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线上市质检数学（理科）试题 第 1 页（共 5 页） 准考证号________________ 姓名________________ （在此卷上答题无效） 保密★启用前 泉州市 2020 届高三毕业班适应性线上测试（一） 理 科 数 学 本试卷共 23 题，满分 150 分，共 5 页。考试时间 120 分钟。 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．选择题请按本校老师规定的方式作答. 非选择题及使用钉钉平台阅卷的多项选择题，请自行 打印答题卡，按照题号顺序在各题目的答题区域内（黑色线框）作答，超出答题区域书写的 答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．没有条件自行打印的，请在空白纸上模仿答题卡 自行画定答题区域, 标明题号，并在相应区域内答题, 超出答题区域书写的答案无效。 3. 答题完毕，请按学校布置的要求，用手机拍照答案并上传到指定的地方，要注意照片的清晰， 不要多拍、漏拍。 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合  2 3 0A x x x   ，  2 0B x x  ≥ ，则 ( ) RIA Bð A． 0 2x x ≤ B.  0 2x x  C． 2 3x x ≤ D． 0 3x x  2．设复数 2(1 i) 1 2iz   ，则 z  A. 10 5 B. 2 5 C. 2 5 5 D. 3 4 3．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度（ mg / ml ）的变化情况，其中点 iA 的横坐标表示服用第i 种药后血药浓度达峰（最高浓度）时间，其它点的横坐标分别表 示服用三种新药后血药浓度首次降到峰值一半时所用的时间(单 位：h)，点 iA 的纵坐标表示第i 种药的血药浓度的峰值 （ 1,2,3i  ）．记 Vi 为服用第i 种药后达到血药浓度峰值时，血药 浓度提高的平均速度，记 iT 为服用第i 种药后血药浓度从峰值首 次降到峰值的一半所用的时间，则 1 2 3V ,V ,V 中最小的， 1 2 3T ,T ,T 中最大的分别是线上市质检数学（理科）试题 第 2 页（共 5 页） A. 2 3V ,T B. 2 2V ,T C. 1 3V ,T D. 1 2V ,T 4．已知 na 是公差为 3 的等差数列．若 1a ， 2a ， 4a 成等比数列，则 na 的前10项和 10S = A．165 B．138 C． 60 D．30 5．若           5 2 3 4 5 0 1 2 3 4 52 1 1 1 1 1 1x a a x a x a x a x a x            ，则 4a  A. 10 B. 10 C. 80 D. 80 6．已知函数  xf 满足 (2 ) ( )f x f x   ，且当 1x 时， 3)( xxf  ，则  xf 的图象在 (0, (0))f 处的切 线方程为 A. 812  xy B. 812  xy C. 812  xy D. 812  xy 7．已知函数 2, 0( ) 3 2 , 0.x x b xf x b x       ≤ 若 ( )f x 在 R 上为增函数，则 A． 0b  B． 0b  C． 0 1b≤ ≤ D． 1b  8．如图，网格纸上每个小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某棱 锥的三视图，则该棱锥的体积为 A． 3 2 B．3 C． 2 3 D． 4 3 9．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式：设 ABC△ 三个内角 A , B ,C 所对的边分别为 ,a ,b c ，面积为 S ，则“三斜求积”公式为 ])2([4 1 2 222 22 bcacaS  ． 若 5sin sin 2c A C  ，且 04))((  cbacba ，则利用“三斜求积”公式可得 ABC△ 的面积 S A． 2 3 B． 2 C． 4 D． 3 10．已知双曲线   2 2 2 2: 1 , 0x yE a ba b    ，斜率为 1 8  的直线与 E 的左右两支分别交于 ,A B 两点，点 P 的 坐标为 1,2 ，直线 AP 交 E 于另一点C ，直线 BP 交 E 于另一点 D ．若直线 CD 的斜率为 1 8  ，则 E 的离心率为 A． 6 2 B． 3 2 C． 5 2 D． 5 2线上市质检数学（理科）试题 第 3 页（共 5 页） 二、多项选择题：本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。不选或选出的选项中含有错误选项得 0 分，只选出部分正确选项得 3 分，选出全部正确选项得 5 分。 11．如图，一个水轮的半径为 m6 ，水轮轴心O 距离水面的高度为 m3 ，已知水轮按逆时针匀速转动，每 分钟转动 5 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时的起始（图中点 0P ）开始计时，记 )(tf 为点 P 距离水面的 高度关于时间 )s(t 的函数，则下列结论正确的是 A． 