2019级高一年级第二学期假期考试数学试题参考答案.pdf

第 1 页 共 5 页 2019 级高一年级第二学期假期考试数学试题参考答案 1．A    cos1050 cos 3 360 30 cos 30 cos3 3 20            . 2．C 设扇形的半径为 ，弧长为 ，则由扇形面积公式可得： ，解得 ，所以扇形的周长为 . 3．B 2 2 41 sinsin cos 55 3sin cos 1 cos 5                  或 3sin 5 4cos 5        , 0    , sin 0  , 4 3sin cos5 5     ， , sin 4tan cos 3      . 4．C 在锐角三角形 ABC , 90A B   ，所以 90A B  ，所以  sin sin 90A B  cosB . 5．C 2 2 2 1 11 sin sin 1 sin sin sin 2 4y x x x x x              ，  sin 1,1x  ， 当 1sin 2x  时，函数 y 取得最大值为 1 4 ，当sin 1x   时，函数 y 取得最大值为 2 ， 所以函数的值域为 12, 4     . 6．C 1 3c OC OB BC OB AB          1 4 1 3 3 3OB OB OA OB OA         4 1 3 3b a   . 7．D ∵  ,x    关于原点对称，且 ( ) cos sin(π ) cos sinf x x x x x x x     ， ∴ ( ) cos sin ( cos sin )f x x x x x x x        ( )f x ，∴函数 ( )f x 是奇函数，排除 A，C； 3cos sπ π π πi π 3 πn 03 3 3 3 3 6 2 6f           ，排除 B. 8．A 设t x   ，则 2t   ，所以 siny t 在[ ,2 ]   上有 4 个零点， 因为 ,4 3        ，所以 4 2 5     ，所以 52 2 2 2      ， 所以 5 342 2 2 2      ，即 15 7 8 3   ，满足的只有 A. 9．C 因为对任意  , 6x f x f       R 恒成立，所以 sin 16 3f                ， 则 π 2 π6 k   或  7π 2 π6 k k Z    ， 当 π 2 π6 k   时，   sin 2 6f x x      ，则  1 1 2 2 2f f         （舍去）， 当 7π 2 π6 k   时，   7sin 2 6f x x      ，则  1 1 2 2 2f f         ，符合题意， 即   7sin 2 6f x x      ，令 3 7 52 2 22 6 2k x k        ，解得 2 6 3k x k      ，即  f x第 2 页 共 5 页 的单调递增区间是 2, ( )6 3k k k        Z . 10．D 如图所示：∵ 2AB AC AD    ，∴点 D 为边 BC 的中点， ∵ 2 0AE DE   ，∴ 2AE DE   ，∴ 1 1 ( )3 6DE AD AB AC        ， 又 1 1 ( )2 2DB CB AB AC      ， ∴ 1 1 2 1( ) ( )2 6 3 3EB DB DE AB AC AB AC AB AC                ． 又 EB xAB yAC    ，∴ 2 1,3 3x y   ，即 2x y  ． 11．B 2 cos(2 ) 2 sin(2 )4 2 4y x x       ，即 2 sin(2 )4y x   ，所以要得到函数 2 siny x 的图像，先将横坐标伸长到原来的 2 ，变为 2 sin( )4y x   ；再向右平移 4  个单位即可得到 2 siny x . 12．B 将函数 sin 2 xy  的图象向右平移 2        个单位长度,可得   1sin (2 )f x x   ，  f x 在区间 20, 3      上单调递增，  f x 的最大负零点在区间 4 5,3 4       上， 1 2( )2 3 2     ，即 3    ，① 令 1 (2 )x     ，得 2x    ， 又  f x 的最大负零点在区间 4 5,3 4       上，所以只需 2   4 5,3 4       , 解得 2 3,3 4        ② 由①②及已知条件可知 2 3,3 4        . 13．2  tan 3 tan 2     .原式 sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1                     . 14． 6 因为 A 、 B 、 D 三点共线，所以向量 AB  与 BD  共线， 4AB a kb     ，CB a b    ， 3 2CD a b    ， 3 2 2 3BD BC CD a b a b a b                  ，  2 3 4 0k     解得 6k   . 15． 16,20   sinf x x 在区间 ,4 4      上恰有9 个零点,等价于  f x 在 0, 4 π     上恰有 4 个零点, 设  f x 的周期为 T,则 2 4 2 2 4 T TT        ,即 8 10 T T       ,所以 2 8 2 10           ,则 16 20      , 故 的取值范围为16 20  . 16． 7 8  90, 16x      ，则 54 ,4 4 2t x          ，如图所示：则 1 2t t   ， 2 3 3t t   即 1 2 1 24 4 ,4 4 8x x x x         ； 2 3 2 3 54 4 3 ,4 4 8x x x x            1 2 3 1 2 2 3 72 3 2 8x x x x x x x        .第 3 页 共 5 页 17．解：（1）因为 2tan 3tan 2 0    ，所以 tan 2  或 tan 1  ， 又 ,4 2       ，所以  tan 1,   ，即 tan 2  ， ……3 分 则 sin cos tan 1 2 1 1 sin cos tan 1 2 1 3             ； ……5 分 （2） 2 2 2 2 2 2 sin sin cos tan tan 4 2 16sin sin cos 2 2 2 2sin cos tan 1 4 1 5                        .