2020届江西南昌四校联盟高三年级第二次联考理科数学试卷.pdf

2020 届四校联盟高三年级第二次联考试卷数学试卷（理科）第 1 页共 4 页 2020 届四校联盟高三年级第二次联考试卷 数学试卷（理科） 考试时间:120 分钟 总分:150 分 2020.3.29 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求） 1．已知集合 ， ，则 A. B. C. D. (1, + ∞) 2．设复数 ，定义 ，若 ，则复数 A. B. C. D. 3．已知函数 ，若 ， ， ，则 a，b，c 的大 小关系是 A. 푎 < 푏 < 푐 B. 푐 < 푎 < 푏 C. 푏 < 푎 < 푐 D. 푏 < 푐 < 푎 4．已知 是两个不重合的平面，直线 , ,直线 , ， ， ， ，则 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5． 的展开式中 的项的系数为 A.120 B.80 C.60 D.40 6．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率 建立了严密的理论和完善的算法。所谓割术，就是用圆内接正多 边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。按照 这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 边形， 如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的 , 则 的值可以是 （参考数据： ， , ） A. B. C. D.  0322  xxxA  12  xyyB  BA  2,3  3,1  3,1-  Rbabiaz  , aib  i i  2 z i5 3 5 1  i5 3 5 1  i5 1 5 3  i5 1 5 3    xxxf cos23   23fa   2fb   7log2fc  ， 1AA A  1 1AA A  1BB B  1 1BB B  11 BBAA ∥  ∥:p 11: BBAAq  p q   52212 xx  8x 3072 24n p 2588.015sin  1305.05.7sin  0654.075.3sin  6.2 3 1.3 14.32020 届四校联盟高三年级第二次联考试卷数学试卷（理科）第 2 页共 4 页 7．函数 图象的大致形状是 . A B C D 8．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算．算筹 实际上是一根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数1～9的一种方法，例如：47 可 以表示为“ ”，如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至 少要用 8 根小木棍的概率为 A. B. C. D. 9. 已知正三角形 的边长为 ，平面 ABC 内的动点 P，M 满足 , ,则 的最大值是 A. B. C. D. 10. 已知 P 为双曲线 上一点，퐹1，퐹2为双曲线 C 的左、右焦点， 若 |푃퐹1| = |퐹1퐹2|，且直线푃퐹2与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为 A. B. C. D. 11. 已知函数 ，有下列四个结论： ①若 ，则 有 2 个零点， ② 最小值为 ③ 푓(푥)在区间 单调递减 ④ 是 的一个周期 则上述结论中错误的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 12. 已知函数 ，若不等式 上 恒成立，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分 ，共 20 分） 13. 若 ，则 =_________ .   xexf x sin11 2       14 11 14 3 84 73 7 6 ABC 32 1AP MCPM  2 BP BM BC    441 4 4 49 4 3637  4 33237   0,01: 2 2 2 2  bab y a xC xy 3 4 xy 4 3 xy 5 3 xy 3 5   xxxf 2coscos   ,x  xf  xf 2 2      40 ，  ( )f x ( ) ln 2f x a x x  ( 1) 2 xf x ax e   (1, ) a  2,   4,   4,   , 2  21 ( sin ) 11 ax b x dx  cos( )6a  2020 届四校联盟高三年级第二次联考试卷数学试卷（理科）第 3 页共 4 页 14. 函数 ，其中 为数列 的前 项和，若 ，则 _______. 15. 已知 两点都在以 为直径的球 的表面上， ， ， ，若球 的体积为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_________ . 16.在平面直角坐标系中，已知双曲线 的渐近线为 ， ， 是双曲线上 一点，过 作双曲线的切线 与直线 交于 ，过 作 与双曲线交于 ，...，以此类推，过 作双曲线的切线 与直线 交于 ，过 作 与双曲线交于 ，若 ，则数列 的前 项和是_____. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. (本小题满分 12 分)在 中， ，角 的平分线 交 于点 , 设 （1）求 ； （2）若 ，求 的长 18．(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为 的中点， 与 相交于点 (1)证明： 平面 ． (2)求直线 与平面 所成角的正弦值． 19. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 中，点 ， 是曲线 上的任意一 点，动点 满足 ． (1)求点 的轨迹方程； (2)经过点 的动直线 与点 的轨迹方程交于 A，B 两点，在 轴上是否存在定点 ( 异于点 )，使得 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由．       1 2 8f x x x S x S x S    nS  na n   1 1na n n   0f   BA, PC O BCAB  2AB 4BC O 68 PB AC 1: 22  yxC 1l 2l  111 ,baG 1G 11HG 1l 1H 1H 212 lHG ∥  222 ,baG  nn baG ,n nn HG 1l nH nH 21 lHG nn ∥  111n ,  nn baG 11 a  na n ABC 4B  A AD BC D ,BAD   5sin ,5  sinC 28BA BC   AC P ABCD AP  PCD BCAD∥ BCAB  ADBCABAP 2 1 E AD AC BE O PO  ABCD BC PBD xoy  2,0M  N 21 24x y  C 0MC NC    C  1,0P l C x D P ADP BDP   D2020 届四校联盟高三年级第二次联考试卷数学试卷（理科）第 4 页共 4 页 20. (本小题满分 12 分)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个 人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 分钟，如果有一个人 分钟内不能完成 任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务 的概率分别为 ，若 互不相等，假定各人能否完成任务的事件相互独立． (1)如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被 派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？ (2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 ，其中 是 的一个排列，求所需派出人员数目 的分布列和均值 (数学期望)； (3)假定 ，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 的均值(数学期望)达到最小． 21. (本小题满分 12 分)已知函数 ，其中 为自然对数的底数. （1）设函数 ，判断 在 上的单调性； （2）若函数 在定义域内无零点，试确定正数 的取值范围. （二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分) [选修 4−4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 中，直线 的倾斜角为 ，且经过点 .以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ，从原点 作射线交 于点 ，点 为射线 上的点，满足 ，记点 的轨迹为曲线 . （1）求出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 交于 两点，求 的值. 23．(本小题满分 10 分) [选修 4−5：不等式选讲] 已知 ， ， 设函数 （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若函数 的最小值为 ，证明： 10 10 1 2 3, ,p p p 1 2 3, ,p p p 1 2 3, ,q q q 1 2 3, ,q q q 1 2 3, ,p p p X EX 1 2 31 p p p     4 2 xexf x  e      xfxxg  1 ( )g x ( 1, )  ( ) ln( 1) ( ) 4F x x af x    a xoy 1l 30  1,2A x 3cos:2 pl O 2l M N OM 12 ONOM N C 1l C 1l C QP, AQAP  0a 0b 0c    Rxacxbxxf  1 cba   5xf  xf 1  cbaaccbba  18941