格致中学高三三模数学试卷
一.填空题
1.已知幂函数 过点 ，则 的反函数为____
【答案】 （ ）
【解析】
【分析】
先根据幂函数 通过的点 求出该幂函数，再求它的反函数即得。
【详解】设幂函数 （ 为常数），由题得 ，解得 ，故 .
由 可得 ，把 x 与 y 互换可得 ，得 的反函数为 .
【点睛】本题考查求幂函数的解析式进而求其反函数，属于基础题。
2.已知关于 、 的方程组 有无穷多组解，则实数 的值为___
【答案】
【解析】
【分析】
根据若方程组 有无穷多组解，则满足 ，即可解得方程组中的参
数值。
【详解】由题得 ，且有 ，解得 .
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，属于基础题。
3.在△ 中， ， ，且 的大小是 ，则 ___
【答案】
【解析】
【分析】
( )f x (2, 2) ( )f x
1 2( )f x x− = 0x ≥
( )f x (2, 2)
( )f x xα= α 2 2α = 1
2
α = ( )f x x=
y x= 2x y= 2y x= ( )f x 1 2( ) ( 0)f x x x− = ≥
x y 2
3 3 1
9
x y
x a y a
+ = −
+ =
a
3−
ax by c
dx ey f
+ =
+ = ,ae bd af cd= =
0a ≠ 2
3 3 1
9 a a
−= = 3a = −
ABC 3AC = 3sin 2sinA B= C∠ 2
3
π
AB =
19根据正弦定理可知 ，AC 已知，可得 BC，又 ，由余弦定理可得 AB。
【详解】由题得 ， ， ，又 ，
，解得 .
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，属于基础题。
4.函数 （ ， ）在区间 上存在反函数，则实数 的
取值范围是____
【答案】
【解析】
【分析】
若函数 在区间 上存在反函数，则 在该区间上单调，由此可得 m 的范围。
【详解】由题得 的定义域为 ， 的对称轴为 ，
故 m 的取值范围是 .
【点睛】本题考查反函数的性质，属于基础题。
5.已知复数 （ ， 是虚数单位）的对应点 在第四象限，且 ，那
么点 在平面上形成的区域面积等于____
【答案】
【解析】
【分析】
先把复数分母有理化，再根据 z 在第四象限和 ，可得关于 x，y 的不等式组，进而可
得点 P 在平面上形成的区域面积。
【详解】由题得 ，z 在第四象限，则有 ，整理得
3 2a b= 2
3C
π∠ =
3 2a b= 3AC b= = 2a∴ = 2
3C
π∠ =
∴ 2 2 2 12 3 2 2 3 192c = + + × × × = 19c =
2( ) log ( 4 3)af x x x= − + 0a > 1a ≠ [ , )m +∞ m
(3, )+∞
( )f x [ , )m +∞ ( )f x
( )f x ( ,1) (3, )−∞ +∞ 2 4 3y x x= − + 2x =
(3, )m∈ +∞
i
1 i
x yz
+= + ,x y∈R i z | | 2z ≤
( , )P x y
π
| | 2z ≤
( )
1 2
x yi x y y x iz i
+ + + −= =+
02
02
x y
y x
+ > −
− > | | 2z ≤
2 2( ) ( ) 24
x y y x+ + − ≤ 2 2 4x y+ ≤ ( , )P x y
2 2
0
0
4
x y
x y
x y
+ >
− >
+ ≤
21 24S π π= ⋅ ⋅ =
a
13 2 5 a =
29
2 2 2(2 5)x y+ = 2 2 2(5)y z+ = 2 2 2( 13)x z+ = 2 2 2 2x y z a+ + =
29a =【点睛】本题的解题关键在于把三视图的投影和棱长 a 对应到一个长方体中，长方体的长宽
高设而不求，即能解出棱长 a。
7.已知 是首项为 ，公差为 1 的等差数列， ，若对任意的 ，都有
成立，则实数 的取值范围是____
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知可求得数列 的通项，进而求得 ，再由数列的性质可得 的取值范围。
【详解】由题得 ，则 ，对任意的 ，都有
成立，而 关于 的单调性为 时单调递减， 时单调递减，且
时 ， 时 。而 时， 最大，所以
，且 ，故 .