9)3( f B． )7()1( ff  C．若 ( ) 6f t ≥ ，则  2 12 ,5 12 ( )t k k k    N D．不论t 为何值， )8()4()(  tftftf 是定值 12．已知 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数， (1 ) (1 )f x f x   ．若 (1) 1f  ，则 A．  xf 是周期函数 B．当 n 为偶数时，   0nf C． 2 2 2(1) 2 (2) 3 (3) 6 (6) 16f f f f     D．  22 2 2(1) 2 (2) 3 (3) 4 2 (4 2) 8 8 1f f f n f n n n         三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置。 13． 已知向量 (1,1)a ， (2,1)b ，若 ( ) ( )   a b a b ，则   ____________． 14．已知数列{ }na 的各项均为正数，且 2 1 16n n n n a a aa    *( )nN ，则 4 7 2 5 a a a a   ____________． 15．已知 2: 2 ( 0)C y px p  的准线l 与 x 轴交于点 A ，点 ,B P 在 C 上， ABF△ 是面积为 2 的等腰直角 三角形，则C 的方程为______， PF PA 的最小值为____________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 16．已知三棱锥 P ABC 中，平面 PAB  平面 ABC ， 30PAB   ， 6AB  ， 3 3PA  ， 10CA CB  . 设直线 PC 与平面 ABC 所成的角为 ，则 tan 的最大值为______________．线上市质检数学（理科）试题 第 4 页（共 5 页） 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一） 必考题：共 60 分。 17．（12 分） 如图，已知在平面四边形 ABCD 中， CAB ， ABC ， ACB ， 且 cos (sin sin ) sin (2 cos cos )         ． （1）证明： ABCBCA 2 ； （2）若 CBCA  ， 12  DCDA ，求四边形 ABCD 的面积的取值范围． 18．（12 分） 如图，正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有棱长都为 4 ，D 是 AC 的中点，E 在 1 1AC 边上， 1 13EC A E ． （1）证明：平面 1BC D  平面 1 1ACC A ； （2）设侧面 1 1ABB A 上的动点 F ，满足 EF∥平面 1BC D ． ①请在答题卡的图形中作出点 F 的轨迹草图，并指出该轨迹的形状 （不需要说明理由）； ②求二面角 1C BD F  的余弦值的最大值． 19．（12 分） 设椭圆 2 2 : 14 3 x yC   的右焦点为 F ，过 F 的直线l 与C 相交于 ,A B 两点． （1）若 2AF FB  ，求l 的方程； （2）设过点 A 作 x 轴的垂线交C 于另一点 P ，若 M 是 PAB 的外心，证明： AB MF 为定值．线上市质检数学（理科）试题 第 5 页（共 5 页） 20．（12 分） 某游戏棋盘上标有第 0,1,2, ,100 站，棋子开始位于第 0 站，选手抛掷均匀骰子进行游戏，若掷出骰 子向上的点数不大于 4 ，棋子向前跳出一站；否则，棋子向前跳出两站，直到跳到第99 站或第100站 时，游戏结束．设游戏过程中棋子出现在第 n 站的概率为 nP ． （1）当游戏开始时，若抛掷均匀骰子3 次后，求棋子所走站数之和 X 的分布列与数学期望； （2）证明：  1 1 1 1 1 983 3n n n nP P P P n    ≤ ≤ ； （3）若最终棋子落在第99 站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜．请分析这 个游戏是否公平． 21.（12 分） 已知函数   xxe axxf x ln . （1）当 1a 时,讨论  xf 的极值点个数； （2）若 0x 时，   exf  ，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1l 的参数方程为 4 ,x t y kt     （t 为参数），直线 2l 的普通方程为 1y xk  ，设 1l 与 2l 的交点为 P ，当 k 变化时，记点 P 的轨迹为曲线 C ．以 O 为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系． （1）求 C 的极坐标方程； （2）已知点 ,A B 在C 上， π 4AOB  ，求 AOB△ 的面积的最大值． 23．［选修 4—5：不等式选讲］（10 分） 已知关于 x 的不等式 2 3 2 1x x a x   ≥ 的解集为 R ． （1）求 a 的最大值 m ； （2）在（1）的条件下，若 1p ，且 22  mqppq ，求 qp  的最小值．