2020年新高考数学全真模拟试卷1（解析版）.pdf

2020 年新高考数学全真模拟卷 1 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．DABDB CAB (DB AC ABC ACD) 1．已知集合 { | ln 1}A x x  ， { | 1 2}B x x    ，则 A B  （ ） A． (0, )e B． ( 1,2) C． ( 1, )e D． (0,2) 【答案】D 【解析】因为 { | ln 1}A x x  { | 0 }x x e   ，所以 { | 0 2}A B x x    . 故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题. 2．已知复数 2 3 z i   ，则| |z  （ ） A．1 B．2 C． 3 D． 2 【答案】A 【解析】因为 2 2( 3 ) 3 3 1 2 2 23 ( 3 )( 3 ) i iz i i i i          ， 所以 2 23 1| | 12 2z              . 故选： A . 【点睛】本题考查复数代数形式的计算以及复数的模，属于基础题. 3．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示,则（ ） A．甲得分的平均数比乙的大 B．乙的成绩更稳定 C．甲得分的中位数比乙的大 D．甲的成绩更稳定 【答案】B 【解析】甲、乙得分的平均数均为 13，中位数均为 13， 甲得分的方差明显比乙大. 故选:B 【点睛】本题考查数据的处理以及数据的分析，属于基础题. 4．函数 ln | | cos( ) sin x xf x x x   在[ ,0) (0, ]   的图像大致为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ln | | cos( ) ( )sin x xf x f xx x      ，所以 ( )f x 为奇函数，关于原点对称，故排除 A ， 又因为 ( )1 0f   ， ( ) 02f   ， ( ) 03f   ， ( ) 0f   ，故排除 B 、C , 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题. 5．若向量 sin , 32 xm       ， 2cos ,cos2 2 x xn       ，函数  f x m n   ，则  f x 的图象的一条对 称轴方程是（ ） A． 3x  B． 6x  C． 3x   D． 2x  【答案】B 【解析】   2sin cos 3 cos2 2 2 x x xf x m n     1 3 3 3sin cos sin( )2 2 2 3 2x x x       ，  f x 一条对称轴为 6x  . 故选:B 【点睛】本题考查三角恒等变换，涉及到二倍角公式、降幂公式，考查三角函数的对称性，属于基 础题. 6．设数列 na 前 n 项和为 nS ，已知 3 n nS a n ，则 3 a （ ） A． 9 8 B． 15 8 C． 19 8 D． 27 8 【答案】C【解析】当 2n  时，  1 13 3 ( 1)n n n n na S S a n a n        ， 整理得 12 3 1n na a   ， 又 1 1 13 1S a a   ，得 1 1a 2  ， 2 1 32 3 1 12a a     ，得 2 5 4a  ， 3 2 152 3 1 14a a     ，得 3 19 8a  ， 故选：C. 【点睛】本题考查数列递推式的应用，是基础题. 7．斜率为 3 3 的直线 l 过抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点 F ，若 l 与圆 2 2:( 2) 4M x y   相 切，则 p  （ ） A．12 B．8 C．10 D．6 【答案】A 【解析】因为直线的斜率为 3 3 ， 所以倾斜角为 30°，即 30MFA   结合题意作图，由图可得| | 2 | | 4MF AM  ， 2 2 42 p r    ，解得 12p  . 故选： A 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用，以及抛物线的标准方程，属于基础题.8．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，侧棱 PA ， PB ， PC 两两垂直，且 2PA PB PC   ，若以 P 为球心且 1 为半径的球与三棱锥 P ABC 公共部分的体积为 1V ，球O 的体积为 2V ，则 1 2 V V 的值为（ ） A． 3 36 B． 3 72 C． 1 64 D． 3 24 【答案】B 【解析】由题意易得： 3 1 1 4 18 3V      ， 将三棱锥 P ABC 补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为： 2 2 22 2 3R PA PB PC    ， 从而 3R  ，  3 2 4 33V   ， 所以   1 3 2 1 3 728 3 V V   ， 故选：B. 【点睛】三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为 , ,a b c ，则其外接球半径公式为: 2 2 2 24R a b c   . 