【点睛】此题是关于数列单调性的问题，引用函数的单调性加以解决，但需考虑定义域是正
整数集，难度属于中等。
8.已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 P 是椭圆上的任意一点，则
的取值范围是______．
【答案】
【解析】
{ }na a 1 n
n
n
ab a
+= *n∈N 10nb b≤
a
( 9, 8)− −
{ }na nb a
1na n a= + − 1 1 11
n
n
n
ab a n a
+= = ++ − *n∈N 10nb b≤
1
1n a+ − n 1n a> − 1n a< − 1n a> −
1 01n a
>+ − 1n a< − 1 01n a
>+ − 10n = 1
1n a+ −
10 1 a> − 9 1 a< − 9 8a− < < −
1F 2F
2 2x y 116 12
+ = 1 2
1
PF PF
PF
−
[ ]0,2【分析】
利用椭圆的定义，化简 ，再利用函数的单调性，即可求出 的取值范
围．
【详解】解： ，
因为 且函数 在 上单调递增，
所以 ，
故 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查椭圆的定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基
础题．
9.已知函数 ，记 （ ），若 是递减数列，
则实数 的取值范围是____
【答案】
【解析】
【分析】
要使函数 时单调递减，则 ，解得 t，要使函数
单调递减，则必须满足 ，解得 t，又函数
在 时单调递减，则 ，解得 t，联立解得即可。
【详解】由题得 在 单调递减，则有 ，解得 ，
同理 在 单调递减，则有 ，又函数在 时
在
1 2
1
PF PF
PF
− 1 2
1
PF PF
PF
−
( ) ( )1 1 1 11 2
1 1 1 1
8 8 82
PF PF PF PFPF PF
PF PF PF PF
− − − −− = = = −
12 6PF≤ ≤ 82y x
= − [ ]2,6x∈
1
8 22 2 3PF
− ≤ − ≤
[ ]
1
82 0,2PF
− ∈
[ ]0,2
2 3 18 3( )
( 13) 3 3
x tx xf x
t x x
− + ≤= − − >
( )na f n= *n∈N { }na
t
5( ,4)3
2( ) 3 18f x x tx= − + 3x ≤ *( )x∈N 3 5
2 2
t >
( ) ( 13) 3f x t x= − − 3x > *( )n∈N 13 0t − < ( )f x
*x∈N (3) (4)f f>
2( ) 3 18f x x tx= − + 3x ≤ *( )n∈N 3 5
2 2
t > 5
3t >
( ) ( 13) 3f x t x= − − 3x > *( )n∈N 13 0t − < *x∈N单调递减，则有 ，解得 ，故 .
【点睛】本题考查利用函数单调性求分段函数中的参数范围，需要注意分段点也要满足题意。
10.某些篮球队的 12 名成员来自高一、高二共 10 个班级，其中高一（3）班，高二（3）班各
有 2 人，其余班级各有 1 人，这 12 人中要选 6 人为主力队员，则这 6 人来自不同班级的概率
为____
【答案】
【解析】
【分析】
先求基本事件总数，再求 6 人来自不同的班级包含的基本事件个数，即可求出这 6 人来自不
同班级的概率。
【详解】由题得从 12 名成员中选 6 人有 种选法，即基本事件总数为 ，这 6 人来自
不同班级有三种情况：a.两人分别来自高一（3）班和高二（3）班，余下 4 人来自其它 4 个
不同班级，b.1 人来自高一（3）班或高二（3）班，余下 5 人来自其它 5 个班级，c.6 人来自
除 高 一 （ 3 ） 班 和 高 二 （ 3 ） 班 各 的 其 它 6 个 班 级 ， 基 本 事 件 个 数 为
，故 6 人来自不同班级的概率为 .
