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1．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．6 D．2
【答案】C 【解析】圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2,1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，所以a＝－1，从而A(－4，－1)，
|AB|＝＝＝6.
2．已知圆x2＋y2＋mx－＝0与抛物线y＝x2的准线相切，则m＝( )
A．±2 B．±
C. D.
【答案】B 【解析】抛物线的准线为y＝－1，将圆化为标准方程得2＋y2＝，圆心到准线的距离为1＝⇒m＝±.
3．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离最小值为( )
A. B．2
C．3 D．4
4．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
【答案】D 【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
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又因为光线与圆(x＋3) 2＋(y－2)2＝1相切，所以＝1，
整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－，故选D.
5．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为( )
A．1 B．3
C. D.
6．已知圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，点P(2,2)是该圆内一点，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】D 【解析】依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P垂直于直径的弦，所以|AC|＝2×3＝6.因为圆心到BD的距离为＝，所以|BD|＝2＝2.则四边形ABCD的面积为S＝×|AC|×|BD|＝×6×2＝6.故选D.
7．若直线l： ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A. B．5 C．2 D．10
【答案】B 【解析】由题意，知圆心M的坐标为(－2，－1)，所以－2a－b＋1＝0.
因为(a－2)2＋(b－2)2表示点(a，b)与(2,2)的距离的平方，
而的最小值为＝，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.故选B.
8．命题p：4＜r＜7，命题q：圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上恰好有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则p是q的( )
A．充分不必要条件
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B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】因为圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离等于5，所以圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上恰好有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1时，4＜r＜6，所以p是q的必要不充分条件．
9．已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O为坐标原点，且有|＋|≥||，则k的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．[，2)
C．[，＋∞) D．[，2)
【答案】B 【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即＜2，
由k＞0，得0＜k＜2.①
如图，又由|＋|≥||，得|OM|≥|BM|⇒∠MBO≥，因|OB|＝2，所以|OM|≥1，
故≥1⇒k≥.②
综①②得≤k＜2.
10．已知直线x＋y－a＝0与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|2－3|＝|2＋3|，则实数a的值为________.
【答案】±
11．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
【答案】x2＋(y－1)2＝10
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【解析】设所求圆的半径为r，抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，
故圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.
12．已知⊙O：x2＋y2＝1，若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)
13．设点P在直线y＝2x＋1上运动，过点P作圆(x－2)2＋y2＝1的切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值是________．
【答案】2
【解析】圆心C(2,0)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝，所以|PA|＝≥＝2.
14．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
【答案】18
【解析】由题意得直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为r＝2，即＝＝2⇒a2＋b2＝(2＋1)2＋(－2＋1)2＝18.
15．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．
(1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.
[解] (1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，配方得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3).2分
当斜率存在时，
设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，
即kx－y＋5－3k＝0.
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由d＝＝1，得k＝.4分
又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，5分
故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.6分
(2)直线OA的方程为y＝x，即5x－3y＝0，8分
点C到直线OA的距离为d＝＝.10分
又|OA|＝＝，∴S＝|OA|d＝.12分
16．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
所以所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.7分
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(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，
则CD⊥PD，即·＝0，
所以(x＋2，y－6)·(x，y－5)＝0，10分
化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.12分
17．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3，5)．
(1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.
18．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－y＋－2＝0相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．
解：(1)将圆C：x2＋y2＋4 x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m，
因为圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－y＋－2＝0相切，
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所以圆心(－2，1)到直线x－y＋－2＝0的距离d＝＝2＝r，
所以圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.
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