图可知，样本中净重在区间 的频率为 ，
则样本容量为 ，
由频率分布直方图可知，样本中净重在区间 的频率为 ，
,3 4x
π π ∃ ∈ − tan x m≥ ( )maxtanm x≤
tany x= ,3 4
π π − m
,3 4x
π π ∃ ∈ − tan x m≥ ( )maxtanm x≤
tany x= ,3 4
π π − max tan 14y
π= = 1m∴ ≤
m 1m £ 1m £
[96,106) [96,100)
[100,104)
[ )100,104
[ )96,100 ( )0.05 0.1 2 0.3+ × =
24 800.3
=
[ )100,104 ( )0.15 0.125 2 0.55+ × =因此，样本中净重在区间 的产品个数为 ，故答案为： .
【点睛】本题考查频率分布直方图中相关的计算，涉及频率、样本容量以及频数的计算，解
题时要注意从频率分布直方图中得出相应的频率，并熟悉频数、样本容量、频率三者之间的
关系，属于基础题.
10.把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 ，则方程组
无解的概率是________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得出直线 与直线 平行，得出 ，可得出事件“方程组无解”
所包含的基本事件数，并确定所有的基本事件数为 ，然后利用古典概型的概率公式
可得出所求事件的概率.
【详解】把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记为 ，用
表示基本事件，则所有的基本事件数为 ，
若方程组 无解，则直线 与直线 平行，可得 ，
则事件“方程组 无解”包含的基本事件有： 、 、 ，共 种，
因此，事件“方程组 无解”的概率为 ，故答案为： .
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键就是在于列举所有的基本事件，也可以
利用一些计数原理求出基本事件数，考查计算能力，属于中等题.
11.已知函数 存在反函数，则实数 ________
【答案】0
[ )100,104 80 0.55 44× = 44
a b
3
2 2
ax by
x y
+ =
+ =
1
12
3ax by+ = 2 2x y+ = 2b a=
6 6 36× =
a b ( ),a b
26 36=
3
2 2
ax by
x y
+ =
+ = 3ax by+ = 2 2x y+ = 2b a=
3
2 2
ax by
x y
+ =
+ =
( )1,2 ( )2,4 ( )3,6 3
3
2 2
ax by
x y
+ =
+ =
3 1
36 12
= 1
12
( ) ( ) | |f x x a x= − a =【解析】
【分析】
由函数 存在反函数，可知函数 为单调函数，然后对 分三种情况讨论：
、 、 ，分析函数 的单调性得出实数 的取值.
【详解】由于函数 存在反函数，则函数 单调函数.
①当 时， ，
当 时，函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
此时，函数 在 上不单调，不合乎题意；
②当 时， ，
可知函数 在 和 上均 增函数，且在 处连续，
所以，函数 在 上单调递增，合乎题意；
③当 时， ，
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时，函数 在 上不单调，不合乎题意.
综上所述： ，故答案为： .
【点睛】本题考查反函数的存在性问题，解题的关键就是将问题转化为函数为单调函数来处
理，考查化归与转化思想，属于中等题.
12.已知 ，若 ，且方程 有 5
个不同根，则 的取值范围为________
为
为
( )y f x= ( )y f x= a
0a > 0a = 0a < ( )y f x= a
( ) ( )f x x a x= − ⋅ ( )y f x=
0a > ( ) ( ) 2
2
, 0
, 0
ax x xf x x a x
x ax x
− ( )y f x= 0, 2
a
,2
a +∞
( )y f x= ( )0, ∞+
0a = ( ) 2
2
, 0
, 0
x xf x x x
x x
− 0
2
3x >
1y x x
= − 2 ,+3
∞ 0
1 2 0
1 1 1 1 2 3 5
4 4 3 2 24xk k x
= − > − = −
1 2
1 5 ,24k k
∴ ∈ − +∞
{2 1}n − n ⋅⋅⋅ 2 1n − *n∈N {1,3,7, ,2 1}n
nA = ⋅⋅⋅ −
nA k 1,2,3, ,k n= ⋅⋅⋅ k kT个数，规定乘积为此数本身），记 .例如：当 时， ， ，
； 时， ， ， ， .
（1）当 时，求 ， ， ， 的值；
（2）证明： 时集合 的 与 时集合 的 （为以示区别，用 表示）
有关系式 （ ， ）；
（3）试求 （用 表示）.