【点睛】本题考查利用计数原理求概率，在计算基本事件时运用了分类计数原理，解题关键
是分清情况求 6 人来自不同班级的种数。
11.函数 （ ， ）部分图像如图所示，且 ，
对于不同的 ，若 ，有 ，则 的单调递增区间是
____
【答案】 （ ）
(3) 27 9 (4) ( 13) 4 3f t f t= − > = − ⋅ − 4t < 5( ,4)3t ∈
19
33
6
12C 6
12n C=
1 1 4 1 5 6
2 2 8 2 8 82m C C C C C C= + + 19
33
m
n
=
( ) sin(2 )f x A x ϕ= + 0A > | | 2
πϕ ≤ ( ) ( ) 0f a f b= =
1 2, [ , ]x x a b∈ 1 2( ) ( )f x f x=
1 2( ) 3f x x+ = ( )f x
5[ , ]12 12k k
π ππ π− + k ∈Z【解析】
【分析】
根据图像可得函数周期 T 和 A 的值，以及 ，且 b-a 为半周期，由 ，
有 ， 可得角 ，进而确定函数 的解析式，从而求
出它的单调递增区间。
【详解】由题得函数的最小正周期为 ， ， ，则 ，
又 ，若 时，有 ，那么 ，
即 ，且 ，即 ，解得 ，则
，令 ，
解得 ，因此函数 在区间 （ ）上
单调递增.
【点睛】本题考查通过给出函数 的图像及其特定条件，求函数的单调递
增区间，是常考题型。
12.已知函数 ( )（其中 是自然对数的底数）的图像上存在点与
的图像上的点关于 轴对称，则实数 的取值范围是____
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意先设 上的一点坐标为 ，再由该点关于 y 轴对称写出 上的
点的坐标为 ，且两点满足横坐标互为相反数，纵坐标相等，则有
，对这个式子进行整理化简得 ，令
，在定义域内求 的值域，即得 a 的范围。
( ) ( ) 0f a f b= = 1 2( ) ( )f x f x=
1 2( ) 3f x x+ = 1 2sin(2 ) 12
x x ϕ+⋅ + = ϕ ( )f x
2
2T
π π= = 2A = ( ) ( ) 0f a f b= =
2b a
π− =
1 2, [ , ]x x a b∈ 1 2( ) ( )f x f x=
1 2( ) 3f x x+ = 1 2
3sin[2( ) ] 2x x ϕ+ + =
1 2
22( ) 3x x
πϕ+ + = 1 2sin(2 ) 12
x x ϕ+⋅ + = 1 22 2 2
x x πϕ+⋅ + =
3
πϕ =
( ) 2sin(2 )3f x x
π= + 2 2 22 3 2k x k
π π ππ π− + ≤ + ≤ +
5 ,12 12k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈ ( )f x 5[ , ]12 12k k
π ππ π− + k ∈Z
( ) sin( )f x A xω ϕ= +
2 1( ) 2
xf x x e= + − 0x < e
2( ) ln( )g x x x a= + + y a
( , )e−∞
( )f x 02
0 0
1( , )2
xx x e+ − ( )g x
2
0 0 0( , ln( ))x x a x− + −
02 2
0 0 0
1 ln( )2
xx e x a x+ − = + − 0 1( )2
0 ( 0)
xe
a e x x
−= + <
1( )2( ) ( 0)
xe
h x e x x
−= + < ( )h x【 详 解 】 存 在 函 数 图 像 上 的 一 点 与 函 数 图 像 上 一 点
关于 y 轴对称，则有 ，
即 ， ，
令 ，则 在 上单调递增，故 .
【点睛】本题根据两个函数上的两个点关于 y 轴对称的条件，可得到含参数的等式，解题关
键在于用分离参数的方法，在构造新函数的情况下，将求参数取值范围转化为求函数值域。
二. 选择题
13.已知 ， 是虚数单位， 是 共轭复数，则下列说法与“ 为纯虚数”不等价的是
（ ）
A. B. 或 ，且
C. 且 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的基本概念逐一判断。
【详解】A.若 z 为纯虚数，则 （ 且 ），那么 ，故有若 ，
则 z 为 纯 虚 数 ， 因 此 与 “ 为 纯 虚 数 ” 等 价 ； B. 令 ， 则
，由 或 ，得 ， ，又 ，故 ，
B 正确；C. 且 与“ 为纯虚数”等价；D.若 ，有 ，与“
为纯虚数”不等价，故选 D.
