猜想卷数学（文）试题.pdf

文科数学试题　 第 １　　　　 页(共 ４ 页) 绝密★启用前 ２０２０ 年普通高等学校招生全国统一考试(猜想卷) 文科数学 (考试时间:１２０ 分钟ꎻ试卷满分:１５０ 分) 注意事项: １. 答卷前ꎬ考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上ꎮ ２. 回答选择题时ꎬ选出每小题答案后ꎬ用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑ꎮ 如需改动ꎬ用橡皮擦干净 后ꎬ再选涂其他答案标号ꎮ 回答非选择题时ꎬ将答案写在答题卡上ꎮ 写在本试卷上无效ꎮ ３. 考试结束后ꎬ将本试卷和答题卡一并交回ꎮ 第Ⅰ卷(选择题　 共 ６０ 分) 一、选择题:本题共 １２ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ共 ６０ 分. 在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的. １. 设 ｚ ＝ １ ＋ ３ｉ ２ － ｉ (ｉ 为虚数单位)ꎬ则｜ ｚ｜ ＝ (　 　 ) Ａ. １ Ｂ. ２ Ｃ. ２ Ｄ. ３ ２. 已知集合 Ｍ ＝ {ｘ ｜ ｘ２ － ｘ － ２ < ０}ꎬＮ ＝ {ｘ ｜ ｜ ｘ － ２ ｜ < １}ꎬ则 Ｍ∩Ｎ ＝ (　 　 ) Ａ. {ｘ ｜ － １ < ｘ < ２} Ｂ. {ｘ ｜１ < ｘ < ２} Ｃ. {ｘ ｜１ < ｘ < ３} Ｄ. {ｘ ｜ － １ < ｘ < ３} ３. 已知 ａ ＝ (ｔａｎ ２π ５ ) ０. １ ꎬｂ ＝ ｌｏｇ３２ꎬｃ ＝ ｌｏｇ２ (ｃｏｓ ３π ７ )ꎬ则 (　 　 ) Ａ. ａ > ｂ > ｃ Ｂ. ｂ > ａ > ｃ Ｃ. ｃ > ａ > ｂ Ｄ. ａ > ｃ > ｂ 三角锥垛 ４. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角 形的数ꎬ如 １ꎬ３ꎬ６ꎬ１０ꎬ１５ꎬƺ. 我国宋元时期数学家朱世杰在«四元玉鉴» 中所记载的“垛积 术”ꎬ其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛(如图所示ꎬ顶上一层 １ 个球ꎬ下一层 ３ 个球ꎬ再下一层 ６ 个球ꎬƺ). 若一“落一形”三角锥垛有 １０ 层ꎬ则该堆垛总共 球的个数为 (　 　 ) Ａ. ５５ Ｂ. ２２０ Ｃ. ２８５ Ｄ. ３８５ ５. 下列图象中ꎬ可能是函数 ｆ(ｘ) ＝ (ｅ ｘ ＋ ｅ － ｘ )ｓｉｎ ｘ 图象的是 (　 　 ) ６. 用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一ꎬ计数形式有纵式和横式两种ꎬ如图 １ 所示. 金元时期的数学家李 冶在«测圆海镜»中记载:用“天元术”列方程ꎬ就是用算筹来表示方程中各项的系数. 所谓“天元术”ꎬ即是一种 用数学符号列方程的方法ꎬ“立天元一为某某”ꎬ意即“设 ｘ 为某某”. 如图 ２ 所示的天元式表示方程 ａ ０ ｘｎ ＋ ａ １ ｘｎ － １ ＋ ƺ ＋ ａｎ － １ ｘ ＋ ａｎ ＝ ０ꎬ其中 ａ ０ ꎬａ １ ꎬƺꎬａｎ － １ ꎬａｎ 表示方程各项的系数ꎬ均为筹算数码ꎬ在常数项旁边记一 “太”字或在一次项旁边记一“元”字ꎬ“太”或“元”向上每层减少一次幂ꎬ向下每层增加一次幂.