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．下列结论正确的是（ ） A． x R  ， 1 2x x   B．若 0a b  ，则 3 31 1 a b           C．若  2 0x x   ，则  2log 0,1x D．若 0a  ， 0b  ， 1a b  ，则 10 4ab  【答案】BD 【解析】当 0x  时， 1x x  为负数，所以 A 不正确； 若 0a b  ，则 1 1 0b a   ，考虑函数 3( )f x x 在 R 上单调递增，所以 1 1( ) ( )f fa b  ，即 3 31 1( ) ( )a b  ，所以 B 正确； 若  2 0x x   ，则 0 2x  ， 2log ( ,1)x  ，所以 C 不正确； 若 0a  ， 0b  ， 1a b  ，根据基本不等式有 2 1,0 ( )2 2 4 a b a bab ab     所以 D 正确. 故选：BD 【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个 选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项. 10．已知等比数列 na 中，满足 1 1, 2a q  ，则（ ） A．数列 2na 是等比数列 B．数列 1 na       是递增数列 C．数列 2log na 是等差数列 D．数列 na 中， 10 20 30, ,S S S 仍成等比数列 【答案】AC 【解析】等比数列 na 中， 1 1, 2a q  ，所以 12n na -= ， 2 1n nS   ． 于是 1 2 4n na  ， 11 1 2 n na      ， 2log 1na n  ，故数列 2na 是等比数列， 数列 1 na       是递减数列，数列 2log na 是等差数列． 因为 10 20 30 10 20 302 1, 2 1, 2 1,S S S      20 30 10 20 S S S S  ，所以 10 20 30, ,S S S 不成等比数列． 故选：AC． 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类 型，属于基础题． 11．设  f x 为函数  f x 的导函数，已知    2 lnx f x xf x x   ，   11 2f  ，则下列结论不正 确的是（ ） A．  xf x 在 0,  单调递增 B．  xf x 在 0,  单调递减 C．  xf x 在  0,  上有极大值 1 2 D．  xf x 在  0,  上有极小值 1 2 【答案】ABC【解析】由 x2f′（x）+xf（x）＝lnx 得 x＞0， 则 xf′（x）+f（x） lnx x  ， 即[xf（x）]′ lnx x  ， 设 g（x）＝xf（x）， 即 g′（x） lnx x  ＞0 得 x＞1，由 g′（x）＜0 得 0＜x＜1， 即  xf x 在 1, 单调递增，在  0,1 单调递减， 即当 x＝1 时，函数 g（x）＝xf（x）取得极小值 g（1）＝f（1） 1 2  ， 故选：ABC． 【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关 系是解决本题的关键． 12．已知点 F 是抛物线  2 2 0y px p  的焦点，AB,CD 是经过点 F 的弦且 AB⊥CD，AB 的斜率为 k，且 k>0，C,A 两点在 x 轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ） A． 23 4   OC OD p uuur uuur B．四边形 ACBD 面积最小值为 216 p C． 1 1 1 2AB CD p   D．若 24AF BF p  ，则直线 CD 的斜率为 3 【答案】ACD 【解析】设 AB 的倾斜角为 ，则有 2 2 2 2 2 2| AB | ,| CD |sin cossin 2 p p p         ，所以 1 1 1 2AB CD p   ，C 正确； | | , | |1 cos 1 cos p pAF BF    ，若 24AF BF p  ，则 1sin 2   ， 3tan 3   ， 直线 CD 的斜率为 3 ，D 正确； 2 2 2 2 2 2 1 2 8 82 sin cos sin 2ABCD pB D pS pA C      … ，所以 B 不正确；设    1 1 2 2, , ,C x y D x y ，由抛物线过焦点弦的性质可知， 2 2 1 2 1 2,4 px x y y p   ， 2 1 2 1 2 3 4OC OD x x y y p      ，所以 A 正确． 故选：ACD． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标 方程的应用，考查学生的数学运算能力，属于较难题． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．设向量  3,0a   ，  2,6b   ，则b  在 a  上的投影为__________. 【答案】2 【解析】向量 a  （﹣3，0），b  （﹣2，6）， 向量 b 在向量 a 上的投影为|b |cos   3 2 0 6 9 a ba b a        ＜ ， ＞ 2 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了向量的投影，解题的关键是看清是哪一个向量在哪一个向量上的投影，属 于中档题． 