【点睛】本题考查复数基本概念的辨析，属于基础题。
14.已知光线沿向量 （ ， ， ）照射，遇到直线 后反射，其
中 是直线 的一个方向向量， 是直线 的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表
的
( )f x 02
0 0
1( , )2
xx x e+ − ( )g x
2
0 0 0( , ln( ))x x a x− + − 02 2
0 0 0
1 ln( )2
xx e x a x+ − = + −
0
0
1 ln( )2
xe a x− = − 0 1( )2
0 0( 0)
xe
a e x x
−= + <
1( )2( )
xe
h x e x
−= + ( )h x ( ,0)−∞ 1
2a e e< =
z C∈ i z z z
2 0z < | | iz z= | | iz z= − | | 0z ≠
Re 0z = Im 0z ≠ 0z z+ =
z bi= b R∈ 0b≠ 2 2 0z b= − < 2 0z <
2 0z < z ( , )z a bi a b R= + ∈
2 2| |z a b= + | |z z i= | |z z i= − 0a = 2 2a b b+ = ± | | 0z ≠ 0b≠
Re 0z = Im 0z ≠ z 0z z= = 0z z+ = z
a md pn= + 0mp ≠ m∈R n∈R l
d l n l示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据入射角等于反射角的性质作图即得。
【详解】不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中 ，则向量
时，向量 .故选 B.
【点睛】本题考查平面向量的线性表示以及光线反射问题，是常考题型。
15.如图，已知三棱锥 ， 平面 ， 是棱 上的动点，记 与平面
所成的角为 ，与直线 所成的角为 ，则 与 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D. 不能确定
【答案】C
md pn− − md pn−
pd mn− + pd mn−
| | | |a b=
a md pn= + ( 0, , )mp m R p R≠ ∈ ∈ b md pn= −
P ABC− PA ⊥ ABC D BC PD
ABC α BC β α β
α β> α β=
α β APB∠ 为锐角 tan 1
PA PB
PA PB
k kAPB k k
−∠ = +
APB∠ P
(200,0)C
1tan 2
α =则直线 的斜率为
（2）记
等号当
当观测者位于 处视角最大为
【点睛】本题考查三角函数实际应用，解题关键在于用已知条件表示出 ，得到关于
x 的函数。
19.已知抛物线 （ ），其准线方程 ，直线 过点 （ ），且
与抛物线交于 、 两点， 为坐标原点.
（1）求抛物线方程，并注明： 的值与直线 倾斜角的大小无关；
（2）若 为抛物线上的动点，记 的最小值为函数 ，求 的解析式.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线方程 可知准线方程为 ，由此可得抛物线方程为
，由向量的坐标运算表示出 的值，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定
CD 1
2
1 ( 200)2CDl y x∴ = −：
( , y), 200 ,P x PA OC AB APB≥ = > ∴∠ 为锐角
220 300
80 2tan 220 300 5 1280001 111 3604
PA PB
PA PB
y y
k k x xAPB y y xk k
x x x
− −−−∠ = = = ≤− −+ + ⋅ + −
5 128000 , 320, 604
x x yx
= = =即 时取到
(320,60)P 2arctan11
tan APB∠
2 2y px= 0p > 1 0x + = l ( ,0)T t 0t >
A B O
OA OB⋅ l
P | |PT ( )d t ( )d t
2 1, 2,( )
, 0 2.
t td t
t t
− ≥= <
2
px = −
2 4y x= OA OB⋅ 理化简 的值，即得结果；（2）先根据两点间距离公式表示 ，再根据二次函数对
称轴与定义区间位置关系求最值，可得 解析式。
【详解】解：由题意， ，所以抛物线的方程为
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，则 ， ，
．
当直线 的斜率 存在时，则 ，设 的方程为 ， ， ，
由 消去 ，得 ，故
所以， ．
综上， 的值与直线 倾斜角的大小无关
（2）设 ，则 ，
因为 ，所以
【点睛】本题综合考查抛物线和向量，在证明向量数量积的大小与斜率无关时运用了设而不
求的方法，是圆锥曲线问题中常用的解题方法，也考查了利用二次函数性质求函数解析式，
考查比较全面。
20.已知函数 ， 单调递增，其中 ， ，记 为
函数 的最小值.
