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玉溪一中 2019—2020 学年上学期高二年级期末考
数学(理)
全卷满分 150 分 考试用时 120 分钟
一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求）
1.已知集合 ， ( )
A. B. C. D.
2.若 ，则下列不等式不成立的是 （ ）
A. B. C. D.
3.“ ”是“ ”的 （ ）
A.充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.等差数列 中， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个
大的正方形,若图中直角三角形两锐角分别为 、 ,且小正方形与大正方形面积之比为 ,则
的值为 （ ）
A. B. C. D.
6. 是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是 （ ）
A. B.
C. 共面 D. 共点 共面
7.直线 同时要经过第一、第二、第四象限，则 应满足 （ ）
A. ， B. ，
{ } { }2,52 ≥=≤≤−= xxBxxA ( ) =BCA R
[ ]5,2− [ )5,2− [ )2,2− [ ]2,2−
0− ba
11 > ba > 22 ba >
1=x 0232 =+− xx
{ }na 244 951 =++ aaa 9 132a a− =
α β 4:9
( )βα −cos
9
5
9
4
3
2 0
321 ,, lll
313221 //, llllll ⇒⊥⊥ 313221 //, llllll ⊥⇒⊥
3213221 ,,//,// lllllll ⇒ 321 ,, lll ⇒ 321 ,, lll
0=++ cbyax cba ,,
0>ab 0>bc 0 ba ( )baba +=+ lglglg ba +
ABCP − ABC∆ 3=== PCPBPA PCPB ⊥
ABCP −
π
2
27 π
2
327 π327 π27
( )xfy = I
( )
x
xfy = I
( )xfy = I I ( ) 542 +−= xxxf I
I
[ )+∞,2 2, 5 0, 5 [ ]0,2
( ) xxxf sincos3 += [ ]aa,− a
6
π
3
π
2
π
3
2π
xy 22 = F P M FPM∆
3 2 3 2
)2,1( −=a )1,2(=b =− ba 2
≤−
≤−+
≥
0
04
1
ykx
yx
x
2
9 k
42.0 28.0
( )-3,0A ( )-1 -2B ， ( )2 2 22 ( 0)x y r r− + = > MAB∆
NAB∆3
17.(10 分) 在数列 中， ，且 ， ，1 成等差数列.
⑴求数列 的通项公式；
⑵若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求 .
18. (12 分)已知 中，角 的对边分别为 ，且
, ， 的面积为 .
⑴求 的大小；
⑵求 的值.
19. (12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据
用户对产品的满意度评分，得到 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 地区用户满意度
评分的频数分布表．
地区用户满意度评分的频率分布直方图
地区用户满意度评分的频数分布表
(1)在图中作出 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的
平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
地区用户满意度评分的频率分布直方图
满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 2 8 14 10 6
{ }na 6462 =aa 2log na 2 1
1 log2 na +
( )*Nn ∈
{ }na
{ }nb (2 1)n nb n a= + + { }nb n nT nT
ABC∆ CBA ,, cba ,,
1)tantan1(coscos2 −=− BABA 3c = ABC∆
2
3
C∠
ba +
BA,
A B
A
B
B
B4
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分
满意度等级 不满意 满意 非常满意
公司负责人为了解用户满意度情况，从 B 地区调查 8 户，其中有两户满意度等级是不满意。求从
这 8 户中随机抽取 2 户检查，抽到不满意用户的概率.
20. (12 分)如图,AE⊥平面 ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求证:BF∥平面 ADE；
(2)若二面角 E-BD-F 的余弦值为 ,求线段 CF 的长.
21. (12 分)已知函数 且 .
⑴求实数 的值；
⑵若函数 有零点，求实数 的取值范围；
⑶若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.
22. (12 分)设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为 4，
离心率为 .
⑴求椭圆的方程；
⑵设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的
负半轴上．若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率与直线 MN 的斜率
之积为定值．
3
2
( ) ( )1,02
41 ≠>+−= aaaaxf x
( ) 00 =f
a
( ) ( ) ( ) kxfxg x ++= 12 k
( )1,0∈x ( ) 22 −⋅> xmxf m
( )012
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x F B
5
5
P M PB x N y
| | | |ON OF= O OP MN⊥ PB5
2019—2020 学年上学期高二年级理科数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B D A B C C D B A A
二、 填空题
13、5 14、0 15、 15 16、
三、解答题
17、（1）∵ ， ， ，成等差数列，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ 是等比数列，公比 ，由 ，得 ， ，
（2）
18、(1)
因为 C∈(0，π)，所以 C＝π
3.
(2)由(1)知 C＝π
3，又因为 S△ABC＝1
2absin C，
所以 3
2 ＝1
2absin π
3，所以 ab＝2，由余弦定理得，
3＝a2＋b2－2abcosπ
3＝a2＋b2－2，
所以 a2＋b2＝5，所以 a＋b＝3.
19、（1）
5 52 2 2, 2 2 22 2
− +
2log na 2 1
1 log2 na + 1
2 1 2
12 log log 12 n na a+× = +
1 2n na a+ = 0na >
{ }na 2q = 2 6 64a a = 4 8a = 1 1a =
( )12n
na n N− ∗∴ = ∈
( ) 12 1 2n
nb n −= + + ( ) ( )1 2 13 5 7 2 1 1 2 2 2n
nT n −∴ = + + + + + + + + +
2 2 2 1n
nT n n∴ = + + −
sin sin2cos cos 1 1cos cos
A BA B A B
− = − 2cos cos 2sin sin 1A B A B∴ − = −
( ) 1cos 2A B∴ + = − 1cos 2C∴ =6
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于 A
地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而 A 地区用户满意度评分比较
分散．
(2)记 :仅第一次抽到不满意用户； ：仅第二次抽到不满意用户；
：两次都抽到不满意用户.
; ; ;
.
20、(1)
依题意,可以建立以 A 为原点,分别以 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正
方 向 的 空 间 直 角 坐 标 系 ( 如 图 ), 可 得
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).设 CF=h(h>0),则 F(1,2,h).
依题意, =(1,0,0)是平面 ADE 的法向量,又 =(0,2,h),可得 =0,又
因为直线 BF⊄平面 ADE,所以 BF∥平面 ADE.
(2)设 m=(x,y,z)为平面 BDF 的法向量,则 不妨令 y=1,可得 m=
1,1,- . 设 n=(x,y,z)为平面 BDE 的法向量,则 不妨令 z=1,
可得 n=(2,2,1).由题意,有|cos|= ,解得 h= ,
所以,线段 CF 的长为 .
1A 2A
12A
( )1
12 3
8 7 14P A = =× ( )2
12 3
8 7 14P A = =× ( )12
2 1
8 7 28P A = =×
( ) ( ) ( ) ( )1 2 12
13
28P A P A P A P A∴ = + + =
2
24 2
343 2
m n h
m n
h
−⋅ = =
+
10 2
2
+
10 2
2
+7
21、(1)对于函数 f(x)=1- (a>0,a≠1),由 f(0)=1- =0,得 a=2.
(2)由(1)得 f(x)=1- =1- .
若函数 g(x)=(2x+1)·f(x)+k=2x+1-2+k=2x-1+k 有零点,
则函数 y=2x 的图象和直线 y=1-k 有交点,
∴1-k>0,解得 km·2x-2 成立,即 1- >m·2x-2 成立.
令 t=2x,则 t∈(1,2),且 m< - = = + .
由于 y= + 在 t∈(1,2)上单调递减,
∴2> + > + = , ∴m
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