云南省玉溪一中2019-2020高二上学期期末考试数学（文）试题（Word版带答案）.doc

1 玉溪一中 2019——2020 学年上学期高二年级期末考 文科 数学 一、选择题（本题共 12 小题，每题 5 分，共计 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2.若 ，则下列不等式不成立的是 （ ） A. B. C. D. 3.“ ”是“ ”的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4.等差数列 中， ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小 正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 、 ，且小正方 形与大正方形面积之比为 ，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 6. 是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是 （ ） A. B. C. 共面 D. 共点 共面 { } { }2,52 ≥=≤≤−= xxBxxA ( ) =BCA R [ ]5,2− [ )5,2− [ )2,2− [ ]2,2− 0− ba 11 > ba > 22 ba > 1=x 0232 =+− xx { }na 244 951 =++ aaa =− 1392 aa α β 4:9 ( )βα −cos 9 5 9 4 3 2 0 321 ,, lll 313221 //, llllll ⇒⊥⊥ 313221 //, llllll ⊥⇒⊥ 3213221 ,,//,// lllllll ⇒ 321 ,, lll ⇒ 321 ,, lll2 7.直线 同时要经过第一、第二、第四象限，则 应满足 （ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8.若 ， ，则 的最小值为 （ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 9.三棱锥 中， 为等边三角形， , ， 则三棱锥 的外接球的表面积为 （ ） A. B. C. D. 10.如果函数 在区间 上是增函数，且函数 在区间 上是减函数， 那么称函数 是区间 上的“缓增函数”，区间 叫做“缓增区间”。若函 数 是区间 上的“缓增函数”，则“缓增区间” 为（ ） A. B. C. D. 11.若 在 上是增函数，则 的最大值是 （ ） A. B. C. D. 12.已知抛物线 过点 ，其准线与 轴交于点 ，直线 与抛物线的另一个交点为 ，若 ，则实数 （ ） A.1 B.2 C. 3 D. 1 或 2 二、填空题（本题共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分） 13.已知向量 ， ，则 。 14.已知约束条件 ，表示面积为 的直角三角形区域，则实数 的值 为 。 0=++ cbyax cba ,, 0>ab 0>bc 0 ba ( )baba +=+ lglglg ba + ABCP − ABC∆ 3=== PCPBPA PCPB ⊥ ABCP − π 2 27 π 2 327 π327 π27 ( )xfy = I ( ) x xfy = I ( )xfy = I I ( ) 542 +−= xxxf I I [ )+∞,2 2, 5   0, 5   [ ]2,0 ( ) xxxf sincos3 += [ ]aa,− a 6 π 3 π 2 π 3 2π ( )022 >= ppxy      2,2 1A x B AB M ABMB λ= =λ ( )2,1 −=a ( )1,2=b =− ba2    ≤− ≤−+ ≥ 0 04 1 ykx yx x 2 9 k3 15.某口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是 ，摸出白球的概率是 ，若红球有 21 个，则黑 球有 个。 16. 已 知 ， 点 在 直 线 上 ， 点 在 圆 ： 上，则 的最小值是 。 三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 17.（10 分）在等比数列 中， （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 18. （ 12 分 ） 已 知 中 ， 角 的 对 边 分 别 为 ， 且 , 的面积为 ， ． ⑴求 的大小； ⑵求 的值． 19.（12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 地区用户满意度评分的频率 分布直方图和 地区用户满意度评分的频数分布表． 地区用户满意度评分的频率分布直方图 42.0 28.0 ( )2,0A P 02 =++ yx Q C 02422 =−−+ yxyx PQPA + { }na .813 52 == aa ， { }na 3logn nb a= { }nb n nS ABC∆ CBA ,, cba ,, 1)tantan1(coscos2 −=− BABA ABC∆ 2 3 3=c C∠ ba + BA, A B A4 地区用户满意度评分的频数分布表 (1)在图中作出 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地 区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)． 地区用户满意度评分的频率分布直方图 (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 公司负责人为了解用户满意度情况，从 地区中调查 8 户，其中有 2 户满意度等 级是不满意，求从这 8 户中随机抽取 2 户检查，抽到不满意用户的概率． 20.