（1）求 的值；
（2）当 时，若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；
（3）求 的取值范围，使得存在满足条件的 ，满足 .
OA OB⋅ PT
( )d t
2p = 2 4y x=
l l x t= ( ,2 )A t t ( , 2 )B t t−
2 4OA OB t t⋅ = −
l k 0k ≠ l ( 3 ,0)Q c− 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2 4 ,
( ),
y x
y k x t
=
= −
x 2 4 4 0ky y kt− − = 1 2
1 2
4 ,
4 ,
y y k
y y t
+ =
= −
2 2
21 2
1 2 1 2 1 2 416
y yOA OB x x y y y y t t⋅ = + = + = −
OA OB⋅ l
0 0( , )P x y 2
0 04y x=
2 2 2
0 0 0( ) [ ( 2)] 4 4PT x t y x t t= − + = − − + −
0 0x ≥ 2 1, 2,( )
, 0 2.
t td t
t t
− ≥= < 0b ≥ ( , )M a b
( )f x
(1,0)M
1a = ( )f x [1, )+∞ b
a b ( , ) 1M a b = −【答案】(1) (2) (3)
【解析】
【分析】
（1）将 代入 可得 ，再由基本不等式，可得
的值；（2）将 a=1 代入 ，令 ，得到新函数 在 上
单调递增，求导讨论函数单调性即得 b 的范围；（3）由 ， ，可得
，利用基本不等式可知 可以取
到最小值 ，又有 ，即可得 a 的取值范围。
【详解】解:（1） ， 时等号成立
则 ；
（2） ，令
那么 在 上单调递增，
则 ，即 ，
因为 ，且 ，则 ，
所以 ，即
（3） ，
由 ，所以 ， ，
则
由 ，知 则 ，
(1,0) 2 2 3M = − [0,2]b∈ 3 2 2a ≥ +
1, 0a b= = ( )f x ( ) ( ) 21 31f x x x
= + + −+ (1,0)M
( )f x 1x t+ = 2( ) 3bg t t t
+= + − [2, )t ∈ +∞
0b ≥ [ , )x a a+ ∈ +∞
22b a a+ >
2
22( ) ( ) 3 2 2 3b af x x a a b a ax a
+= + + − ≥ + −+
22 2 3b a a+ − ( , ) 1M a b = −
( ) ( )2 21 3 2 2 31 1
x xf x xx x
−= = + + − ≥ −+ + 2 1x = −
(1,0) 2 2 3M = −
2
( ) 1
x x bf x x
− += + 1 ,x t+ =
2( ) 3bg t t t
+= + − [2, )+∞
2
2 2
2 (2 )'( ) 1 0b t bf x t t
+ − += − = > 2 (2 ) 0t b− + ≥
0b ≥ [2, )t ∈ +∞ 22 2 b≥ +
2b ≤ [0,2]b∈
22( ) ( ) 3b af x x a ax a
+= + + −+
0b ≥ 22b a a+ > [ , )x a a+ ∈ +∞
2( , ) 2 2 3M a b b a a= + −
( , ) 1M a b = − 22 2 3 1b a a+ = − ， 3 1 2 2a a− ≥所以
【点睛】本题考查利用基本不等式求最小值，利用导数研究函数单调性。
21.设数列 的各项都是正数，若对于任意的正整数 ，存在 ，使得 、 、
成等比数列，则称函数 为“ 型”数列.
（1）若 是“ 型”数列，且 ， ，求 的值；
（2）若 是“ 型”数列，且 ， ，求 的前 项和 ；
（3）若 既是“ 型”数列，又是“ 型”数列，求证：数列 是等比数列.
