高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 1页
2019-2020 学年度第二学期高三年级第一次月考
高三年级理科数学试卷
（考试时间：120 分钟总分：150 分）
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 2 2 0 , 1,0,1A x R x x B ，则 A B （ C ）
A． -1,0,1 B． 1,0 C． 0,1 D． 0
2.已知复数 z 满足：（2＋i）z＝1－i，其中 i 是虚数单位，则 z 的共轭复数为（ D ）
A. 1
5
－ 3
5 i B. 1
3 i C. 1
3 i D. 1
5
＋ 3
5 i
3.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S5＝4，S10＝10，则 S15＝( D )
A.16 B. 25 C.20 D.19
4.点 1,1M 到抛物线 22y ax 准线的距离为 2，则 a 的值为( C )
A. 1 B. 1 或 3 C. 1
8
或 1
24
D. 1
4
或 1
12
5.如图所示的程序框图，若输出的结果为 4，则输入的实数 x 的取值范围是
（A ）
A.
1 8,27 9
B. 8 1,9 27
C. 12, 9
【解析】
1n ， 12x≥ ，否， 3 1x x ； 2n ，否， 3 1 3 1 9 4x x x ；
3n ，否， 9 4 3 1 27 13x x x ； 4n ， 12x≥ ，是，即 27 13 12x ；
解不等式 27 1x ， 1
27x ，且满足9 4 12x ， 8
9x ，
综上所述，若输出的结果为 4，则输入的实数 x 的取值范围是 1 8
27 9
， ，
6.在 ABC 中，角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c，若 2a b c ，则 cosC 的最小值为( B )高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 2页
A. 1
2
B. 1
2 C. 2
2
D. 3
2
7.已知两点 2,0A ， 2,0B 以及圆 C： 2 2 24 3x y r （ 0r ），若圆 C 上存在点 P，满足
0PA PB ，则 r 的取值范围是( B )
A. 3,6 B. 3,7 C. 4,7 D. 4,6
【详解】由于圆 C 上存在点 P，满足 0PA PB ，故以 AB 为直径的圆O 与圆C 有公共点.圆O 的圆心
为 0,0 ， 半 径 为 2 . 圆 C 的 圆 心 为 4,3 ， 半 径 为 r 所 以 2 2r OC r ， 而
2 24 3 5OC ，所以 2 5 2r r ，解得3 7r .
8.给出下列说法：①设 0x ， y R ，则“ x y ”是“ x y ”的充分不必要条件；②若
1
1f x x x
，则 0 0,x ，使得 0 1f x ；③ na 为等比数列，则“ 1 2 3a a a ”是
“ 4 5a a ”的充分不必要条件；④命题“ x R ， x N ，使得 2n x ”的否定形式是“ x R ，
n N ，使得 2n x ” .其中正确说法的个数为( B )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【详解】对于①，当“ x y ”时，如1 2 ，结论1 2 错误，“ x y ”不是“ x y ”的充分条
件，故①错误.对于②，当 0x 时， 1 11 1 2 1 1 11 1f x x xx x
，当且仅当
11 , 01x xx
时 等 号 成 立 ， 所 以 1f x ， 故 ② 错 误 . 对 于 ③ ， 在 等 比 数 列 na 中 ， 当
“ 1 2 3a a a ”时，所以等比数列 na 是单调递增数列，所以“ 4 5a a ”.当“ 4 5a a ”时，如
1, 2,4, 8,16, ，不能推出“ 1 2 3a a a ”.所以③正确.对于④，命题“ x R ， x N ，使得
2n x ”的否定形式是“ x R ， n N ，使得 2n x ”，故④错误.综上所述，正确说法个数为1个.
9.已知某几何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( A )
A. 8 B. 4
C. 2 2 D. 2高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 3页
10.不等式组
1 0
2 0
0
x
x y
y
表示的点集记为 A，不等式组
2
1 0
2 0
x
x y
y x
表示的点集记为 B，在 A 中任取
一点 P，则 P B 的概率为( C )
A. 4
9 B. 2
3 C. 20
27 D. 7
16
【详解】点集 A 表示的图像为如图所示三角形 ABC ，点集 B 表示的图像为如
图所示阴影部分.由于三角形 ABC 的面积为 1 93 32 2
，阴影部分的面积为
1 2
1
2x x dx
2 3
1
12 |2 3
x xx
7 13 10
6 6 3
.所以所求的概
率为
9
202
10 27
3
.