文科数学试题　 第 ２　　　　 页(共 ４ 页) 试根据上述数学史料ꎬ判断图 ３ 所示的天元式表示的方程是 (　 　 ) Ａ. ｘ２ ＋ ２８６ｘ ＋ １ ７４３ ＝ ０ Ｂ. ｘ４ ＋ ２７ｘ２ ＋ ８４ｘ ＋ １６３ ＝ ０ Ｃ. １ ７４３ｘ２ ＋ ２８６ｘ ＋ １ ＝ ０ Ｄ. １６３ｘ４ ＋ ８４ｘ３ ＋ ２７ｘ ＋ １ ＝ ０ ７. 执行如图所示的程序框图ꎬ输出 Ｓ 的结果是 (　 　 ) Ａ. － ５０ Ｂ. － ６０ Ｃ. － ７２ Ｄ. ６０ ８. 设 ｘꎬｙ 满足约束条件 ｘ － ｙ ＋ １≥０ꎬ ｘ ＋ ２ｙ － ２≥０ꎬ ｘ≤３ꎬ ì î í ïï ïï 则 ｙ ｘ ＋ ２ 的最大值是 (　 　 ) Ａ. － １ １０ Ｂ. １ ２ Ｃ. ４ ５ Ｄ. ５ ４ ９. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｃｏｓ(ωｘ ＋ φ) ( ω > ０ꎬ ｜ φ ｜ < π ２ ) 的周期为 πꎬ其图象关于点 ( π １２ꎬ０ ) 对 称ꎬ有下述四个结论: ①函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在 [ π １２ꎬ π ６ ]上单调递减ꎻ ②函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的图象关于直线 ｘ ＝ ５π １２ 对称ꎻ ③函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的一个零点是 － π １２ꎻ ④函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的图象可由 ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ 的图象向左平移５π １２ 个单位长度得到. 其中所有正确结论的编号是 (　 　 ) Ａ. ①③④ Ｂ. ②③ Ｃ. ②④ Ｄ. ①④ １０. 已知双曲线 Ｃ: ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的左、右焦点分别为 Ｆ １ ꎬＦ ２ ꎬ过 Ｆ ２ 的直线与双曲线 Ｃ 的右支交于 ＭꎬＮ 两点. 若｜ Ｆ １ Ｍ｜ ＝ ｜ Ｆ １ Ｆ ２ ｜ ꎬ２ Ｆ ２ Ｍ→ ＋ Ｆ ２ Ｎ→ ＝ ０ꎬ则双曲线 Ｃ 的渐近线方程为 (　 　 ) Ａ. ｙ ＝ ± ２ｘ Ｂ. ｙ ＝ ± １ ２ ｘ Ｃ. ｙ ＝ ± ４ ３ ｘ Ｄ. ｙ ＝ ± ３ ４ ｘ １１. 中国古代数学家刘徽在«九章算术注»中记述:羡除ꎬ隧道也ꎬ其所穿地ꎬ上平下邪. 如图所 示的五面体 ＡＢＣＤＥＦ 是一个羡除ꎬ两个梯形侧面 ＡＢＣＤ 与 ＣＤＥＦ 相互垂直ꎬＡＢ∥ＣＤ∥ ＥＦ. 若 ＡＢ ＝ １ꎬＥＦ ＝ ２ꎬＣＤ ＝ ３ꎬ梯形ＡＢＣＤ与 ＣＤＥＦ 的高分别为 ３ 和 １ꎬ则该羡除的体积 Ｖ ＝ (　 　 ) Ａ. ３ Ｂ. ４ Ｃ. ５ Ｄ. ６ １２. 