……10 分 18．解：（1）∵  f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为 2  ，∴  f x 的周期为 2  ， ∴ 2 2 2a   且 0a  ，∴ 2a  ， ……3 分 此时   2 1sin 42 4 2f x x b        ， 又∵  f x 的图象与 x 轴相切，∴ 1 2 2 2b   且 0b  ，∴ 2 1 2 2b   ； ……6 分 （2）由（1）可得   2 2sin 42 4 2f x x        ， ∵ 0, 4x     ，∴ 54 ,4 4 4x         ， ……9 分 ∴当 54 4 4x    ，即 4x  时，  f x 有最大值为 2 1 2  ； 当 4 4 2x    ，即 16x  时，  f x 有最小值为 0. ……12 分 19．解：（1）由题意 2 2 2      ，∴ 2  ，    sin 2f x x b   ， ……2 分 又   sin 2 36g x x b            为奇函数，且 0    ，则 3   ， 3b  ， 故   sin 2 33f x x       ． ……5 分 令  2 2 22 3 2k x k k Z         ，解得  5 12 12k x k k Z       ∴  f x 的单调递增区间为  5 ,12 12k k k Z         ． ……8 分 （2） 0, 2x     ， 423 3 3x     ，  3 3 1 32 f x    ， ……10 分 又  2m f x   ，故 m 的取值范围是 , 3 1   ． ……12 分 20．解：（1）当 1a  时，    22sin 2cos 3 cos 1 1f x x x x       ， ……2 分 1 cos 1x   ，当 cos 1x  时，该函数取得最大值，即  max 1f x   ； ……4 分 （2）   2 2sin 2 cos 3 cos 2 cos 2x a x x a xf x        ， 当 0, 2x      时，设  cos 0,1t x  ，设   2 2 2t atg t    ，  0,1t  ， ……5 分第 4 页 共 5 页 二次函数  y g t 的图象开口向下，对称轴为直线 t a . 当 0a  时，函数  y g t 在 0,1 上单调递减，所以 0t  时，    max 0 2 1g t g    ， 0a  不符合题意； ……7 分 当 1a  时，函数  y g t 在 0,1 上单调递增，所以 1t  时，    max 1 2 3 1g t g a    ， 2a  满足 1a  ； ……9 分 当 0 1a  时，函数  y g t 在 0,a 上单调递增，在 ,1a 上单调递减， 当t a 时，     2 max 2 1g t g a a    ， 3a   不满足 0 1a  . ……11 分 综上，存在 2a  符合题意. ……12 分 21．解：（1）由条件得： 2 2 T  ， T   即 2   ， 2  ……2 分 则    sin 2f x x b   ，又   sin 2 112g x x b            为奇函数， 则 1b  ，  0 sin 06g        ， 2 2     ， 6    ，   sin 2 16f x x        …4 分 令 2 6x k   ， k Z ，解得 1 12 2x k   ， k Z ， 故函数  f x 的对称中心为： ,112 2 k     ， k Z ……6 分 （2） 0, 2x      ，又由（1）知   sin 2g x x ，则  2 0,x  ， sin 2x 的函数值从 0 递增到1，又从1递减回 0 . 令  t xg ，则  0,1t  由原命题得： 23 2 0t mt   在  0,1t  上仅有一个实根. ……8 分 令   23 2H t t mt   ，则需  1 3 2 0H m    或 2 24 0 0 16 m m        ， ……11 分 解得： 5m   或 2 6m   . ……12 分 22．解：（1）根据图像可知 1 71, 4 12 3A T     2, 2T T       ， ……1 分    sin 2f x x   代入 7 , 112     得， 7sin 16        ， 2 ,3k k Z    ， , 0,2 3k         sin 2 3f x x       ……3 分 把函数  f x 的图像向右平移 4  个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数  g x   sin 2 1 sin 2 14 3 6g x x x                      ……4 分  g x 在 ,4 3x       单调递增，在 5,3 6x       单调递减，在 5 11,6 12x       单调递增， 且 5 3 14 12 2g g             ， 03g      ， 3 11 3 14 12 2g g              ， 5 26g       方程   0g x m  恰好有两个不同的根 1 2,x x ，第 5 页 共 5 页 m 的取值范围 3 31,0 2, 12 2               ……6 分 令 2 6 2x k      g x 对称轴为 2 3 kx    ， k Z 11,4 12x       0, 3k x    或 51, 6k x    3 1 02 m   时， 1 2 2 3x x   ； 32 1 2m     时， 1 2 5 3x x   . ……8 分 （2）由（1）可知    sin 2 1,13f x x            3F x f x   4, 2   对任意 x 都有      2 2 2 0F x m F x m     恒成立 令    4, 2t F x    ，    2 2 2h t t m t m     ，则  max 0h t  恒成立， ……9 分 而  h t 的最大值，在 4t   或 2t   时取到最大值 则     2 0 4 0 h h      ，       4 2 2 2 0 16 2 4 2 0 m m m m              解得 10 3 26 5 m m       ……11 分 所以 26 5m   ，则 m 的最大值为 26 5  . ……12 分