14．  5( 1) 1 2x x  的展开式中 4x 的系数为_________. 【答案】160 【解析】  5( 1) 1 2x x  的展开式中 4x 的系数为 3 3 4 4 5 52 2 160C C    【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题. 15．函数   cos2 2sinx xf x   的最小值为______. 【答案】 3 【解析】   2cos2 2sin 1 2sin 2sinx x xf x x    Q所以令 sint x ，则   2 21 32 2 1 2( ) , [ 1,1]2 2y t t t tf x            因此当 1t   时，  f x 取最小值 3 ， 故答案为： 3 【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 16．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中 首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有 2 个货 物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记第 n 层货物的个数为 na ，则数 列{ }na 的通项公式 na  _______，数列 ( 2) n n n a      的前 n 项和 nS  _______. 【答案】 ( 3) 2 n n  2 3 9 n n  【解析】由题意可知 1 2a  ， 2 1 3a a  ， 3 2 4a a  ， ， 1 1n na a n   ，累加可得   ( 3)2 3 4 1 2n n na n        ， 2 1 12( )( 2) ( 2)( 3) 2 3n n n a n n n n         ， 1 1 1 1 1 1 1 1 22( ) 2( ) 2( ) 2( )3 4 4 5 2 3 3 3 3 9n nS n n n n               . 故答案为： ( 3) 2 n n  ； 2 3 9 n n  . 【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题. 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 10 分）已知 xR ，设 (2cos ,sin cos )m x x x  ， ( 3sin ,sin cos )n x x x  ， 记函数 ( )f x m n   ． （1）求函数 ( )f x 取最小值时 x 的取值集合； （2）设 ABC 的角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ， c ，若 ( ) 2f C  ， 3c  ，求 ABC 的 面积 S 的最大值． 【答案】（1） ,6x x k k       Z ；（2） 3 3 4 ． 【解析】（1） 2 2( ) 2 3 sin cos sin cos 3 sin 2 cos2f x m n x x x x x x       2sin 2 6x      ． （3 分） 当 ( )f x 取最小值时，sin 2 16x       ， 2 26 2x k     ， k Z ， 所以，所求 x 的取值集合是 ,6x x k k       Z ． （4 分） （2）由 ( ) 2f C  ，得sin 2 16C      ， 因为 0 C   ，所以 1126 6 6C      ， 所以 2 6 2C    ， 3C  ． （6 分） 在△ ABC 中，由余弦定理 2 2 2 2 cosc a b ab C   ， 得 2 23 a b ab ab    ，即 3ab  ， （8 分） 所以△ ABC 的面积 1 1 3 3 3sin 32 2 2 4S ab C     ， 因此△ ABC 的面积 S 的最大值为 3 3 4 ．（10 分） 【点睛】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等 式，三角形的面积公式，属于中档题． 18．（本小题满分 12 分）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能 源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 销量（万台） 8 10 13 25 24 某机构调查了该地区 30 位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 6 24 女性车主 2总计 30 （1）求新能源乘用车的销量 y 关于年份 x 的线性相关系数 r ，并判断 y 与 x 是否线性相关； （2）请将上述 2 2 列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用 车与性别有关； 参考公式： 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) ( ) n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            ， 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 635 25 ，若 0.9r  ，则可判断 y 与 x 线性相关. 