武汉市2020届高三3月份质检质理数试题.pdf

  理科数学参考答案 第 1 页（共 5 页） 武汉市 2020 届高中毕业生学习质量检测 理科数学参考答案及评分细则   一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C D A B D A C B   二、填空题 13． 1312 22 =− yx 14．[ )∞+− ，1 15． 14.9 16． 2 1− 三、解答题 17．（1）由已知条件 c bc BA BA −=+ − tantan tantan 得： c b BA B =+ tantan tan2 ， 由正弦定理得 C B c b sin sin= ，则 C B BA B sin sin tantan tan2 =+ ， 即 BB B A ACB B sin)cos sin cos sin(sincos sin2 ⋅+=⋅ ，由 0sin ≠B ， 整理得： BABAAC sincoscossincossin2 ⋅+⋅=⋅ ，……3 分 即 )sin(cossin2 BAAC +=⋅ ，……4 分 即 CAC sincossin2 =⋅ ，由 0sin ≠C ，故 2 1cos =A ……6 分 由（1）知 3 π=A ，则 bcAbcS ABC 4 3sin2 1 ==Δ ， 由余弦定理得： Abccba cos2222 −+= ，而 4=a ，则 1622 =−+ bccb 由 bccb 222 ≥+ 得 162 ≤−bcbc ，即 16≤bc ，……9 分 所以 34164 3 4 3sin2 1 =×≤==Δ bcAbcS ABC ， 当 cb = 时取等号．……12 分 18．（1）取 DC 的中点 H ， AB 的中点 M ，连接QH ， HL 、 BD ， 在正方体 1111 DCBAABCD − 中，Q 为 11DC 的中点，   理科数学参考答案 第 2 页（共 5 页） 则 CDQH ⊥ ，从 而 ⊥QH 面 ABCD ，所 以 ACQH ⊥ ， ……2 分 在正方形 ABCD 中，H 、L 分别为CD 、BC 的中点， 所以 HLBD // ，而 BDAC ⊥ ， 则 ACHL ⊥ , ……4分 又 HHLQH =I ，所以 ⊥AC 面QHL ， 所以 QLAC ⊥ ．……6 分 （2）连接 ML 、 MP ，由 ACQL⊥ ， //MLAC知 MLQL⊥ ， 则四边形 PQLM 为矩形， 则点 A 到平面 PQL 的距离即为点 A 到平面 PML 的距离，设其值为 h ，……8 分 在四面体 AMLP − 中， 2 8 1 222 1 2 1 aaaBLAMS AML =⋅⋅=⋅=Δ ， 2222 4 3)2()2(2 2 2 1 2 1 aaaaaPMMLS PML =++⋅⋅=⋅⋅=Δ ， 由等体积法可知： PMLAAMLP VV −− = ，即 haaa ⋅⋅=⋅⋅ 22 4 3 3 1 8 1 3 1 ， 解之得 ah 6 3= ，故点 A 到平面 PQL 的距离为 a6 3 ． ……12分 19．（1） )0(22 >= ppxy 的焦点 )0,2( pF ，而 )32,2(=FP ，所以点 )32,22( +pP ， 又点 P 在抛物线 pxy 22 = 上，所以 )22(2)32( 2 += pp ，即 01242 =−+ pp ， 而 0>p ，故 2=p ，则抛物线的方程为 xy 42 = ． ……4分 （2）设 ),( 00 yxM ， ),( 11 yxN ， ),( 22 yxL ，则 1 2 1 4xy = ， 2 2 2 4xy = ， 直线 MN 的斜率为 01 2 0 2 1 01 01 01 4 4 yyyy yy xx yykMN +=− −=− −= ， 则 MNl ： )4(4 2 0 01 0 yxyyyy −+=− ，即 10 104 yy yyxy + += ①； 同理 MLl ： 20 204 yy yyxy + += ②；   理科数学参考答案 第 3 页（共 5 页） 将 )2,3( −A 、 )6,3( −B 分别代入①、②两式得： ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + +=− + +=− 20 20 10 10 126 122 yy yy yy yy ， 消去 0y 得 1221 =yy ， ……9 分 易知直线 21 4 yykNL += ，则直线 NL 的方程为 )4(4 2 1 21 1 yxyyyy −+=− ， 即 21 21 21 4 yy yyxyyy +++= ，故 2121 124 yyxyyy +++= ，所以 )3(4 21 ++= xyyy ， 因此直线 NL 恒过定点 )0,3(− ．……12 分 20．（1）依题意 0.380 10 1 =∑ =i ix ， 则 380454339383736333132 10 =+++++++++ x ，解得： 4610 =x ．……3 分 （2）（Ⅰ）由居民收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程 363ˆ 254yxa=+知 254 363=b ，即 254 363 10 10 10 1 22 10 1 = − − = ∑ ∑ = = i i i ii xx yxyx b ， 即 254 363 254 10 34038104612875 10 10 = +⋅⋅−+ yy ， 解之得： 5110 =y ．……8 分 （Ⅱ）易得 38=x ， 1.39=y ，代入 axy += 254 363ˆ 得： a+×= 38254 3631.39 ， 解得 21.15−≈a ，所以 21.15254 363ˆ −= xy ，……10 分 当 40=x 时， 96.4121.1540254 363 ≈−×=y 故若该城市居民收入达到 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是 96.41 万元． ……12 分 21．（1） 2cos 2(cos sin )xy exxxx′ =− − − xxxex cos4sin2 −+= ，……2 分 因为 )2,( ππ −−∈x ，所以 0>xe ， 0sin2 >xx ， 0cos4 >− x ，故 () 0yx′ > ， 所以 e2sin2cosxy xx x=− − 在 )2,( ππ −− 上单调增．……4 分   理科数学参考答案 第 4 页（共 5 页） （2）可得： 2 2 cos2)1()( x xxxexf x −−=′ ，……5 分 令 xxxexg x cos2)1()( 2−−= ，则 )cos4sin2()( xxxexxg x −+=′ ， 当 )2,( ππ −−∈x 时，由（1）知 0cos4sin2 >−+ xxxex ，则 0)( xg ，即 0)( >′ xf ， )(xf 为增函数； 当 )2,( 0 π−∈ xx 时， 0)( 又 0 00 0 e() 2sin x f xxx=− ，当 0 (, )2x ππ∈− − 时， 0 0 e10 x x−