11.椭圆
2 2
2 2: 1x
aC y
b
0a b 的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 A，B
两点，F1A 与 y 轴相交于点 D，若 BD⊥F1A，则椭圆 C 的离心率等于（ D ）
A． 1
3 B． 3 C． 1
2 D． 3
3
【解析】由题意可得，
2
( , )bA c a
，
2
( , )bB c a
，
则点 D 为 1F A的中点，
2
(0, )2
bD a
，由 1BD F A ，得 1
1BD F Ak k ，即
2 2 2
2 12
b b b
a a a
c c
，整
理得 23 2b ac ， 2 23( ) 2a c ac ，∴ 23 +2 3 0e e ，解得 3
3e ．
12.已知函数 3( ) logf x x 的图象与函数 ( )g x 的图象关于直线 y x 对称，函数 ( )h x 是最小正
周期为 2 的偶函数，且当 [0,1]x 时， ( ) ( ) 1h x g x ，若函数 ( ) ( )y k f x h x 有 3 个零点，
则实数 k 的取值范围是（ B ）
A． 71,2log 3 B． 52, 2log 3
C． 52log 3, 1 D． 7
1log 3, 2
解析】由函数 3( ) logf x x 的图象与函数 ( )g x 的图象关于直线 y x 对称，得 ( ) 3xg x ，
函数 ( )h x 是最小正周期为 2 的偶函数，当 [0,1]x 时， ( ) ( ) 1 3 1xh x g x ，高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 4页
函数 ( ) ( )y k f x h x 有 3 个零点，即 3log ( )k x h x 有 3 个不同根，
画出函数 3logy k x 与 ( )y h x 的图象如图：
要使函数 3logy k x 与 ( )y h x 的图象有 3 个交点，
则 0k ，且 3
3
log 3 2
log 5 2
k
k
，即 52 2log 3k ，
∴实数 k 的取值范围是 52, 2log 3 ，故选 B．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填在题中的横线上.
13.已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足当 0x 时， 3lnf x x x
，则曲线 y f x 在点
1, 1f 处的切线斜率为______．【答案】 4
14.如果 13
n
x x
的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 4
1
x
的系数是______ .【答案】-189
15.已知 ABC 中， 3AC ， 4BC ，
2C ，点 P 为 ABC 外接圆上任意一点，则 CP AB AC
的最大值为______.【答案】18
16.在数列 na 中， 1
1
3a ， 1
1 3
3n n na a a
， Nn ，且 1
3n
n
b a
.记 1 2n nP b b b ，
1 2n nS b b b ，则 13n
n nP S ______.【答案】3
【详解】由于 1
1 3
3n n na a a
， 1
3n
n
b a
，
所以
13
n
n
n
ab a
， 1 2n nP b b b 31 2 1
2 3 4 1 13 3 3 3 3
n
n
n n
a aa a a
a a a a a
，.
又 1
1 3 1 1
3 3n n n n na a a a a
，∴
1
1 1
n
n n
b a a
，
所以 1 2n nS b b b
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
n na a a a a a
1
13
na
.所以高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 5页
13n
n nP S 1 1
1 1
13 3 33
n
n
n n
a
a a
.
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.(12 分)在锐角三角形 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，
已知.
（1）求角C 的大小； （2）求 2 2cos cosA B 的取值范围．
试题解析：（1）因为 sin sin sin sina c A C b A B ，由正弦定理得
a c a c b a b ，即 2 2 2a b c ab ，则
2 2 2 1
2 2
a b c
ab
根据余弦定理得 1cos 2C
又因为 0 C ，所以
3C ……………………5 分
（2）因为
3C ，所以 42 23B A
则 2 2 1 cos2 1 cos2 1cos cos 1 cos2 cos22 2 2
A BA B A B
1 41 cos2 cos 22 3A A
1 1 31 cos2 sin22 2 2A A
11 cos 22 3A
——8 分
因为三角形 ABC 为锐角三角形且
3C ，所以
6 2A
则 2 423 3 3A 所以 11 cos 2 6 2A ，
所以 2 21 3cos cos2 4A B
即 2 2cos cosA B 的取值范围为 1 3
2 4
，
。…。…。……12 分
18.如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为边 AD 上的点，点 F
为边 CD 的中点， 2
3AB AE AD ，现将 ABE 沿
BE 边折至 PBE 位置，且平面 PBE 平面 BCDE .