【答案】(1)2；(2) (3)见证明
【解析】
【分析】
（1）根据已知 是“ 型”数列，即 成等比数列，那么可知 是等比数
列，由条件可直接求出 ，进而得 的值；（2）当 n 为奇数时 ，
当 n 为偶数时，根据已知可计算出 ，由此得到 ；（3）先写出 时的“ 型”数列
和“ 型”数列，公比分别为 和 ，再写出 和 时的“ 型”数列，
公比分别为 和 ，根据数列中的公共项可得公比之间的关系 ，再由
时的 3 个“ 型”数列的通项公式，可推得 是等比数列。
【详解】解：（1）由 是“ ”数列，所以 成等比，所以 成
等比数列，且公比 ，
则
（2）由 是“ ”数列，所以 成等比，所以当 为奇数时：
3 2 2a ≥ +
{ }na m *k ∈N ma m ka +
2m ka + { }na kD
{ }na 1D 1 1a =
3
1
4a = 1 2lim( )nn
a a a→∞
+ +⋅⋅⋅+
{ }na 2D 1 2 3 1a a a= = = 8 8a = { }na n nS
{ }na 2D 3D { }na
2
1
2
22 ,2
12 ,2
n
n n
n n
S
n n
−
−+= − +
为偶数
为奇数
{ }na 1D 1 2, ,m m ma a a+ + { }na
nS 1 2lim( )nn
a a a→∞
+ +⋅⋅⋅+ 1na =
na nS 1m = 2D
3D ( 0)q q > 1q 2m = 3m = 3D
2q 3q 3
2
1 2 3q q q q= = =
1, 2, 3m m m= = = 3D { }na
{ }na 1D 1 2 3 4 5 6, , , , , ,a a a a a a { }na
2 3
1
1 1, 04 2
aq q qa
= = > ∴ =
1
1 2lim( )= 21nn
aa a a q→∞
+ + + =−
{ }na 2D 1 3 5 7 9 11, , , , , ,a a a a a a n；
由 是“ ”数列，所以 成等比，所以当 为偶数时： ；
（3）由 是“ ”数列，所以 成等比，
设其公比为 ，又 是“ ”数列，则 成等比数列，设其公比
为 ，同理，设 的公比为 ， 的公比为
（ 。
那么 ，所以 。
当 时， ，
，
。
综上得： ， ，所以 是等比数列
【点睛】本题考查了求等比数列的前 n 项和以及求它的极限值，对于第三个问充分考查了等
比数列的性质，解题的关键是化抽象为具体，分别列出“ 型”数列，和“ 型”数列当
时的前几项，然后根据公共项推出公比之间的关系，进而证明 是等比
数列，题目有一定的综合性。
1na =
{ }na 2D 2 4 6 8 10 12, , , , , ,a a a a a a n 122
n
na
−=
2
1
2
22 ,2
12 ,2
n
n n
n n
S
n n
−
−+= − +
为偶数
为奇数
{ }na 2D 1 3 5 7 9 11, , , , , ,a a a a a a
( 0)q q > { }na 3D 1 4 7 10 13, , , , ,a a a a a
1q 2 5 8 11 14, , , , ,a a a a a 2q 3 6 9 12 15, , , , ,a a a a a 3q
0, 1,2,3)iq i> =
2 3 2 3 2 37 911
1 2 3
1 5 3
a aaq q q q q qa a a
= = = = = =， ， 3
2
1 2 3q q q q= = =
*k N∈ 3( 1) (3 2) 1
1 2 2
3 2 1 1 1 1
k k
k
ka a q a q a q
− − −
−
− = = =
3( 2) (3 1) 1
2 2 2 2
3 1 5 2 1 1
k k
k
ka a q a q q a q
− − −
−
− = = =
3( 1) 3 1
1 2 2
3 3 3 1 1
k k
k
ka a q a qq a q
− −
−= = =
1
*2
1 ( )
n
na a q n N
−
= ∈
1
1 2n
n
a qa
+ = { }na
2D 3D
1, 2, 3m m m= = = { }na
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