（12 分）如图，四棱锥 中，底面 是菱形，其对角线的交点 为 ，且 ． ⑴求证： 平面 ； ⑵设 ， ， 是侧棱 上的一点，且 ∥平面 ， 求三棱锥 的体积． 满意度评分分组 频数 2 8 14 10 6 B B B B S ABCD− ABCD O ,SA SC SA BD= ⊥ SO ⊥ ABCD 60BAD °∠ = 2AB SD= = P SD SB APC A PCD− [ )60,50 [ )70,60 [ )80,70 [ )90,80 [ ]100.905 21.（12 分）已知函数 在 与 处都取得极值. (1)求 的值及函数 的单调区间； (2)若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围. 22.（12 分）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 。已知椭 圆的短轴长为 4，离心率为 ． ⑴求椭圆的方程； ⑵设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点， 点 在 轴的负半轴上．若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率与直线 MN 的斜率之积为定值． ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + 1x = − 2x = ba, )(xf [ ]3,2−∈x 2 2 3)( ccxf >=+ bab y a x F B 5 5 P M PB x N y | | | |ON OF= O OP MN⊥ PB6 参考答案 一. 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B D A B C C D B A B 二. 填空题 13. 5 14. 0 15. 15 16. 三. 解答题 17. 设等比数列{an}的公比为 q， 由 a2=3，a5=81，得 ，解得 ． ∴ ； （2）∵ ，bn=log3an， ∴ ．则数列{bn}的首项为 b1=0， 由 bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2）， 可知数列{bn}是以 1 为公差的等差数列． ∴ ． 18.⑴ 即 52 1sinsin2coscos2 −=− BABA 2 1)cos( −=+ BA  180=++ CBA 2 1cos)180cos()cos( −=−=−=+∴ CCBA  2 1cos =C 60=∴C  1800 + ba ba 28 13)( =CP  ABCD ∴ ACBD ⊥ AACSASABD =∩⊥ ， ⊥∴BD SAC ⊂SO SAC ⊥∴BD8 ， 又 为 中 点 ， 平 面 ． （ 2 ） 解 ： 连 ? 平 面 ， 平 面 ， 平 面 平 面 ， ? ，在三角形 中， 是 的中点， 是 的中点．取 的 中点 ，连 ， 底面 ，且 ，　 在直角三角形 中， 在直角三角形 中， ． 21. （1） 由题意得 即 解得 所以 令 解得 令 解得 或 所以 的减区间为 ,增区间为 （2）由（1）知, 在 上单调递增; 在 上单调递减;在 上单调递增. SO OSCSA ,= AC ,OBDACACSO =∩⊥∴ ， ⊥∴SO ABCD ,PO SB APC SB ⊂ SBD SBD ∩ APC PO= SB∴ PO SBD O BD P∴ SD OD E PE ⊥PE ACD SOPE 2 1= ADO 1,302 =∴°=∠= DODAOAD ， SDO ，， 2 3,32 =∴== PESOSD 3120sin222 1 =°×××=ACDS三角形 2 1 2 333 1 =××==∴ −− ACDPPCDA VV 三棱锥三棱锥 ( ) 2' =3 2f x x ax b+ + '( 1) 0 '(2) 0 f f − = =    3 2 0 12 4 0 a b a b − + = + + =    3 2 6 a b = − = −   ( )3 2 23( ) 6 , ' 3 62f x x x x c f x x x= − − + = − − ( ) 0f x′ < 1 2x− < < ( ) 0f x′ > 1x < − 2x > ( )f x ( )1,2− ( ) ( ), 1 , 2, .−∞ − +∞ ( )f x ( ), 1−∞ − ( )1,2− ( )2,+∞9 所以 时, 的最大值即为 与 中的较大者. 所以当 时, 取得最大值. 要使 ,只需 , 即 ,解得 或 . 所以 的取值范围为 22.⑴椭圆方程为 ⑵设直线 PB 的方程为 点 或 将 代入 ，得 即点 在 中，令 ，得 ，即点 [ ]2,3x∈ − ( )f x ( )1f − ( )3f ( )7 9( 1) , 3 .2 2f c f c− = = − + 1x = − ( )f x 23( ) 2f x c c+ < 2 3(-1) 2c f c> + 22 7 5c c> + 1c < − 7c> 2 c 7(- ,-1) ( , )2 ∞ ∪ +∞ 145 22 =+ yx )0(2 ≠+= kkxy ),( 00 yxP )1,0(),2,0( −NB 020)54( 145 2 2222 =++⇒    =+ += kxxkyx kxy 01 =∴ x 22 54 20 k kx +−= 22 54 20 k kx +−= 2+= kxy 2 2 54 108 k ky + −= )54 108,54 20( 2 2 2 k k k kP + − +− k k k kkOP 10 45 20 108 22 −=− −=∴ 2+= kxy 0=y kx 2−= )0,2( kM − )1,0( −N10 所以斜率之积为定值 22 1 k k kMN −=−=∴ MNOP ⊥ 5 241 2 =⇒−=⋅∴ kkk MNOP 5 12 5 24 2 1 2)2( 2 −=⋅−=−=−⋅=⋅∴ kkkkk MNPB 5 12−