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1 六安一中 2019~2020 年度第二学期高二年级开学考试 数学试卷（文科） 命题人： 审题人： 满分：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的． 1．对于常数m 、 n ，“方程 122  nymx 表示的曲线是椭圆”是“ 0mn ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列各数中最大的数是（ ） A． (9)85 B． (6)210 C． (4)1000 D． (2)111111 3．已知双曲线的方程为 2 2 14 9 y x  ，则下列关于双曲线说法正确的是（ ） A．虚轴长为 4 B．焦距为 2 5 C．离心率为 23 3 D．渐近线方程为 2 3 0x y  4．2019 年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不 断刷新，为了解我校高三 2300 名学生的观影情况，随机调查了 100 名在校学生，其中看过 《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有 80 位，看过《中国机长》的学生共有 60 位， 看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有 50 位，则该校高三年级看过《我和 我的祖国》的学生人数的估计值为（ ） A．1150 B．1380 C．1610 D．1860 5．已知变量 x 、 y 之间的线性回归方程为 0.7 10.3y x   ，且变量 x 、 y 之间的一组相关数 据如下表所示，则下列说法错误．．的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A．可以预测，当 20x = 时， 3.7y   B． 4m  C．变量 x 、 y 之间呈负相关关系 D．该回归直线必过点 9,4 6．函数 1( ) ln 1f x x x    的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．若点 P 是函数 2( ) lnf x x x  上任意一点，则点 P 到直线 2 0x y   的最小距离为 （ ） A． 2 B． 2 2 C． 1 2 D．3 8．动点 M 在圆 2 2 25x y  上移动，过点 M 作 x 轴的垂线段 MD ， D 为垂足，则线段 MD 中 点的轨迹方程是（ ） A． 2 24 125 25  x y B． 2 24 125 25  x y C． 2 24 125 25  x y D． 2 24 125 25  x y 9．设函数   2 1f x x  ，若不等式   1 2f x a a    对任意实数 a R 恒成立，则 x 的取 值集合是（ ） A．   , 1 3,   B．    ,21,  C．   , 3 1,   D．   , 2 1,   10．执行如图所示的程序框图，则程序输出 a 的结果为（ ） A． 4 5 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 11．不等式组 2 0 0 1 x y y x       ，所表示的平面区域为 ，用随机模拟方法近似计算 的面积，先产 生两组（每组 100 个）区间 0,1 上的均匀随机数 1x ， 2x ，… 100x 和 1y ， 2y ，… 100y ，由此 得到 100 个点  , 1,2, ,100i ix y i   ，再数出其中满足  2 1,2, ,100i iy x i   的点数为 33，那么由随机模拟方法可得平面区域 面积的近似值为（ ） A．0.33 B．0.66 C．0.67 D． 1 32 12．已知 1 2F F， 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 1 2PF PF ，线段 1PF 的垂直平分线过 2F ，若椭圆的离心率为 1e ，双曲线的离心率为 2e ，则 2 2 2 1 e e  的最小值为 （ ） A． 3 B． 6 C．3 D．6 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知一组数 1，2，m，6，7 的平均数为 4，则这组数的方差为_________. 14．已知点 P 在拋物线 :C 2 16y x 上，且点 P 到 y 轴的距离 6，则点 P 到抛物线C 焦点的距 离为_________. 15．在区间(0,1) 内随机地取出两个数，则两数之和小于 6 5 的概率是_________. 16．若直线 y kx b  )1( k 既是曲线 lny x 的切线，又是曲线 xeey  2 1 的切线，则 k _________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 设函数 12)( 2  xxaxexf x . （1）若 1a ，求 ( )f x 的极值； （2）若 ( )f x 在 ,0 上单调递减，求实数 a 的最大值． 18．（本小题满分 12 分） 2018 年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等 8 省市开始实行新高 考制度，从 2018 年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某校组织了一次新 高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受 到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （1）求该班数学成绩在 50,60 的频率及全班人数； （2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分； （3）若规定90 分及其以上为优秀，现从该班分数在80分及其以上的试卷中任取2 份分析学生 得分情况，求在抽取的 2 份试卷中至少有1份优秀的概率. 19．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  bab y a xC 的焦距为 22 ，离心率为 2 2 . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若点  1,0A ，点 B 在椭圆C 上，求线段 AB 长度的最大值． 20．（本小题满分 12 分） 设函数 )(,)1(ln)( Raxaxxf  . （1）讨论函数  f x 的单调性； （2）当函数  f x 有最大值且最大值大于3 1a  时，求 a 的取值范围． 21．（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 : 4 xC y  与直线 : 4l y kx  交于 M ， N 两点. （1）当 0k  时，分别求抛物线C 在点 M 和 N 处的切线方程； （2） y 轴上是否存在点 P ，使得当 k 变动时，总有 OPM OPN   ？说明理由. 注意：以下请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 已知曲线C 的参数方程为 3 2 , 1 2 , x cos y sin        （ 为参数），以直角坐标原点为极点， x 轴非 负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）若直线l 的极坐标方程为 1sin 2cos    ，求曲线C 上的点到直线l 的最小距离． 23．选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数  ( ) 2 1f x x a x a R     . （1）当 1a 时，求 ( ) 2f x  的解集； （2）若 ( ) 2 1f x x  的解集包含集合 1 ,12      ，求实数 a 的取值范围．