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江苏省海安中学高三数学模拟考试数学试卷 数学 1 方差公式 2 2 2 2 12 1[( ) ( ) ( ) ]ns x x x x x xn       ，其中 12 1 ()nx x x xn    ． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案 直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合 { 0 2}A x x   ， { 1}B x x，则 AB ▲ ． 2．复数 (1 )z i i的共轭复数在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限． 3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况,现随机抽测了通 过这段公路的 200 辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80] 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 200 辆汽车 中，时速在区间[40,60]内的汽车有 ▲ 辆． 4．袋中装有 5 个大小相同的球，其中 3 个黑球，2 个白球，从中一次摸出 2 个球，则摸出 1 个黑球和 1 个白球的概率等于 ▲ ． 5．在一次知识竞赛中，抽取 5 名选手，答对的题数分布情况如下表，则这 组样本的方差为 ▲ ． 6．如右图所示的算法流程图中，最后输出值为 ▲ ． 7．已知 m ， n 是两条不同的直线， ，  是两个不同的平面． ①若 m  ，m  ，则  ； ②若 ， n ， ，则 mn ； ③若 ，n  ， //，则 //mn； ④若 //m ，m  ， n ，则 //mn． 上述命题中为真命题的是 ▲ ．（填写所有真命题的序号）． 答对题数 4 8 9 10 人数分布 1 1 2 1 第 6 题图 (第 3 题图) (第 5 题表) 8.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷 22 题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺， 今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天 织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布 5 尺，一个月（30 天）共织布 9 匹 3 丈，则该女子每天织尺布的增加量为 ▲ 尺．（1 匹=4 丈，1 丈=10 尺） 9．若 cos 2cos( )4，则 tan( )8  ▲ ． 10．如图，已知O 为矩形 ABCD内的一点，且 2OA  ， 4OC  ， 5AC  ，则 OB OD ▲ ． 11．已知关于 x 的方程 ( ) 1x x a在( 2, )  上有三个相异实根，则 实数 a 的取值范 围是 ▲ ． 12．已知 0, 0ab，且 111ab，则32baba的最小值等于 ▲ ． 13．如图，已知 8AC ，B 为 AC 的中点，分别以 AB, AC 为直径在 AC 的 同侧作半圆， M, N 分别为两半圆上的动点（不含端点 A B C， ， ），且 BM BN ，则 AM CN 的最大值为 ▲ ． 14．若关于 x 的不等式 323 + 0x x ax b   对任意的实数 [1,3]x 及任意的实数 [2,4]b 恒成 立，则实数 a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．已知△ABC 内接于单位圆（半径为 1 个单位长度的圆），且 (1 tan )(1 tan ) 2AB   ． （1）求角C 的大小； （2）求△ABC 面积的最大值． 16．如图，在四面体 ABCD 中， AB AC DB DC   ，点 E 是 BC 的中点， 点 F 在线段 AC 上，且 AF AC  ． （1）若 EF//平面 ABD，求实数  的值； （2）求证：平面 BCD  平面 AED． （第 16 题图） E A B C D F BA O CD (第 10 题图) 17． 如图，长方形材料 中，已知 ， ．点 为材料 内部一 点， 于 , 于 ，且 ， ．现要在长方形材料 中裁剪出四边形材料 ，满足 ，点 M，N 分别在边 AB，AD 上． （1）设 ，试将四边形材料 的面积 表示为 的函数，并指明 的取 值范围； （2）试确定点 在 上的位置，使得四边形材料 的面积 最小，并求出其最 小值． 18．已知椭圆 E ： 2 2 29x y m （ 0m  ），直线l 不过原点 O 且不平行于坐标轴，l 与 有两个交点 ,AB，线段 AB 的中点为 M ． （1）若 3m ，点 K 在椭圆 上， 1F 、 2F 分别为椭圆的两个焦点，求 21 KFKF  的范围； （2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （3）若l 过点 ( , )3 mm ，射线 与椭圆 交于点 P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由． ABCD 23AB  4AD  P ABCD PE AB E PF AD F 1PE  3PF  ABCD AMPN 150MPN   FPN  AMPN S   N AD AMPN S θ P A D C BM N E F (第 17 题图) 19．已知函数 ( ) e xf x a ， ( ) ln lng x x a ，其中 a 为常数，且曲线 ()y = f x 在其与 y 轴的交点处的切线记为 1l ，曲线 ()y = g x 在其与 x 轴的交点处的切线记为 2l ，且 12l / / l ． （1）求 12，l l 之间的距离； （2）若存在 x 使不等式 ()  xm xfx 成立，求实数 m 的取值范围； （3）对于函数 ()fx和 ()gx的公共定义域中的任意实数 0x ，称 00| ( ) ( )|f x g x 的值为 两函数在 处的偏差．求证：函数 和 在其公共定义域内的所有偏差都大于 2． 20．设数列 {}na 的前 n 项和为 nS ， 2 + 3nnSa ， *Nn ． （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 {}nb 满足：对于任意的 ，都有 1 1 2 1 3 2 1 1= 3 33         n n n n na b a b a b a b n 成立． ①求数列 的通项公式； ②设数列 n n nc = a b ，问：数列{}nc 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在， 求出这三项；若不存在，请说明理由． 数学（理科）附加题 说明：1．以下题目的答案请直接填写在答卷上． 2．本卷总分 40 分，考试时间 30 分钟． 21．【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．． 内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． A．[选修 4—1：几何证明选讲]（本小题满分 10 分） 如图，四边形 ABCD 内接于圆O ，弧 AB 与弧 AD 长度相等，过 A 点的切线交 CB 的延 长线于 E 点．求证： 2 = AB BE CD ． B．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分） 已知矩阵 A     23 12 ，列向量     y xX ，     7 4B ，且 BAX  . （1）求矩阵 A 的逆矩阵 1A ； （2）求 ,xy的值． C．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） 已知点 P 在曲线 C：  x＝4cosθ y＝3sinθ （为参数）上，直线 l：   x＝3＋ 2 2 t， y＝－3＋ 2 2 t （t 为参数）， 求 P 到直线 l 距离的最小值． D．[选修 4—5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知 x，y，z 均为正数．求证： 1 1 1x y z yz zx xy x y z   ≥ ． A E B C D O · （第 21-A 题） 22.如图所示，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，CA＝4，CB＝4，CC1＝2 2，∠ACB＝90°，点 M 在线段 A1B1 上. （1）若 A1M＝3MB1，求异面直线 AM 和 A1C 所成角的余弦值； （2）若直线 AM 与平面 ABC1 所成角为 30°，试确定点 M 的位置． 23．在平面直角坐标系 xOy 中，已知焦点为 F 的抛物线 yx 42  上有两个动点 A 、B ，且 满足 FBAF  , 过 、 B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为 M ． （1）求：  OA  OB的值； （2）证明： ABFM  为定值．