设定义在 Ｒ 上的函数 ｆ(ｘ)满足 ｆ(ｘ) ＝ ２ｆ(ｘ ＋ １)ꎬ且当 ｘ∈[ － １ꎬ０)时ꎬｆ(ｘ) ＝ － ｘ(ｘ ＋ １). 若对任意 ｘ∈[λꎬ ＋ ¥ )ꎬ不等式 ｆ(ｘ)≤ ３ ４ 恒成立ꎬ则实数 λ 的最小值是 (　 　 ) Ａ. － １７ ８ Ｂ. － ９ ４ Ｃ. － １１ ４ Ｄ. － ２３ ８文科数学试题　 第 ３　　　　 页(共 ４ 页) 第Ⅱ卷(非选择题　 共 ９０ 分) 二、填空题:本题共 ４ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ共 ２０ 分. １３. 已知 ａꎬｂ 为正实数ꎬ且满足 ４ａ ＋ １ｂ ＝ １ꎬ则 ｂ ａ ＋ ｂ的最小值为 . １４. 已知 ａ ＝ (ｃｏｓ θꎬ０)ꎬｂ ＝ (ｓｉｎ θꎬ１)ꎬ其中 π ６ < θ < ５π １２ ꎬ则 ３ ２ ａ － １ ２ ｂ 的取值范围是 . １５. 已知△ＡＢＣ 的三个内角 ＡꎬＢꎬＣ 所对的边分别为 ａꎬｂꎬｃꎬ其面积为 Ｓ. 若满足关系式 ａ２ ＋ ｂ２ － ｃ２ ＝ ４ ２Ｓꎬ则 ｔａｎ ( π ４ － Ｃ ) ＝ . １６. 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ(ｘ －１)(ｘ － ２)ƺ(ｘ － ｎ ＋ １) ＝ ａ １ ｘ ＋ ａ ２ ｘ２ ＋ ƺ ＋ ａｎ ｘｎ ꎬｇ(ｘ) ＝ ｆ(ｘ)(ｘ － ｎ) ＝ ｂ １ ｘ ＋ ｂ ２ ｘ２ ＋ ƺ ＋ ｂｎ ＋ １ ｘｎ ＋ １ ꎬ其中 ｎ∈Ｎ∗ ꎬａｉ ∈Ｒ(ｉ ＝１ꎬ２ꎬƺꎬｎ)ꎬｂｉ ∈Ｒ(ｉ ＝１ꎬ２ꎬƺꎬｎ ＋１)ꎬ则 ａ １ ａｎ ＝ ꎬｂ １ ＋ ｎｂ ２ ＋ ｎ２ ｂ ３ ＋ ƺ ＋ ｎｎ － １ ｂｎ ＝ . 三、解答题:共 ７０ 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 １７ ~ ２１ 题为必考题ꎬ每个试题考生都必须 作答. 第 ２２、２３ 题为选考题ꎬ考生根据要求作答. (一)必考题:共 ６０ 分. １７. (１２ 分)据历年大学生就业统计资料显示:某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、金融、商贸、公 司和自主创业等六大行业. ２０２０ 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程等三个本科专 业ꎬ毕业生人数分别是 ７０ 人ꎬ１４０ 人和 ２１０ 人. 现采用分层抽样的方法ꎬ从该学院毕业生中抽取 １８ 人调查学 生的就业意向. (Ⅰ)应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人? (Ⅱ)国家鼓励大学生自主创业ꎬ在抽取的 １８ 人中ꎬ含有“自主创业”就业意向的有 ６ 人ꎬ且就业意向至少有 三个行业的学生有 ７ 人. 