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2020 届高三年级数学（理）模拟试卷三 一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题） 1．若集合 1{ 1,0, ,1,2}2A   ，集合 { | 2 , }xB y y x A   ，则集合 A B  （ ） A． 1{ 1, ,1,2}2  B．{ 10, ,12 } C．{1 ,1,22 } D．{ 1,0,1} 2．已知复数 3 2 (1 ) iz i   ，则 z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量 ( 3,3)a  在向量 ( ,1)b m r 方向上的投影为 3，则 a  与b  的夹角为 ( ) A．30 B．60 C．30 或150 D．60 或120 4．设 l   是直二面角，直线 a 在平面 内，直线b 在平面  内，且 a 、b 与 l 均不垂直，则（ ） A． a 与b 可能垂直，但不可能平行 B． a 与b 可能垂直，也可能平行 C． a 与b 不可能垂直，但可能平行 D． a 与b 不可能垂直，也不可能平行 5．求  1 2 1 1 cosx x x dx   的值为（ ） A． 2  B． 12   C． D． 1  6．已知： 1: 12p a   ，  : 1,1q x   ， 2 2 0,x ax   则 p 是q成立的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 7．如图所示，分别以正方形 ABCD 两邻边 AB、AD 为直径向正方形内做两个 半圆，交于点 O ．若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能 性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为 A． 3 2 8   B． 8  C． 2 8   D． 6 8  8．在数列 na 中， 1 0a  ，   1 5 2 2 *, 2n na a n n N n      ，若数列 nb 满足 1 81( )11 n n nb n a   ，则数列 nb 的最大项为( ) A．第 5 项 B．第 6 项 C．第 7 项 D．第 8 项 9．已知函数 ( ) 3sin cos ( 0)f x wx wx w   在区间 ,4 3      上恰有一个最大值点 和一个最小值点，则实数 的取值范围是（ ） A． 8,73     B． 8,43     C． 204, 3     D． 20 ,73      10．抛物线 的准线与 轴交于点 ，焦点为 ，点 是抛物线 上的任意一 点，令 ，当 取得最大值时，直线 的斜率是 （ ） A． B． C． D． 11．已知在 R 上的函数  f x 满足如下条件：①函数  f x 的图象关于 y 轴对称； ②对于任意 xR ，    2 2 0f x f x    ；③当  0,2x  时，  f x x ；④函数      12n nf x f x  ， *n N ，若过点( )1,0- 的直线l 与函数    4f x 的图象在  0,2x  上恰有 8 个交点，则直线l 斜率 k 的取值范围是( ) A． 80,11      B． 110, 8      C． 80,19      D． 190, 8      12．已知    1 1 2 2, ,A x y B x y、 是函数   ln xf x x  与   2 kg x x  图象的两个不同的交 点，则  1 2f x x 的取值范围是( ) A． 2ln ,2 e e     B． 2 1ln ,2 e e e      C． 10 e      ， D． 2ln ,02 e e      二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题） 13．已知函数  2( ) lg 3f x mx mx m    的定义域为 R ，则实数 m 的取值范围为— 14．计算： 2sin50 3sin 20 cos20    ______ 15．若 ABC 的三边长 a ，b ，c 满足 2 3b c a  ， 2 3c a b  ，则 b a 的取值范围为 ______.16．已知 ln ,0 2( ) (4 ),2 4 x x ef x f e x e x e       ，若方程 ( ) 0f x mx  有 2 个不同的实根， 则实数 m 的取值范围是_____ 三、解答题 17．已知函数 2: ( ) 2 3p f x x ax   的值域是[0, ) ， :q 关于 a 的不等式 2 (2 5) ( 5) 0a m a m m     ，若 p 是 q 充分不必要条件，求实数 m 的取值范围。 （12 分） 18．如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD是边长为 4 3 3 的菱形， 60BCD   ， AC 与 BD 交于点O，平面 FBC 平面 ABCD， / /EF AB ， FB FC ， 2 3 3EF  .（1）求证：OE  平面 ABCD；（2）若 FBC 为等边三角 形，点Q为 AE 的中点，求二面角Q BC A  的余弦值.（12 分） 19．某游戏棋盘上标有第 0 、1、2 、 、100站，棋子开始位于第 0 站，选手抛 掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向 前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现 在第n 站的概率为 nP .（12 分） （1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3 次后，求棋子所走站数之和 X 的分布列 与数学期望； （2）证明：   1 1 1 1 982n n n nP P P P n       ； （3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记 选手获胜.请分析这个游戏是否公平.20．在平面直角坐标系 xOy 中，对于直线 : 0l ax by c   和点  1 1 1,P x y 、  2 2 2,P x y ，记   1 1 2 2ax by c ax by c      ，若 0  ，则称点 1P , 2P 被直线 l 分隔，若曲线 C 与直线 l 没有公共点，且曲线 C 上存在点 1P , 2P 被直线 l 分隔， 则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线.（12 分） （1）求证：点 (1,2)A 、 ( 1,0)B  被直线 1 0x y   分隔； （2）若直线 y kx 是曲线 2 24 1x y  的分隔线，求实数 k 的取值范围； （3）动点 M 到点 (0,2)Q 的距离与到 y 轴的距离之积为 1，设点 M 的轨迹为 E， 求 E 的方程，并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线. 21．已知函数 2 21( ) 2 ln ( 0)2f x ax x a x a    （12 分） （1）讨论 ( )f x 的单调性. （2）若 ( )f x 存在两个极值点 1x ， 2x ，证明： 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1f x f x x x x x    . 22．在直角坐标系中，直线l 的参数方程为 1 cos , 1 sin x t y t         （t 为参数，0 π  ）， 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 4 1 sin    ．（10 分） （1）当 π 6a  时，写出直线l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知点  11P  ， ，设直线l 与曲线 C 交于 A，B 两点，试确定 PA PB 的取 值范围． 23．设函数   2f x x x a    ．（10 分） (1)当 1a  时，求不等式   2f x   的解集； (2)当      , 2 2x y R f y f x f y a     时， ，求 的取值范围．