试卷 1
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的）
1．设集合 | 1 2 1 3A x x ， 2| logB x y x ，则 A B （）
A． 0,1 B． 1,0 C． 1,0 D． 0,1
2．若复数 z 满足 2 4iz i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是（ ）
A． 2,4 B． 2, 4 C． 4, 2 D．( )4,2
3．《九章算术》是我国最重要的数学典书，曾被列为对数学发展影响最大的七部世界名著之
一.其中的“竹九节“问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列，已
知较粗的下 3 节共容 4 升，较瘦的上 4 节共容 3 升.根据上述条件，请问各节容积的总和是
（ ）
A． 201
22 B． 211
22 C． 601
66 D． 611
66
4．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单
位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散
点图，并求得其回归方程为 1.16 0. 5ˆ 3 7y x ，以下结论中不正确的为（ ）
A．15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15 名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C．可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米
D．身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米，
5．已知 1 3a a ，下列各式中正确的个数是（ ）
① 2 2 7a a ；② 3 3 18a a ；③ 1 1
2 2 5a a
；④ 1 2 5a a
a a
；
A．1 B．2 C．3 D．4
河南省鹤壁市高中 2020 届高三年级线上第四次模拟考试理科数学试卷
试卷满分：150 分考试时间：120 分钟试卷 2
6．函数
2
ln4
xf x x 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线l : 2 0x y 与双曲线C :
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a , 0b )交于 A , B 两点,点
1,4P 是弦 AB 的中点,则双曲线 C 的离心率为( )
A． 4
3 B．2 C． 5
2
D． 5
8．如图，已知点 (2, 0)P ，正方形 ABCD 内接于
⊙ ， M 、 N 分别为边 AB 、 BC 的中点，当正
方形 ABCD 绕圆心O 旋转时， PM ON
的取值范围是（ ）
A．[ 1, 1] B．[ 2, 2] C．[ 2, 2] D． 2 2[ , ]2 2
9．七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写
道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形
内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）
A． 1
16 B． 1
8
C． 3
8
D． 3
16
10．点 , , ,A B C D 在同一个球的球面上， 3AB BC AC ，若四面
体 ABCD 体积的最大值为 3 ，则这个球的表面积为（ ）
A． 289
16
B．8 C．169
16
D． 25
16
11．如图，已知点 ,A B 分别是双曲线 2 2 2:C x y a 和它的渐近线上的点， 1 2,F F 分别
是双曲线C 的左，右焦点，且 1OA OB OF ，则( )
A． 21 1 2AF OF BF OF
B． 1 1 2 2AF OF BF OF
C． 1 2AF AB BF BA
D． 1 2AF AB BF BA 试卷 3
12．已知函数 2( ) 2f x x mx ， Rx ，若方程 2( ) | 1| 2f x x 在 (0,2) 上有两个不
等实根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 5( , 1)2
B． 7( , 1]2
C． 7( , 1)2
D． 5( , 1]2
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）
13．已知 x，y 满足 1
1
y x
x y
y
，则 z＝2x+y 的最大值为_____.
14．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为 40% ，利用计算机产生10组 0
到9之间取整数值的随机数如下，我们用1， 2 ，3 ， 4 表示下雨，用 5 ， 6， 7 ，8 ，9，
0 表示不下雨，这三天中恰有两天下雨的概率约为__________.
907 966 191 925 271 935 812 458 569 683.
15．设 nS 是数列 na 的前 n 项和，且 1 1a ， 1( 1) ( 1)n nn a n S ，则 nS __________．
16．已知
2
2
2 1, 0( ) log , 0
x x xf x x x
，
，，若关于 x 的方程 ( ) 0f x a 有四个实根
1 2 3 4, , ,x x x x ，则这四个根之积 1 2 3 4x x x x 的取值范围________.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、 c ，且满足
sin cos 6b A a B .
（1）求角 B 的大小；
（2）若 D 为 AC 的中点，且 1BD ，求 ABCS 的最大值.
18．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 为正方形，PA 平面
ABCD ， PA AB ， M 是 PC 上一点，且 BM PC .
（1） 求证： PC 平面 MBD ；
（2） 求直线 PB 与平面 MBD 所成角的正弦值.试卷 4
19．（本小题满分 12 分）
已知动圆 M 与直线 1y 相切，且与圆 N： 22 2 1x y 外切
（1）求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程；
（2）点 O 为坐标原点，过曲线 C 外且不在 y 轴上的点 P 作曲线 C 的两条切线，切点分别
记为 A，B，当直线OP 与 AB 的斜率之积为 1 时，求证：直线 AB 过定点.
20．（本小题满分 12 分）
某芯片公司对今年新开发的一批 5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了 100 颗芯片，
所调查的芯片得分均在7，19内，将所得统计数据分为如下：7,9) ，[9,1) ，[11,13) ，
[13,15) ， [15,17) ,[17,19) 六个小组，得到如图所示的频率分布直方图，其中 0.06a b .
（1）求这 100 颗芯片评测分数的平均数；
（2）芯片公司另选 100 颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装
在 3 个工程手机中进行初测｡若 3 个工程手机的评分都达到 13 万分，则认定该芯片合格；
若 3 个工程手机中只要有 2 个评分没达到 13 万分，则认定该芯片不合格；若 3 个工程
手机中仅 1 个评分没有达到 13 万分，则将该芯片再分别置于另外 2 个工程手机中进行二
测，二测时，2 个工程手机的评分都达到 13 万分，则认定该芯片合格；2 个工程手机中只
要有 1 个评分没达到 13 万分，手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工
程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分
方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为 160
元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试．现手机公司测试部门预算的
测试经费为 5 万元，试问预算经费是否足够测试完这 100 颗芯片?请说明理由.试卷 5
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) e 2 1xf x kx ， ( ) 2 ln( 1) ( R)g x k x x k
（1）求函数 ( )f x 的单调区间；
（2）若不等式 ( ) ( ) 0f x g x 对任意 0x 恒成立，求实数 k 的取值范围．
选考部分
请考生在 22、23 两题中任选一题作答.如果多选，则按所做题的第一题计分.
22.（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知曲线 C 的参数方程为
2
(
3
x cos
y sin
为参数),以坐标原点为极
点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 过极坐标系内的两点 π2, 4A
和 π3, 2B
.
(1)写出曲线C 的普通方程,并求直线l 的斜率;
(2)设直线l 与曲线C 交于 ,P Q 两点,求 BP BQ .
23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲
已知函数 2f x x ， 2 1g x x a .
（1）当 1a 时，解不等式 f x g x ；
（2）若 f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围.班级： 姓名： 分数：
答题卷 1
1-5： 6-10： 11-12：
13. 14.
15. 16.
17(12 分)
18（12 分）.
河南省鹤壁市高中 2020 届高三年级线上第四次模拟考试理科数学答题卷班级： 姓名： 分数：
答题卷 2
19（12）
20（12 分）班级： 姓名： 分数：
答题卷 3
21（12 分）
选做（10 分）请在所选题号后括号中画√ 22（ ） 23（ ）
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