附表： 2 0( )P K k 0．10 0.05 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1） 0.94r  ， y 与 x 线性相关（2）填表见解析，有 90%的把握认为购车车主是否购置新 能源乘用车与性别有关 【解析】（1）依题意， 2014 2015 2016 2017 2018 20165x      ， 8 10 13 25 24 165y      （2 分） 故 5 1 ( )( ) ( 2) ( 8) ( 1) ( 6) 1 9 2 8 47i i i x x y y                 5 2 1 ( ) 4 1 1 4 10i i x x        ， 5 2 1 ( ) 64 36 9 81 64 254i i y y         ， 则 5 1 5 5 2 2 1 1 ( )( ) 47 47 0.94 0.9 10 254 2 635 ( ) ( ) i i i i i i i x x y y r x x y y                 （7 分） 故 y 与 x 线性相关. （2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 18 6 24 女性车主 2 4 6 总计 20 10 30 2 2 30 (18 4 2 6) 15 3.75 2.70620 10 24 6 4K          （11 分） 故有 90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.（12 分） 【点睛】本题考查利用相关系数判断两个变量的相关程度，以及独立性检验，考查计算能力，属于 基础题. 19．（本小题满分 12 分）如图，在直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 为梯形，AB CD∥ ， 60BAD   ， 1CD  ， 2AD  ， 4AB  ，点G 在线段 AB 上， 3AG GB ， 1 1AA  . （1）证明： 1D G∥平面 1 1BBC C . （2）求二面角 1 1A D G A  的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 5 31 31 【解析】（1）证明：连接 1C B ，因为底面 ABCD 为梯形，AB CD∥ ， 4 4AB CD  ， 3AG GB ，则 1 1GB CD D C  ，且 1 1 1GB D C  ， 所以四边形 1 1GBC D 为平行四边形，则 1 1D G C B .（4 分） 又 1C B  平面 1 1BBC C ， 1D G  平面 1 1BBC C ，所以 1D G∥平面 1 1BBC C .（5 分） （2）作 DH AB 于 H ，以 D 点为坐标原点，分别以 DH ， DC ， 1DD 所 在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz ，则  1 0,0,1D ，  1 3, 1,1A  ，  3, 1,0A  ，  1 0,0,1D ，  3,2,0G ， 所以  1 1 3, 1,0D A   ，  1 3,2, 1D G   ，  0,3,0AG  .（7 分） 设平面 1 1A D G 的法向量为  1 1 1, ,m x y z ， 则 1 1 1 1 1 1 1 1 3 0, 3 2 0, D A m x y D G m x y z               令 1 1x  ，得  1, 3,3 3m  . 设平面 1AD G 的法向量为  2 2 2, ,n x y z ，（9 分） 则 2 1 2 2 2 3 0, 3 2 0, AG n y D G n x y z              令 2 1x  ，得  1,0, 3n  .（11 分） 所以 1 9 5 31cos , 314 31 m n      因为二面角 1 1A D G A  为锐角，所以其余弦值为 5 31 31 .（12 分） 【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 20．（本小题满分 12 分）如图，已知曲线 1 2C : ( 0)1 xy xx   及曲线 2 1C : ( 0)3y xx   ， 1C 上 的点 1P 的横坐标为 1 1 1(0 )2a a  ．从 1C 上的点 *( N )nP n 作直线平行于 x 轴，交曲线 2C 于 nQ 点，再从 2C 上的点 *( N )nQ n 作直线平行于 y 轴，交曲线 1C 于 1nP  点，点 ( 1,2,3 )nP n   的横坐标 构成数列{ }na ． （1）求曲线 1C 和曲线 2C 的交点坐标； （2）试求 1na  与 na 之间的关系； （3）证明： 2 1 2 1 2n na a   ． 【答案】(1) 1 2,2 3      ；(2) 1 1 6 n n n aa a  ； (3)见证明. 