【答案】（1） ， ， ， （2）见解析（3）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 当 时 ， 得 出 ， 根 据 定 义 得 出 、 、 的 值 ， 可 计 算 出
的值；
（2）当 时，集合 有 个元素，比 时的集合 多了一个元素；
，对应的 包含两个部分：（i）若 不含 ，则 中的任何一项恰好为
时集合 的对应的 中的一项；（ii）若 中含 的任何一项，除了 ，其余的
个数均来自集合 ，这 个数的乘积恰好为集合 所对应的 中的一项，即可
证明；
（3）由 ， ， ，猜想 ，下面利用
数学归纳法进行即可.
【详解】（1）当 时， ，
， ， ，
（2）证明：当 时，集合 有 个元素，比 时的集合 多了一个元素：
.∴对应的 包含两个部分：
若 中不含 ，则 中的任何一项恰好为 时集合 的对应的 中的一项.
1 2n nS T T T= + +⋅⋅⋅+ 1n = 1 {1}A = 1 1T =
1 1S = 2n = 2 {1,3}A = 1 1 3T = + 2 1 3T = × 2 1 3 1 3 7S = + + × =
3n = 1T 2T 3T 3S
n k= kA mT 1n k= + k 1A + mT mT ′
1
1(2 1)k
m m mT T T+
−
′ = − + *,m k ∈N 2 m k≤ ≤
nS n
1 11T = 2 31T = 3 21T = 3 63S = ( 1)
22 1
n n
nS
+
= −
3n = { }3 1,3,7A = 1T 2T 3T
3 1 2 3S T T T= + +
1n k= + k 1A + 1k + n k= kA
1
1 2 1k
ka +
+ = − mT ′
mT ′ 1ka + mT ′
n k= kA mT mT ′ 1ka + 1ka +
1m − kA 1m − kA 1mT −
1
1 2 1 1S = − = 3
2 7 2 1S = = − 6
3 63 2 1S = = − ( )1
22 1
n n
nS
+
= −
3n = 3 {1,3,7}A =
1 1 3 7 11T = + + = 2 1 3 1 7 3 7 31T = × + × + × = 3 1 3 7 21T = × × = 3 63S =
1n k= + k 1A + 1k + n=k kA
1
1 2 1k
ka +
+ = − mT ′
mT ′
1ka + mT ′ n=k kA mT若 中含 的任何一项，除了 ，其余的 个数均来自集合 ，这 个数的乘积
恰好为集合 所对应的 中的一项.
∴有关系式
（3）解：由 ， ， ，
猜想 .下面证明：（i）易知 时成立.
（ii）假设 时， ，
则 时，
（其中 ， ，2，…，k，为 时可能的 k 个数的乘积的和为 ，
，即 时， 也成立，
综合（i）（ii）知对 ， 成立.
∴ .
【点睛】本题考查了集合的性质、数列通项公式与求和公式、数学归纳法以及分类讨论数学
思想的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题.
mT ′
1ka + 1ka + 1m − kA 1m −
kA 1mT −
( )1
12 1k
m m mT T T′ +
−= − +
1
1 1 2 1 1S = = − = 3
2 7 2 1S = = − 6
3 63 2 1S = = −
( 1)
22 1
n n
nS
+
= − 1n =
n=k
( 1)
22 1
k k
n kS S
+
= = −
1n k= + 1 1 2 3 1k kS T T T T+ += + + +…+
' 1 ' 1 ' ' 1 ' ' 1 ' ' 1
1 2 1 3 2 1[ (2 1)] [ (2 1) ] [ (2 1) ] [ (2 1) ] (2 1)k k k k k
k k kT T T T T T T T+ + + + +
−= + − + + − + + − + + − + ⋅ −
iT ′ 1i = n=k kT
( ) ( ) ( )( )1 1
1 2 3 1 2 32 1 2 1k k
k kT T T T T T T T′ ′ ′ ′ + + ′ ′ ′ ′= + + +…+ + − + − + + +…+
( ) ( ) ( )( 1)
1 1 1 122 1 2 1 2 2 1 2 1
k k
k k k k
k kS S
+
+ + + + = + − + − = − + −
( 1)( 2)
22 1
k k+ +
= − 1n k= + ( 1)( 2)
2
1 2 1
k k
kS
+ +
+ = −
*n∈N
( 1)
22 1
n n
nS
+
= −
( 1)
22 1
n n
nS
+
= −
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