数学（理科）参考答案.pdf

深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 1 页 共 5 页 绝密★启用前 试卷类型：A 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试 数 学（理科） 2020.3 本试卷共 23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．设 ，则 的虚部为 3．某工厂生产的 30 个零件编号为 01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取 5 个进行检 测. 若从表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第 5 个零件编号为 34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 4．记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 为 5．若双曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为 6．已知 ，则 7． 的展开式中 的系数为 A． B． C． D． A． B． C． D. A． B． C． D. A． B． C． D. A． B． C． D． A． B． C． D. }3210{ ，，，=A }032|{ 2 0b > (1, 2)− tan 3α = − πsin 2( )4 α + = 7)2( xx − 3x 1− 1 2− 2 25 23 12 0 7 36 32 28 24 3 5 2 5 2 3 5 3 5 − 4 5 4 5 − 168 84 42 21深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 2 页 共 5 页 8．函数 的图像大致为 9．如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某四面体 的三视图，则该四面体的外接球表面积为 A． B． C． D． 10．已知动点 在以 ， 为焦点的椭圆 上，动点 在以 为圆心，半径长为 的圆上，则 的最大值为 11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到 外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线 定理．设点 ， 分别是△ 的外心、垂心，且 为 中点，则 A． B． C． D． 12．已知定义在 上的函数 的最大值为 ，则正实数 的取值个数 最多为 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若 满足约束条件 ，则 的最小值为 ___________． 14．设数列 的前 项和为 ，若 ，则 ___________． A B C D A． B． C． D． A． B． C． D. ( ) 2ln | e 1|xf x x= − − 1 32 3π 3 32π 36π 48π M 1F 2F 2 2 14 yx + = N M 1| |MF 2| |NF O H ABC M BC 3 3AB AC HM MO+ = +    3 3AB AC HM MO+ = −    2 4AB AC HM MO   + = + 2 4AB AC HM MO   + = − π[0 ]4 ， π( ) sin( )( 0)6f x xω ω= − > 3 ω ω yx,    ≤ ≥+− ≥−+ 1 01 022 x yx yx yxz 2−= { }na n nS naS nn −= 2 =6a 2 4 8 16 4 3 2 1 （第 9 题图） 第 9 题图深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 3 页 共 5 页 （第 18 题图） M DN 1D 1C 1B1A C BA 15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码 由 ， ， ， ， 中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型 验证码”(如 )，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是 的概 率为___________． 16．已知点 和点 ，若线段 上的任意一点 都满足：经过点 的所有直线中恰好有两条直线与曲线 相切，则 的最大值为 ___． 三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，△ 的面积为 ， . （1）求 ； （2）若 ， ，求 . 18．（本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形， 点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， . （1）求证： 平面 ； （2）若 ， ， ， 求二面角 的正弦值. 0 1 2 … 9 0123 1 1( , )2M m m − 1( , )2N n n − ( )m n≠ MN P P 21: 2C y x x= + ( 1 3)x− ≤ ≤ | |m n− ABC A B C a b c ABC S 2 2 2+ 2a b c S− = cosC cos sina B b A c+ = 5a = b 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD M N 1C C 1A A 1 2C M MC= 1 2A N NA= 1 //NC BMD 1 3A A = 2 2AB AD= = π 3DAB∠ = N BD M− −深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 4 页 共 5 页 19．（本小题满分 12 分） 已知以 为焦点的抛物线 过点 ，直线 与 交于 ， 两点， 为 中点，且 . （1）当 时，求点 的坐标； （2）当 时，求直线 的方程. 20．（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始 呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区 名患者的相 关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位:天） 人数 （1） 求这 名患者的潜伏期的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表）； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否 超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述 名患者中抽取 人，得到如下列联表. 请将列联表补 充完整，并根据列联表判断是否有 的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期 天 潜伏期 天 总计 岁以上（含 岁） 岁以下 总计 （3）以这 名患者的潜伏期超过 天的频率，代替该地区 名患者潜伏期超过 天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过 天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了 名患者， 其中潜伏期超过 天的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 附： ，其中 . 1000 1000 x 1000 200 95% 50 50 50 55 200 1000 6 1 6 6 6 F 2: 2 ( 0)C y px p= > (1, 2)P − l C A B M AB OM OP OFλ+ =   3λ = M 12OA OB⋅ =  l ]2,0[ ]4,2( ]6,4( ]8,6( ]10,8( ]12,10( ]14,12( 85 205 310 250 130 15 5 6≤ 6> 100 20 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK ++++ −= dcban +++= )( 0 2 kKP ≥ 0k深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 5 页 共 5 页 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 .（其中常数 ，是自然对数的底数） （1）若 ，求函数 的极值点个数； （2）若函数 在区间 上不单调，证明： . （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题 目．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为倾斜角）， 以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求 的直角坐标方程； （2）直线 与 相交于 两个不同的点，点 的极坐标为 ，若 ，求直线 的普通方程． 23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知 为正数，且满足 证明： （1） ； （2） ( ) e ln( 1)xf x a x= − − e=2.718 28⋅⋅⋅ a ∈R ( )f x ( )f x (1,1+e )a− 1 1 1 aa a + >+ xOy 1C    = +−= ,sin ,cos32 α α ty tx t α x 2C θρ sin4= 2C 1C 2C FE, P (2 3,π) PFPEEF +=2 1C , ,a b c 1.a b c+ + = 1 1 1 9a b c + + ≥ 8 .27ac bc ab abc+ + − ≤