【解析】（1） 2 1( 0)1 2 21 ( 0) 33 xy x xx yy xx               ，即曲线 1C 和曲线 2C 的交点坐标是 1 2,2 3      ；（2 分） (2) 设 ( , )nn n PP a y ， ( , )n nn Q QQ x y ，由已知 2 1n n P n ay a   ， 又 n nQ Py y ，又 1 1 11 1 23 63 1 n n n n Q P n nQ n n ax x aay a a          ， 1 1 6 n n n aa a  ； （6 分） (3) 因为 0na  ，由 1 1 6 n n n aa a  ， 1 12( )1 2 2 6 n n n a a a     ， 可得 1 1 2na   与 1 2na  异号， 1 10 2a  ， 1 1 02a   ， 2 1 1 02na    ， 2 1 02na   ，即 2 1 2 1 2n na a   .（12 分） 【点睛】本题主要考查数列递推式的证明，考查数列与不等式的综合问题，考查逻辑思维能力，属 于常考题.21．（本小题满分 12 分）设函数    ln (f x a x x a   为常数) . (1)当 1a  时，求曲线  y f x 在 1x  处的切线方程: (2)若函数     xeg x f x x   在 0,1 内存在唯一极值点 0 x x ，求实数 a 的取值范围，并判断 0 x x ， 是  f x 在 0,1 内的极大值点还是极小值点. 【答案】(1) 1y   (2) ( , )a e  ， 0x x 为函数  g x 的极小值点 【解析】 (1)当 1a  时，  f x x lnx   ，    1  1 0f x xx      所求切线的斜率  1 0f   ，又 (1) 1f   . 所以曲线  y f x 在 1x  处的切线方程为 1y   .（3 分） (2)        2 2 11 1' 1 xx x e axe xg x ax x x           又  0,1x ，则要使得  f x 在 0,1 内存在唯一极值点， 则      2 1 ' 0 xx e ax g x x     在 0,1 存在唯一零点， 即方程 0xe ax  在 0,1 内存在唯一解， xe ax  ， xea x   ，即 ex y x  与 y a 在 0,1 范围内有唯一交点.（5 分） 设函数    , 0,1 xeh x xx   ， 则      2 1' 0, xx eh x h xx    在 0,1 单调递减， 又    1h x h e  ；当 0x  时，  g x   ，  ,a e   时与 y a 在 0,1 范围内有唯一交点，设为 0x （7 分） 当  00,x x 时，   , 0 x xeh x a e axx     ，则      2 1 ' 0 xx e ax g x x     ，  g x 在 00, x 为减函数: 当  0,1x x 时， 0xe ax  ， 则      2 1 ' 0 xx e ax g x x     ，  g x 在 0,1x 为增函数. 即 0x x 为函数  g x 的极小值点. 综上所述: ( , )a e  ，且 0x x 为函数  g x 的极小值点（12 分） 【点睛】本题考查导数的切线方程，考查利用导数研究函数的极值、零点、单调性以及图像变化趋 势，属于难题. 22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的半焦距为 c ，圆 2 2 2:O x y c  与 椭圆C 有且仅有两个公共点，直线 2y  与椭圆C 只有一个公共点. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知动直线l 过椭圆 C 的左焦点 F ，且与椭圆C 分别交于 ,P Q 两点，点 R 的坐标为 5( ,0)2  ， 证明： RP RQ    为定值. 【答案】（1） 2 2 18 4 x y  （2）证明见解析 【解析】（1）依题意，得 2c b  ， 则 2 2 2 4 4 8a b c     ， 故椭圆的标准方程为 2 2 18 4 x y  .（3 分） （2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 2x   ，代入 2 2 18 4 x y  ，得 2 2 x y     . 不妨设 ( 2, 2)P  ， ( 2, 2)Q   ，若 5( ,0)2R  ，则 1( , 2)2RP  ， 1( , 2)2RQ   ， 7 4RP RQ     .（5 分） ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 ( 2)y k x  ，代入椭圆C 的方程，可得 2 2 2 2(2 1) 8 8 8 0k x k x k     ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ，则 2 1 2 2 8 2 1 kx x k    ， 2 1 2 2 8 8 2 1 kx x k   ，（7 分） 因为 1 1 5( , )2RP x y  ， 2 2 5( , )2RQ x y  ， 所以 1 2 1 2 5 5( )( )2 2RP RQ x x y y      2 1 2 1 2 1 2 5 5( )( ) [ 2( ) 4]2 2x x k x x x x       2 2 2 2 2 2 2 58 (2 )8 8 252( 1) 42 1 2 1 4 k kkk kk k       2 2 7 7 72 4 2 1 4 k k      综上所述， RP RQ    为定值 7 4  .（12 分） 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，向量的数量积的坐标表示，属于中档题.