(1) 求证：平面 平面 ；
(2) 求二面角 的大小.
试题解析：(1) 证明:由题可知：折前
( )(sin sin ) (sin sin )a c A C b A B 高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 6页
，
…
…。6 分
（2）不妨设 3AD ，以 D 为原点，以 DC 方向为 x 轴，以 ED 方向为 y 轴，以与平面 EBCD 向上的
法向量同方向为 z 轴，建立空间直角坐标系 .................7 分
则
设平面 PEF 和平面 PCF 的法向量分别为
，
由 1 0n FP 及 可得到 即 ，不妨取
又由 2 0n FP 及 可得到 即
不妨取 ’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’’9 分
..................................11 分
综上所述，二面角 大小为 .........................12 分.
19.某土特产超市为预估 2020 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2019 年元旦期间的 90 位游客购买
情况进行统计，得到如下人数分布表。
(1)根据以上数据完成 2×2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别有关。高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 7页
(2)为吸引游客。该超市推出一种优惠方案。购买金额
不少于 60 元可抽奖 3 次。每次中奖概率为 p(每次抽奖
互不影响，且 p 的值等于人数分布表中购买金额不少
于 60 元的频率)，中奖 1 次减 5 元，中奖 2 次减 10 元，
中奖 3 次减 15 元。若游客甲计划购买 80 元的土特产，请列出实际付款数 X(元)的分布列并求其数学期
望。附：参考公式和数据：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，n＝a＋b＋c＋d。
附表：
20.已知椭圆Ω：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的焦距为 2 6 ，短轴长为 2 2 。
(1)求Ω的方程；
(2)直线 l1：y＝kx＋m(k≠0)与Ω相切于点 M，l1 与两坐标轴的交点为 A 与 B，直线 l2 经过点 M 且与 l1
垂直，l2 与Ω的另一个交点为 N。当 AB 取得最小值时，求△ABN 的面积。高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 8页
21.已知函数 13 ln 3f x a x axx
（ 0a ）.
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若对任意的 3,4a ， 1x ， 2 1,2x 恒有 1 2ln 2 3ln 2m a f x f x 成立，求实数 m
的取值范围.
【详解】（1）由
2 2
3 1 13 1 3 x axaf x ax x x
（ 0x ）
①当 0 < < 3a 时， f x 在 10, 3
和 1 ,a
上是减函数，在 1 1,3 a
上是增函数；
②当 3a 时， f x 在( )0,+¥ 上是减函数；
③当 3a 时， f x 在 10, a
和 1 ,3
上是减函数，在 1 1, 3a
上是增函数…………。5 分高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 9页
（2）当3 4a 时，由（1）可知 f x 在 1,2 上是减函数，
∴ 1 2
11 2 3 ln 2 32f x f x f f a a
由 1 2ln 2 3ln 2m a f x f x 对任意的 3,4a ， 1 2 1,2x x 恒成立，
∴ 1 2 maxln 2 3ln 2m a f x f x
即 1ln 2 3ln 2 3 ln 2 32m a a a 对任意3 4a 恒成立，
即 13 2m a 对任意3 4a 恒成立，
设 13 2h a m a ，则
1913 3 0 62
1 25 193 4 02 8 6
mm
m m m
.————，12 分
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
2
2
21 2
x t
y t
，(t 为参数)，曲线 C 的参数方程为
cos
sin
x m
y a n
(m>0，n>0，α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲
线 C 的极坐标方程为ρ＝8sinθ。
(1)求 a，m，n 的值；
(2)已知点 P 的直角坐标为(0，1)，l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|。
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)＝3|x＋1|－|2x－4|。
(1)求不等式 f(x)>3 的解集；
(2)若对任意 x∈R，不等式 f(x)－|x－2|≤t2－8t 恒成立，求 t 的取值范围。高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 10页高三年级理科数学试卷 共 10 页 第 11页
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