为方便统计ꎬ将至少有三个行业就业意向的这 ７ 名学生分别记为 ＡꎬＢꎬＣꎬＤꎬＥꎬ ＦꎬＧꎬ统计如下表: 　 　 　 　 学生 就业意向　 　 　 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ 公务员 × ○ × ○ ○ × × 教师 × ○ × ○ ○ ○ ○ 金融 × × ○ ○ ○ × × 商贸 ○ ○ ○ × ○ ○ ○ 公司 ○ ○ × ○ ○ × ○ 自主创业 ○ × ○ × × ○ ○ 其中“○”表示有该行业就业意向ꎬ“ × ”表示无该行业就业意向. (１)试估计该学院 ２０２０ 届毕业生中有自主创业意向的学生人数ꎻ (２)现从 ＡꎬＢꎬＣꎬＤꎬＥꎬＦꎬＧ 这 ７ 人中随机抽取 ２ 人接受采访. 设 Ｍ 为事件“抽取的 ２ 人中至少有一人有自主 创业意向”ꎬ求事件 Ｍ 发生的概率.文科数学试题　 第 ４　　　　 页(共 ４ 页) １８. (１２ 分)已知数列{ａｎ }的前 ｎ 项和为 Ｓｎ ꎬ满足 ２ａｎ － Ｓｎ ＝ ２(ｎ∈Ｎ∗ ). 记 ｂｎ ＝ ｌｏｇ２ ａｎ . (Ⅰ)求数列{ａｎ }的通项公式ꎻ (Ⅱ)设数列{ｃｎ }满足 ｃｎ ＝ ０ꎬｎ 为奇数ꎬ ａ ｎ ２ ꎬｎ 为偶数.{ 求 ｂ １ ｃ １ ＋ ｂ ２ ｃ ２ ＋ ƺ ＋ ｂｎ ｃｎ . １９. (１２ 分)已知 ＤꎬＥ 分别是△ＡＢＣ 的边 ＡＢꎬＡＣ 上的一点ꎬＤＥ∥ＢＣ. 将△ＡＤＥ 沿 ＤＥ 折起为 △Ａ １ ＤＥꎬ使 Ａ 点位于 Ａ １ 点的位置ꎬ连接 Ａ １ ＡꎬＡ １ ＢꎬＡ １ Ｃ. (Ⅰ)若 ＤꎬＥ 分别是 ＡＢꎬＡＣ 的中点ꎬ平面 Ａ １ ＢＣ 与平面 Ａ １ ＤＥ 的交线为 ｌꎬ证明:ｌ⊥ＡＡ １ ꎻ (Ⅱ)若平面 Ａ １ ＢＣ⊥平面 ＡＢＣꎬ△ＡＤＥ 与△ＡＢＣ 的面积分别为 ４ 和 ９ꎬＢＣ ＝ ３ꎬ求三棱锥 Ａ １ ￣ＡＢＣ 的体积. ２０. (１２ 分)已知双曲线 Ｃ: ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １(ａ > ０ꎬｂ > ０)的右焦点为 Ｆꎬ半焦距 ｃ ＝ ２ꎬ点 Ｆ 到右准线 ｘ ＝ ａ２ ｃ 的距离为 １ ２ ꎬ 过点 Ｆ 作双曲线 Ｃ 的两条互相垂直的弦 ＡＢꎬＣＤꎬ设 ＡＢꎬＣＤ 的中点分别为 ＭꎬＮ. (Ⅰ)求双曲线 Ｃ 的标准方程ꎻ (Ⅱ)证明:直线 ＭＮ 必过定点ꎬ并求出此定点坐标. ２１. (１２ 分)已知函数 ｆ(ｘ) ＝ (ｌｎ ｘ) ２ ＋ ａ (ｘ － １) ２ － １ꎬ其中 ０ < ａ≤１. (Ⅰ)判断函数 ｆ(ｘ)的单调性ꎻ (Ⅱ)设 ｘ １ ꎬｘ ２ 是 ｆ(ｘ)的两个零点ꎬ求证:ｘ １ ＋ ｘ ２ > ２. (二)选考题:共 １０ 分. 请考生在第 ２２、２３ 题中任选一题作答. 如果多做ꎬ则按所做的第一题计分. ２２. [选修 ４ － ４:坐标系与参数方程](１０ 分) 已知在平面直角坐标系 ｘＯｙ 中ꎬ 曲线 Ｃ 的参数方程为 ｘ ＝ ２ｃｏｓ θꎬ ｙ ＝ ３ｓｉｎ θ{ ( θ 为参数)ꎬ 直线 ｌ 的参数方程为 ｘ ＝ ｍ － ２ｔꎬ ｙ ＝ １ ＋ ｔ{ (ｔ 为参数). (Ⅰ)若 ｍ ＝ １ꎬ求曲线 Ｃ 与直线 ｌ 的两个交点之间的距离ꎻ (Ⅱ)若曲线 Ｃ 上的点到直线 ｌ 距离的最大值为 ２ ５ꎬ求 ｍ 的值. ２３. [选修 ４ － ５:不等式选讲](１０ 分) 已知函数 ｆ(ｘ) ＝ ｜ ｘ ＋ ｔ｜ ＋ ｜ ｘ － １ ｜ － ２ꎬｔ∈Ｒ. (Ⅰ)当 ｔ ＝ １ 时ꎬ解不等式 ｆ(ｘ)≥２ꎻ (Ⅱ)若不等式 ｆ(ｘ) － ｔ － ２≥０ 恒成立ꎬ求实数 ｔ 的取值范围.