2020年新高考数学全真模拟试卷2（解析版）.pdf

2020 年新高考数学全真模拟卷 02 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1.设集合  | 1A x x  ，   | 3 0B x x x   ，则 A B  （ ） A.  1,0 B.  0,1 C.  1,3 D.  1,3 【答案】C 【解析】由题意得：  1,1A   ，  0,3B  ， ∴  1,3A B   故选：C 2.若复数 1 1 iz ai   为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 1 2  D. -1 【答案】D 【解析】设 bi b R b 0z   ， 且 1 bi1 i ai   ，得到：1 abi   +  bi ∴1 ab  ，且1 b 解得： a 1  故选：D 3. 6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同 的摆放方法有（ ）种 A. 24 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】A 【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有 2 2A 种排法； 第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有 2 3 2 3A A 种排法； ∴ 2 3 2 2 3 2 24A A A  故选：A. 4.已知数列 na 中， 1 2a  ， 1 11n n a a    （ 2n  ），则 2018a 等于 A. 1 2 B. 1 2  C. 1 D. 2 【答案】A 5.已知△ ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 2 cos cos cosb B a C c A  ， 2b  ，则△ ABC 面 积的最大值是A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】由题意知 60B   ，由余弦定理， 2 6 2x    ，故 2 2 4 2 4ac a c ac     ，有 4ac  ，故 1 sin 32ABCS ac B   . 故选：B 6.已知边长为 2 的等边三角形 ABC ， D 为 BC 的中点，以 AD 为折痕进行翻折，使 BDC∠ 为直角，则过 A B C D， ， ， 四点的球的表面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为 1+1+3= 5 ， 故其外接球的半径为 5 2 ，其表 面积为 5 . 故选：D. 7.将函数   sin 2 3f x x      的图象向右平移  0a a  个单位得到函数   cos 2 4g x x      的图象，则 a 的值可以为（ ） A. 5 12  B. 7 12  C. 19 24  D. 41 24  【答案】C 【 解 析 】 将 函 数   sin 2 3f x x      的 图 象 向 右 平 移 a 个 单 位 得 到 函 数      sin 2 a sin 2 2a cos 23 3 4g x x x g x x                         ∴ cos 2 2a cos 26 4x x              ，∴ 2a 2kπ k Z4 6      ， 得到： 5 ,24a k k Z     .当 k=1 时， a  19 24  故选：C. 8.当直线 1 0 ( )kx y k k    R 和曲线 E： 3 2 5( 0)3y ax bx ab    交于 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( )A x y B x y C x y， ， ， ， ， 1 2 3( )x x x  三点时，曲线 E 在点 A，点 C 处的切线总是平行的，则过点 ( )b a， 可作曲线 E 的切线的条数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C【解析】直线  1 0kx y k k R     过定点 1,1 由题意可知：定点 1,1 是曲线  3 2 5: 03E y ax bx b    的对称中心， 5 13 13 a b b a        ，解得 1 3 1 a b      ，所以曲线 3 21 5: 3 3E y x x   ，  1, 1 3b a      ， f′（x）= 2 2xx  ，设切点 M（x0，y0）， 则 M 纵坐标 y0= 3 2 0 0 1 5 3 3x x  ，又 f′（x0）= 2 0 02x x ， ∴切线的方程为：   3 2 2 0 0 0 0 0 1 5y 23 3x x x x x x         又直线过定点 11 3     ，   3 2 2 0 0 0 0 0 1 1 5 2 13 3 3x x x x x           ， 得 3 0x ﹣ 03x -2=0，    3 0 0 02 1 0x x x    ， 即  2 0 0 01 2 0x x x    解得： 0 2 1x  或 故可做两条切线 故选：C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.下列判断正确的是 A.若随机变量 服从正态分布    21, , 4 0.79N P    ,则  2 0.21P     ； B.已知直线l  平面 ，直线 //m 平面  ，则 ””是““ ml  // 的充分不必要条件； C .若随机变量 服从二项分布： 4 14,B      , 则   1E   ； D. 2 2am bm 是 a b 的充分不必要条件； 【答案】ABC 10.