高三数学答案第 1 页 共 5 页（数学是有生命的，题目是有经典的）
2019-2020 学年度第一学期期末学业水平检测高三数学参考答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1 8：D C A B A D C D
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
9. AD; 10. ACD; 11. AD; 12. BCD;
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 1a ； 14. 2 ； 15. 5 ， 270 ； 16. 1 5
2
；
四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10 分）
解：（1）由 14 3 4n n na a b 和 14 4 3n n nb a b 相加得：
1 14( ) 4( ) 8n n n na b a b
所以 1 1( ) ( ) 2n n n na b a b ，因此数列{ }n na b 是以 2 为公差的等差数列········· 2 分
又由 14 3 4n n na a b 和 14 4 3n n nb a b 相减得：
1 14( ) 2( )n n n na b a b ，所以 1 1 1
2
n n
n n
a b
a b
，
又 1 1 1 0a b ，因此数列{ }n na b 是以 1
2 为公比的等比数列·····························4 分
（2）由（1）知： 112 1 ( )2
n
n n n na b n a b ，
两式相加得： 1 1( )2 2
n
na n ·······································································6 分
所以
2
1 1[1 ( ) ]( 1) 12 2 1 ( )12 2 2 21 2
n
n
n
n n n nW
··········································· 8 分
因为 1 1( ) 02 2
n
na n ，所以 1n nW W ······················································ 9 分
又因为 4 5
1 27 19 9, 916 2 32W W ，
所以使得 9nW 的 n 的取值范围为 5n ························································· 10 分
18.（12 分）
解：（1）因为 sin sin 2
B Ca B b ，
所以 sin sin( )2 2
Aa B b ，即 sin cos 2
Aa B b ， ········································· 1 分
由正弦定理得sin sin sin cos 2A B B A ，························································· 2 分
由于C 为 ABC 的内角，所以sin 0B ，························································3 分
所以sin cos 2A A ，即 2sin cos cos2 2 2
A A A ···················································4 分
由于 B 为 ABC 的内角，∴ cos 02
A ，高三数学答案第 2 页 共 5 页（数学是有生命的，题目是有经典的）
所以 1sin 2 2
A ·····························································································5 分
又因为 (0, )A ，所以
2 6
A ，
3A ；·······················································6 分
（2）在 ABC 中由余弦定理知：
2 2 2 2 2 22 cos ( ) 3 ( ) 3( )2
b ca b c bc A b c bc b c ····························· 9 分
所以 1a ，等号当仅当 1b c 时等号成立····················································11 分
此时
4
3sin2
1 AbcS ············································································· 12 分
19.（12 分）
解: （1）因为平面 //GHF 平面 ABED ，
平面 BCFE 平面 ABED BE
平面 BCFE 平面GHF HF
所以 //BE HF ········································· 2 分
因为 //BC EF ，
所以四边形 BHFE 为平行四边形
所以 BH EF
因为 2BC EF
所以 2BC BH ， H 为 BC 的中点··············3 分
同理G 为 AC 的中点
所以 //GH AB
因为 AB BC ，所以 GH BC ················ 4 分
又 //HC EF 且 HC EF ，所以四边形 EFCH 是平行四边形，所以 //CF HE ，
又CF BC ，所以 HE BC .······································································ 5 分
又 ,HE GH 平面 EGH ， HE GH H ，所以 BC 平面 EGH ，
又 BC 平面 BCFE ，所以平面 BCFE 平面 EGH ·········································6 分
（2）由（1）知， ,HE HB HG HB
因为 AB CF ， //CF HE ， //GH AB ，所以 HE HG
分别以 , ,HG HB HE 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 H xyz ，
则 (2,1,0), (0,1,0), (1,0,1), (0, 1,0)A B D C ························································7 分
设平面 ABD 的一个法向量为 1 1 1( , , )m x y z
，
因为 ( 2,0,0), (1, 1,1)AB BD
则 1
1 1 1
2 0
0
m AB x
m BD x y z
，取 1 1y ，得 (0,1,1)m
···································· 9 分
设平面 ADC 的一个法向量为 2 2 2( , , )n x y z
，
因为 ( 1, 1,1), ( 2, 2,0)AD AC
则 2 2 2
2 2
0
2 2 0
n AD x y z
n AC x y
，取 2 1x ，得 (1, 1,0)n
······························· 11 分
所以 1cos , 2| | | |
m nm n
m n
，
则二面角 B AD C 的大小为
3
·································································· 12 分
F
C
B
A
D
E
G
H
x
y
z高三数学答案第 3 页 共 5 页（数学是有生命的，题目是有经典的）
20.（12 分）
解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 X ，Y ，
则 ( ) 6000 0.4 7000 0.3 8000 0.2 9000 0.1 7000E X ，
( ) 5000 0.4 7000 0.3 9000 0.2 11000 0. 1 7000E Y ，
2 2( ) (6000 7000) 0.4 (7000 7000 ) 0.3 (8000 7000) 0. 2D X ）
2 2(9000 7000) 0.1 1000 ﹣ ，
2 2 2( ) (5000 7000) 0.4 (7000 7000) 0.3 (9000 7000) 0. 2D Y 2 2(11000 7000) 0.1 2000 ，
则 ( ) ( )E X E Y ， ( ) ( )D X D Y ，································································ 4 分
