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一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知集合A = { }x|x( x - 2 ) < 0 ,B = { x|x ≥ 1} ，则A ∩ B = A. [ 0, ]2 B. [ 1, 2 ) C. [ 1, ]2 D．（0，2） 2. 设a ∈ R，若复数 1 - i a + i 在复平面内对应的点位于实轴上，则a = A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 3.已知向量a,b不共线，若( a + 3b ) ∥ ( ka - b )，则实数k= A. - 1 3 B. - 1 2 C. 1 3 D. 1 2 4. 某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，并得到下表： 分数段 人数 [ 70,90 ) 5 [ 90,110 ) 15 [110,130 ) 20 [130,150 ] 10 将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试数学成绩的中位数是 A. 110 B. 115 C. 120 D. 125 5. 设 F1 ,F2 分别为椭圆 E: x2 a2 + y2 = 1( a > 1)的左、右焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线与 E 相 交于A,B两点，若△F1 AB为正三角形，则a = A. 6 2 B. 5 2 C. 3 2 D. 2 6.函数f ( x ) = x2 - 2x + 4 x - 2 ( x > 2 )的最小值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.已知变量 m 的取值完全由变量 a,b,c,d的取值确定 . 某同学进行了四次试验，每次试验中 他预先设定好a,b,c,d四个变量的取值，然后记录相应的变量m的值，得到下表： 试验编号 ① ② ③ ④ a 1 1 1 0 b 1 1 1 2 c 1 1 2 2 d 1 2 2 2 m 4 2 1 1 则m关于a,b,c,d的表达式不·可能是 A. m = 2( a + b ) cd B. m = 8 ( a + b )cd C. m = 2( a2 + b2 ) cd D. m = 3a2 + b2 cd 8. 对于函数f ( x ) = 2 e x + 1 的图象，下列说法正确的是 A. 关于直线x = 1对称 B. 关于直线y = x对称C. 关于点 (1,0 ) 对称 D. 关于点 ( 0,1) 对称9. 已知数列{ }an 的通项公式为an = ( 3n + 7 ) × 0.9 n，则数列{ }an 的最大项是A. a5 B. a6 C. a7 D. a810.执行如图所示的程序框图（其中a mod b表示a除以b后所得的余数），则输出的N的值是 开始 是 否 结束 Y mod 20=0？ 输出N Y=0，N=0 Y=Y+1 N=N+1 Y mod 100=0？ N=N-1是 否 Y ≥ 2020？否 （第10题图） 是 A. 78 B. 79 C. 80 D. 81 11. 已知直角三角形 ABC两直角边长之和为 3，将 △ABC绕其中一条直角边旋转一周，所形 成旋转体体积的最大值为 A. 5 3 π B. 4 3 π C. 2 3 π D. 9 8 π 12. 设 F1 ,F2 分别为双曲线 E: x2 a2 - y2 b2 = 1( a,b > 0 )的左、右焦点，以坐标原点 O为圆心，|OF1 | 为半径的圆与双曲线 E 的右支相交于 P,Q 两点，与 E 的渐近线相交于 A,B,C,D 四点，若 四边形PF1 QF2 的面积与四边形ABCD的面积相等，则双曲线E的离心率为 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 文科数学试题A 第1页（共4页） 文科数学试题A 第2页（共4页） 姓名 准考证号 试题类型：A 秘密★启用前 文科数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 已知a,b是向量.命题“若a = -b，则 || a = || b ”的逆否命题是 ▲ ． 14. 已知等差数列{ }an 的公差为 d，且 d ≠ 0，前 n 项和为 Sn，若 4S2，3S3，2S4 也成等差数列，则 a1 d = ▲ . 15. 关于x的方程 e x x - 1 = m无实根，则实数m的取值范围为 ▲ ． 16. 将函数 f ( x ) = 2sinxcosx - 2 3 cos2 x + 3 的图象向左平移 a( a > 0 ) 个单位长度，得到 函数 y = g( x ) 的图象，若 g( π6 - x ) = g( x )对任意 x 成立，则实数 a 的最小值为 ▲ . 此时，函数 g( x ) 在区间 [ π 12 , 13π 12 ]上的图象与直线 y = 2 所围成的封闭图形的面积 为 ▲ . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分） 如图，平面四边形 ABCD 中，AD = 5,CD = 2 10，AB ⊥ AD， tan ∠CAB = 1 2. （1）求AC的长； （2）若∠ABC = 3 4 π，求△ABC的面积. 18.（12分） 如图，三棱柱 ABC—A1 B1C1 中，BC = BB1，∠B1 BC = 60°， B1 C1 ⊥ AB1 . （1）证明：AB = AC； （2）若 AB ⊥ AC，AB1 = BB1 = 2，点 M 是 B1 C1 的中点，求点 M 到平面A1 B1C的距离. 19.（12分） 已知直线x = my + 1 与圆 ( x - 1)2 + ( y - 1)2 = 4 相交于A,B两点，O为坐标原点. （1）当m = 1时，求|AB|； （2）是否存在实数m，使得OA ⊥ OB，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 20.（12分） 某人某天的工作是：驾车从 A地出发，到 B，C两地办事，最后返回 A地 .A，B，C三地之间 各路段行驶时间及当天降水概率如下表. 路段 AB BC CA 正常行驶所需时间（小时） 2 2 3 上午降水概率 0.3 0.2 0.3 下午降水概率 0.6 0.7 0.9 若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时. 现有如下两个方案： 方案甲：上午从A地出发到B地办事，然后到达C地，下午在C地办事后返回A地； 方案乙：上午从A地出发到C地办事，下午从C地出发到达B地，办事后返回A地. 设此人8点从A地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时. 现采用随机数表法获取随机数并进行随机模拟试验，按照以下随机数表，以方框内的数 字 5 为起点，从左向右依次读取数据，若到达某行最后一个数字，则从下一行最左侧数 字继续读取，每次读取 4 位随机数，第 1 位数表示采取的方案，其中 0~4 表示采用方案 甲，5~9表示采用方案乙；第 2~4位依次分别表示当天行驶的三个路段上是否降水，若某 路段降水概率为 k10，则0~k-1表示降水，k~9表示不降水.（符号m~n表示的数集包含m,n） 05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 1 29 16 93 58 05 77 05 91 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 94 14 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43 （1）利用数据“5129”模拟当天的情况，试推算他当日办完事返回A地的时间； （2）利用随机数表依次取出采用甲、乙方案的模拟结果各两组，分别计算甲、乙两个方案 的平均时间，并回答哪个方案办完事后能尽早返回A地. 21.（12分） 已知函数f ( x ) = -x2 - ax + a2 lnx( a ∈ R ) ，g( x ) = 2xlnx - x2． （1）讨论f ( x ) 的单调性； （2）求证：当a = 1时，对于任意x ∈ ( 0, +∞ ) ，都有f ( x ) < g( x ) ． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一 题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分） 在极坐标系Ox中，直线m,n的方程分别为ρ cos θ = 3,ρ sin θ = 2 ，曲线C: ρ2 = 36 4 + 5 sin2 θ . 以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线m,n的方程与曲线C的方程化成直角坐标方程； （2）过曲线C上动点P作直线m,n的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值. 23.［选修4-5：不等式选讲］（10分） 已知a > b > c > 0，且a + 2b + 3c = 1，求证： （1）( )1 a - 1 ( )1 b - 2 ( )1 c - 3 ≥ 48 ； （2）a2 + 8b2 + 27c2 < 1. A B C （第 17 题图） D 文科数学试题A 第3页（共4页） 文科数学试题A 第4页（共4页） A A B C A1 B1 C1 （第 18 题图） ·M