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2020 届高三年级寒假考试理科数学试题（四）
命题人 ：杨青林 2020 年 2 月 7 日
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上
无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第（Ⅰ）卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1.已知集合 20|M x x x ， 2, 1,0,1,2N ，则 MN （ ）
A. 0,1 B. {}2, 1- C. 1 D. 0,1,2
2.已知复数 z 在复平面中对应
的
点 ,xy满足 2 211xy ，则 1z （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
3.“纹样”是中国艺术宝 库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹
纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该
正方 形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部
分的面积是（ ）
A. 5
16 B. 5
18
C.10 D. 5
32
4.已知正项等比数列 na 中， 35 4aa ，且 4 6 7, 1,a a a 成等差数列，则该数列公比q 为（ ）
A. 1
4
B. 1
2
C. D. 4
5.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大
于 的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于 的整数除了 和自身外无其他正因数，则称
这个整数为素数)，如 40 3 37 .在不超过 40 的素数，随机选取 个不同的数，这两个数的和等于
的概率是（ ）
A. 1
26 B. 1
22 C. 1
17 D. 1
15
6.圆 22 2 4 1 0x y x y 关于直线 3 0 0, 0ax by a b 对称，则 12
ab 的最小值是
（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
7.函数
2
3xxe e cos x
fx x
（ e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．2 B．1 C． D．
9.已知点 12,FF分别是双曲线
22
22: 1 0, 0xyC a bab 的左，右焦点，O 为坐
标原点，点 P 在双曲线C 的右支上，且满足 1 2 2 1 2 , 4F F OP tan PF F ，则
双曲线 的离心率为（ ）
A. 5 B. 5 C. 17
3
D. 17
9
10.设 fx是定义在 R 上的函数，满足条件 11f x f x ，且当 1x 时， 3xf x e，
则 2 7a f log ， 2
1.533 , 3b f c f
的大小关系是（ ）
A. abc B. a c b C. bac D. c b a
11.已知三棱锥 ABCP 内接于球O， PA 平面ABC， ABC 为等边三角形，且边长为 3 ，球O
的表面积为 16 ，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为（ ）
A. 7
15 B. 5
15
C. 2
15 D. 10
15
12.已知正项数列 的前 n 项和为 1,1nSa ，且
26 3 2n n nS a a .若对于任意实数 2,2a .
不等式
2*1 ()211
na t at n Nn
恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A . (), 2 2, - B. , 2 1,( ] [ ) --
C. , 1 2[),(] - D. 22 ,
第（Ⅱ）卷
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.平面向量 a 与b 的夹角为60 ，且 3,0a ， 1b ，则 2ab __________．
14.若实数 ,xy满足约束条件
,
4,
3,
yx
xy
y
，则 2z x y的最小值是__________．
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15.已知焦点在 x 轴的椭圆
22
2:13
xyC b ( 0)b 的左、右焦点分别为 12,FF，直线 AB 过右焦点
2F ，和椭圆交于 ,AB两点，且满足 223AF F B ， 0
1 60F AB，则椭圆C 的标准方程
为 .
16.已知函数 12,f lnx ax ax gx x ，且 0f x g x 在定义域内恒成立，则实数 a 的
取值范围为__________．
三、解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17〜21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第 22, 23 题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共 60 分．
17. （本小题满分 12 分）已知{an}，{bn}均为正项数列，其前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 a1= ，
b1=1，b2=2，当 n≥2，n∈N*时，Sn-1=1-2an，bn= -2Tn-1．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设 cn= ，求数列{cn}的前 n 项和 Pn．
18. （本小题满分 12 分）如图，已知四边形 ABCD 为等腰梯形， BDEF 为
正方形，平面 BDEF 平面 ， / / , 1AD BC AD AB，
60ABC .
(1)求证:平面CDE 平面 ；
(2)点 M 为线段 EF 上一动点，求 BD 与平面 BCM 所成角正弦值的取值范围.
19．（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 (2,1)M 在抛物线C ： 2x ay 上，
直线l ： ( 0)y kx b b 与抛物线C 交于 A ， B 两点，且直线OA，OB
的斜率之和为 1 .
（1）求 a 和 k 的值；
（2）若 1b ，设直线l 与 y 轴交于 D 点，延长 MD 与抛物线 交于点 N ，
抛物线 在点 处的切线为 n ，记直线 ， 与 x 轴围成的三角形面积为
S ，求 S 的最小值.
20. （本小题满分 12 分）设函数 32112 32
xf x e x kx kx .
(1)若 1k ，求 fx的单调区间；
(2)若 存在三个极值点 1 2 3,,x x x ，且 1 2 3x x x，求 k 的取值范围，并证明: 1 3 22x x x+ .
21. （本小题满分 12 分）“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值
追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问
题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高
分优先录取的原则)录用300 名，其中 275 个高薪职位和 25 个普薪职位.实际报名人数为 2000 名，
考试满分为 400 分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成
绩的部分统计结果如下:
考试平均成绩是180 分，360 分及其以上的高分考生30 名.
(1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)
(2)考生甲的成绩为 286 分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.
参考资料:(1)当 2~ ( , )XN 时，令 XY
，则 ~ 0,1YN .
(2)当 时， 2.17()0.985PY， 1.28 0.900, 1.() 09()0.863P Y P Y ，
1.04()0.85PY.
(二)选考题（共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分）
22.在极坐标系中，已知圆的圆心 6, 3C
，半径 3r ，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系
原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系.
（1）求圆 的参数方程；
（2）若 P 点在线段OQ 上，且 : 2 :3OP PQ ，求动点 轨迹的极坐标方程.
23. 已知 x，y，z 均为正数．
（1）若 xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若 = ，求 2xy⋅2yz⋅2xz 的最小值．
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