在 ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，若 1 1 1, ,tan tan tanA B C 依次成等差数 列，则下列结论 中不成立．．．的是 A. , ,a b c依次成等差数列 B. , ,a b c 依次成等差数列 C. 2 2 2, ,a b c 依次成等差数列 D. 3 3 3, ,a b c 依次成等差数列 【答案】ABD 11.函数 f(x)＝ ex－1，x≤1， lnx－1，x>1， 若函数 g(x)＝f(x)－x＋a 只有一个零点，则 a 的值（ ） A. 2 B. -2 C. 0 D. 1 【答案】ABC 12.某市有 A，B，C，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览 A 的概率为2 3 ，游览 B，C 和 D 的概率都是1 2 ，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量 X 表示该游客游览的景点的个数，下列正 确的（ ） A.游客至多游览一个景点的概率1 4 B. P(X＝2)＝3 8 C. P(X＝4)= 1 24 D. E(X)＝13 6 【答案】ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.如图，已知六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的 ①.PB⊥AE ②.平面 ABC⊥平面 PBC ③.直线 BC∥平面 PAE ④.∠PDA＝45°. 【答案】①④ 14.在 3 1 2 n x x     的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 【答案】7 【解析】由题意 8n  ， 488 8 3 1 8 83 ( 1)1( ) ( )2 2 r r rr r r r r CxT C x x       ，令 48 03 r  ， 6r  ，故常数项 为 6 6 8 7 2 ( 1) 72 CT   ． 15.已知腰长为 2的等腰直角 ABC 中， M 为斜边 AB 的中点，点 P 为该平面内一动点，若 2PC  ，则   4PA PB PC PM      的最小值为__________． 【答案】 48 32 2 【解析】 如图建立平面直角坐标系，      P 2cosθ 2sinθ A 2 2 B 2, 2  ， ， ， ， ,   M  0, 2 ∴      4 2cosθ 2 2sinθ 2 2cosθ 2 2sinθ 2 4PA PB PC PM                 ， ，     22cosθ 2sinθ 2cosθ 2sinθ 2 16sin θ 32 2sinθ 32      ， ， ， 当 sinθ 1  时，得到最小值为 48 32 2 故答案为： 48 32 2 16．如图，直线 PT 和 AB 分别是函数   3 3f x x x  过点  2,2P 的切线（切点为T ）和割线，则切线 PT 的方程为______；若   ,A a f a ，    , 2B b f b b a  ，则 a b  ______. 【答案】 2y  2 【解析】设切点 0 0( , )T x y ,又 2( ) 3 3f x x   ，则在点T 处的切线的斜率为： 2 03 3k x  . 则在点T 处的切线方程为： 3 2 0 0 0 0( 3 ) (3 3)( )y x x x x x     ， 又点  2,2P 在切线上，则 3 2 0 0 0 02 ( 3 ) (3 3)(2 )x x x x     ， 即 3 2 0 03 4 0x x   ，解得 0 1x   或 0 2x  (舍). 则 ( 1,2)T  ， 0k  ，所以切线 PT 的方程为： 2y  . 根据题意直线 AB 的斜率一定存在， 设直线 AB 的方程为： ( 2) 2y k x   ， 由 3 ( 2) 2 3 y k x y x x       有 3 3 2 ( 2)x x k x    所以 3( 4 ) ( 2) ( 2)x x x k x     ， 即 2( 2)( 2 1) ( 2)x x x k x     (*) 由直线 AB 交曲线   3 3f x x x  于三点 , ,A B P 所以 , ,2a b 为方程(*)的根. 即 ,a b 为方程 2 2 1x x k   的两个实数根； 由韦达定理有： 2a b   . 故答案为： 2y  ； 2 . 四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 10 分）设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 1nS n n   ，在正项等比数列 nb 中 2 2b a ， 4 5b a ． （1）求 na 和 nb 的通项公式；（2）设 n n nc a b ，求数列 nc 的前 n 项和． 【解析】（1）当 1n  时， 1 1 1a S  ， 当 2n  时， 1n n na S S   = 2 2( 1) [( 1) ( 1) 1]n n n n       = 2 2n ， 所以 1( 1) 2 2( 2)n na n n     。（2 分） 所以 2 2b  ， 4 8b  于是 2 4 2 4bq b   ，解得 2q = 或 2q   （舍） 所以 2 2 n nb b q   = 12n 。（4 分） （2）由以上结论可得， 1( 1) ( 1) 2 ( 2)n n nc n n      （6 分）所以其前 n 项和 1 2 3n nS c c c c     nS = 2 3 4 11 1 2 2 2 3 2 ( 2) 2 ( 1) 2n nn n             2 nS = 3 4 5 12 1 2 2 2 3 2 ( 2) 2 ( 1) 2n nn n              - 得， nS = 2 3 4 11 2 2 2 2 ( 1) 2n nn          = 12(1 2 )3 ( 1) 21 2 n nn      所以 nS = 1( 2) 2 5nn    。