我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；
或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；
（只要言之有理即给 2 分）·············································································6 分
（2）因为 1 5.5513 5.024k ＝ ，根据表中对应值，
得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是 0.025，························· 7 分
由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的 2 2 列联表如下：
选择甲公司 选择乙公司 总计
男 250 350 600
女 200 200 400
总计 450 550 1000
计算
2
2 1000 (250 200 350 200) 2000 6.734600 400 450 550 297K ，且 2 6.734 6.635K ＝ ，
对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为 0.01，
由 0.01 0.025 ，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．······················· 12 分
21.（12 分）
解:（1）由题意知， 1( ) cos 1f x x x x
， ( 1, )x ································ 1 分
当 )0,1(x 时， 1( ) 1 01f x x xx
， ( )f x 在 )0,1( 上单调递减············· 2 分
当 ,0x 时，令 ( ) ( )h x f x ，
因为 2 2
1 1( ) 1 sin 0(1 ) (1 )h x xx x
所以 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增， ( ) (0) 0h x h
所以当 ,0x 时， ( ) 0f x ， ( )f x 在 (0, ) 上单调递增·····························4 分
所以 min( ) (0) 0f x f ，即 ( ) (0) 0f x f ··················································· 5 分
（2）（ⅰ）由（1）知， ( )f x 在 1(0, )2 上单调递增
因为 81 8ln 2 ln ln 2 0e
所以 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) sin ln 2 sin ln 2 (1 8ln 2)2 2 8 6 8 2 8 2f x f ，······· 7 分
又因为 )2
1,0(1 a ，所以 )2
1,0()( 12 afa ，
1 2 1
1( ) ( ( )) ( ( ( ) )) (0, )2n n na f a f f a f f f a ······························· 8 分高三数学答案第 4 页 共 5 页（数学是有生命的，题目是有经典的）
（ⅱ）函数 )2
10()()( xxxfxg ，则
xxxxfxg
1
11cos1)()(
令 )()( xgx ，则 0)1(
1sin1)( 2
xxx ，所以 ( )x 在 )2
1,0( 上单调递增；
因此 1 1 1 2 1 7( ) ( ) ( ) cos 1 cos 02 2 2 3 2 6g x x
所以 )(xg 在 )2
1,0( 上单调递减·······································································11 分
所以 0)0()( gxg ，因此 0)()(1 nnnnn agaafaa
所以 *Nn ， 1n na a ··············································································12 分
22.（12分）
解:（1）设椭圆C 焦距为 2c ，
因为椭圆C 的短轴长和焦距相等，所以b c ， 2 2 2 22a b c b ①······················ 1分
因为 1 2| | | | 2QF QF a ，所以点Q 在椭圆C 上
将 2(1, )2Q 代入
2 2
2 2 1x y
a b
得： 2 2
1 1 12a b
②················································2分
由①②解得： 2 22, 1a b
所以，椭圆C 的方程为
2
2 12
x y ···································································3分
（2）由题意 2 (1,0)F ，则可设直线l 的方程为： ( 1)y k x
由 2
2
( 1)
12
y k x
x y
得： 0224)21( 2222 kxkxk ········································· 4 分
设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
，
2
1 2 2
2 2
1 2
kx x k
又因为 2 22AF F B
，所以 1 1 2 2(1 , ) 2( 1, )x y x y ， 1 22 3x x
所以
2 2
1 22 2
2 3 2 3,1 2 1 2
k kx xk k
·······································································5 分
所以
2 2 4 2
1 2 2 2 2 2 2
2 3 2 3 4 9 2 2
1 2 1 2 (1 2 ) 1 2
k k k kx x k k k k
··········································· 6 分
解得： 14
2k
所以直线 l 的方程为： 14 14
2 2y x 或 14 14
2 2y x ····························· 7 分
（3）由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为： y kx m
由 2
2 12
y kx m
x y
得： 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m ········································ 8 分
设 3 3( , )A x y ， 4 4( , )B x y ，则 3 4 2
4
1 2
kmx x k
因为直线l 与曲线 lny x 相切于点 ( ,ln )( 0)T t t t
所以 1|x tk y t ， ln 1m t 高三数学答案第 5 页 共 5 页（数学是有生命的，题目是有经典的）
所以 3 4 2
4 (1 ln ) 4
2 3
t tx x t
，整理得 2ln 1 03 3
tt t
···································9 分
令 2( ) ln 1( 0)3 3
tf t t tt
，所以
2
2 2
1 2 1 3 2( ) 3 3 3
t tf t t t t
因为 2( ) 3 2g t t t 在 (0, ) 上单调递增；且 1 1( ) 0, (1) 2 02 4g g
所以，存在 1( 1)2
使得 ( ) 0g ··························································10 分
因此 ( )f t 在 (0, ) 上单调递减，在 ( , ) 上单调递增；所以 ( ) ( )f t f ··········· 11 分
又因为 (1) 0f ，所以 ( ) ( ), ( ) 0f t f f ， 1 3( ) ln 2 1 ln 2 02 2f ，
因此 ( )f t 除零点 1t 外，在 1( , )2
上还有一个零点
所以，符合题意的点T 有两个，其中一个的坐标为 (1,0)T ·································· 12 分
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