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银川一中 2020 届高三年级第一次模拟考试（理科）参考答案 一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D A C B D B C B C B A 二、填空题： 13、 3 5  14、 5 8 15、1或3 16、45 三、解答题： 17、解析：（1）由  sin 2 sin 0b A a A C   得 sin 2 sin sinb A a B b A  ，……3 分 又0 πA  ，所以sin 0A  ，得 2cos 1A  ，所以 π 3A  ．……6 分 （2）由 ABC△ 的面积为 3 3 2 及 π 3A  得 1 π 3 3sin2 3 2bc  ，即 6bc  ，……8 分 又 3a  ，从而由余弦定理得 2 2 2 cos 9b c bc A   ，所以 3 3b c  ，……10 分 所以 1 1 3 2 b c b c bc    ．……12 分 18、解析：（Ⅰ）由茎叶图知分数在[50,60) 的人数为 4 人；[60,70) 的人数为 8 人；[70,80) 的人数为 10 人.……2 分 总人数为 4 320.0125 10  ………………………………….3 分 分数在[80,100) 人数为32 4 8 10 10    人 频率为 10 5 32 16  …….5 分 （Ⅱ）[80,90) 的人数为 6 人；分数在[90,100) 的人数为 4 人…………………………………6 分 X 的取值可能为 0,1,2,3 3 6 3 10 20 1( 0) 120 6 CP X C     ， 2 1 6 4 3 10 60 1( 1) 120 2 C CP X C     ……….8 分 1 2 6 4 3 10 36 3( 2) 120 10 C CP X C     ， 3 4 3 10 4 1( 3) 120 30 CP X C     ……….10 分 分布列为： X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30    5 6xE  ………………………………….12 分 19、解析：（1） , (1)PA PE OA OE PO AE       ……1 分 取 BC 的中点 F ，连 , ,OF PF OF ∥ ,AB OF BC  因为 ,PB PC BC PF   且 FOFPF  ,所以 BC  面 POF ………3 分 从而 (2)BC PO    ………………………………5 分 由（1）（2）且 BC 与 AE 相交，可得 PO  面 ABCE ……………………6 分 （2）作 OG ∥ BC 交 AB 于 G ，可知 OG、OF、OP 两两垂直，建立直角坐标系{ , , },OG OF OP    ……7 分 (1, 1,0), (1,3,0), ( 1,3,0), (0,0 2)A B C P  ( 2,4,0), ( 1,1, 2), (0,4,0)AC AP AB       …………………………8 分设平面 PAB 的法向量为 ( , , )n x y z  2 0 2,0,1 4 0 n AP x y z n n AB y                  …………………………………………10 分 AC 与面 PAB 所成角 的正弦值 sin | cos  ＜ ,n AC   ＞|= 30 15 ………………………12 分 20、解析：(Ⅰ)设椭圆方程为 )0(12 2 2 2  ba b y a x ，由题意知 b=1, -------1 分 且离心率 2 2 1 a b a ce  = 3 6 ，得 32 a . -------------3 分 所以椭圆的方程为 13 2 2  yx --------4 分 (Ⅱ) 由题意设 ),(),,(),0,(),,0( 22110 yxNyxMxQmP ，设 l 方程为 )( mytx  ， 由 MQPM 1 知 ),(),( 110111 yxxmyx   ∴ 111 ymy  ，由题意 01  ，∴ 1 1 1  y m --------6 分 同理由 2PN NQ  知 2 2 1m y    ∵ 321   ，∴ 0)( 2121  yymyy （*） ------8 分 联立      )( 33 22 mytx yx 得 032)3( 22222  mtymtyt ∴需 0)3)(3(44 22242  mtttm （**） 且有 3 3, 3 2 2 22 212 2 21     t mtyy t mtyy （***） -------10 分 （***）代入（*）得 023 222  mtmmt ，∴ 1)( 2 mt ， 由题意 0mt ，∴ 1mt (满足（**）)得 l 方程为 1 tyx ,过定点(1,0),即 P 为定点. -------12 分 21、解析：由   1f x ax bx     ，得  1 1f a b    ， ……1 分 l 的方程为   1 1 1 12y a b a b x           ，又l 过点 1 1,2 2      ， ∴  1 1 11 1 12 2 2a b a b                 ，解得 0b  ． ……3 分 ∵        211 ln 1 12g x f x a x x ax a x        ， ∴         2 1 11 11 1 0 a x xax a x ag x ax a ax x x                  ，……4 分 当 10,x a     时，   0g x  ，  g x 单调递增；当 1 ,x a      时，   0g x  ，  g x 单调递减； 故     2 max 1 1 1 1 1 1ln 1 1 ln2 2g x g a a aa a a a a                  ． ……6 分（2）证明：∵ 4a   ，∴     2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 23 ln 2 1 ln 2 1 3f x f x x x x x x x x x x x x x                 2 1 2 1 2 1 2 1 2ln 2 2 2x x x x x x x x       ，∴    2 1 2 1 2 1 2 1 22 lnx x x x x x x x     ． ……8 分 令  1 2 0x x m m  ，   lnm m m   ，   1mm m    ， 令   0m  得0 1m  ；令   0m  得 1m  ． ∴  m 在 0,1 上递减，在 1, 上递增，∴    1 1m  ≥ ， ……10 分 ∴  2 1 2 1 22 1x x x x   ≥ ， 1 2 0x x  ，解得 1 2 1 2x x ≥ ． ……12 分 22、解析：（Ⅰ）曲线 1 1 cos: (sin xC y       为参数）可化为普通方程: 2 2( 1) 1x y   ，………2 分 由 cos sin x y        可得曲线 1C 的极坐标方程为 2cos  ，………3 分 曲线 2C 的极坐标方程为 2 2(1 sin ) 2   ．………5 分 （Ⅱ）射线 ( 0)6    与曲线 1C 的交点 A 的极径为 1 2cos 36    ，………6 分 射线 ( 0)6    与曲线 2C 的交点 B 的极径满足 2 2 2 (1 sin ) 26    ，解得 2 2 10 5   ，………8 分 所以 1 2 2 103 5AB      ．………10 分 23、解析： 2 3 ( 2) ( 3) 5x x x x        ， ………2 分 若不等式 2 3 1x x m     有解，则满足 1 5m   ，………3 分 解得 6 4m   .∴ 4M  . ………5 分 （2）由（1）知正数 , ,a b c 满足 2 4a b c   ， ∴ 1 1 1 1 1[( ) )]( )4 a b b ca b b c a b b c          ………7 分 1)22(4 1)2(4 1      cb ba ba cb cb ba ba cb ………9 分 （当且仅当 , 2a c a b   时，取等号.）………10 分