（10 分） 18.（本小题满分 12 分）已知函数 f(x)＝ sin ωxcos ωx－sin2ωx＋1(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2  . (Ⅰ)求ω的值及函数 f(x)的单调递减区间； (Ⅱ)如图，在锐角三角形 ABC 中有 f(B)＝1，若在线段 BC 上存在一点 D 使得 AD＝2，且 AC＝ ，CD＝ － 1，求三角形 ABC 的面积． 【解析】(Ⅰ)f(x)＝ sin 2ωx－ ＋1＝sin ＋ .（2 分） 因为相邻两条对称轴之间的距离为 ，所以 T＝π，即 ＝π，所以ω＝1. 故 f(x)＝sin ＋ .（3 分） 令 ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ(k∈Z)，解得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)． 所以 f(x)的单调递减区间为 (k∈Z)．（5 分） (Ⅱ)由 f(B)＝sin ＋ ＝1，即 sin ＝ . 由 00)的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|＝2，过点 F1 的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，延长 BF2 交椭圆 C 于点 M，△ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆 C 的离心率及方程； (2)试问：是否存在定点 P(x0,0)，使得PM→ ·PB→为定值？若存在，求出 x0；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意可知，|F1F2|＝2c＝2，则 c＝1， 又△ABF2 的周长为 8，所以 4a＝8，即 a＝2， 则 e＝c a ＝1 2 ，b2＝a2－c2＝3. 故椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1.(4 分) (2)假设存在点 P，使得PM→ ·PB→为定值． 若直线 BM 的斜率不存在，  0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35则直线 BM 的方程为 x＝1，B 1，3 2 ，M 1，－3 2 ， 则PM→ ·PB→＝(x0－1)2－9 4.（5 分） 若直线 BM 的斜率存在，设 BM 的方程为 y＝k(x－1)， 设点 B(x1，y1)，M(x2，y2)，联立 x2 4 ＋y2 3 ＝1， y＝kx－1， 得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 由根与系数的关系可得 x1＋x2＝ 8k2 4k2＋3 ， x1x2＝4k2－12 4k2＋3 ，（7 分） 由于PM→ ＝(x2－x0，y2)，PB→＝(x1－x0，y1)， 则PM→ ·PB→＝x1x2－(x1＋x2)x0＋x20＋y1y2 ＝(k2＋1)x1x2－(x0＋k2)(x1＋x2)＋k2＋x20 ＝4x20－8x0－5k2＋3x20－12 4k2＋3 ，（10 分） 因为PM→ ·PB→为定值，所以4x20－8x0－5 4 ＝3x20－12 3 ， 解得 x0＝11 8 ，故存在点 P，且 x0＝11 8 （12 分） 22.（本小题满分 12 分）已知函数    2 4 5 x af x x x a Re      .  Ⅰ 若  f x 在  ,  上是单调递增函数，求 a 的取值范围；  Ⅱ 设    xg x e f x ，当 m 1 时，若      1 2 2g x g x g m  ，且 1 2x x ，求证： 1 2 2x x m  . 【解析】  1   f x 在 ,  上是单调递增函数, 在 x R 上，   2 4 0x af x x e     恒成立，即：  4 2 xa x e  （2 分） 设    4 2 xh x x e  Rx     2 2 xh x x e  ， 当  ,1x  时   0h x  ，  h x 在  ,1x  上为增函数， 当  1,x  时   0h x  ，  h x 在  1,x  上为减函数，     max 1 2h x h e     max 4 2 xa x e    2a e ， 即  2 ,a e  .（5 分）  2 因为    2 4 5xg x e x x a    ， 所以    2' 1 0xg x e x   ，（6 分） 所以  g x 在 ,  上为增函数， 因为      1 2 2g x g x g m  ，即        1 2g x g m g m g x   ，        1 2g x g m g m g x 和 同号，（8 分） 所以不妨设 1 2x m x  ,设        2 2 ( 1)h x g m x g x g m x m      ，…8 分 所以      2 22' 2 1 1m x xh x e m x e x      ，（9 分） 因为 2m x xe e  ，      2 22 1 1 2 2 2 2 0m x x m m x        ， 所以  ' 0h x  ，所以  h x 在 ,m  上为增函数， （10 分） 所以     0h x h m  ，所以        2 2 22 2 0h x g m x g x g m     ， 所以        2 2 12 2g m x g m g x g x    ， 所以 2 12m x x  ，即 1 2 2x x m  . （12 分）