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... 数学试题 总分:150 分 时量:120 分钟 一.选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．已知i 为虚数单位，则 2(1 )i 的值等于 ( ) A. 2 2i B. 2 2i C. 2i D. 2i 2．若集合  12|  xxA ,集合 B= 0lg| xx ,则" Ax "是" Bx "的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数 xxy 23  的导函数是 ( ) 2ln223. 2ln223. 22. 23. 32 2 3 2 xxyD xyC xyB xyA xx xx x x     4. 所成角的与的中点，则异面直线和分别为、中在正方体 BFEACDABF, 11 EAC 余弦值为 ( ) 10 7D. 5 1 5 1-C.5 1B.5 1-A. 或 5．已知 1F ， 2F 分别是双曲线 C ： 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的左、右焦点，以 1 2F F 为直 径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P ，若双曲线的离心率为 5，则 2 1cos PF F 等于( ) A． 3 5 B． 3 4 C． 4 5 D． 5 6 种种种种 ）不同的排法有（ 可以不相邻），那么的右边（必须站在果五人并排站成一排，如 120.90.60.24. ,,,,,.6 DCBA BAABEDCBA 7．已知双曲线 12 2 2 2  b y a x  0,0  ba 的左、右焦点分别为 21, FF ，若双曲线右支上存 在一点 P ,使得 2F 关于直线 1PF 的对称点恰在 y 轴上，则该双曲线的离心率 e 的取值范围为 （ ） A． 3 321  e B． 3 32e C． 3e D． 31  e8．下列有关命题的说法正确的是（ ） A．命题“若 2 1, 1x x 则 ”的否命题为：“若 2 1 1x x ，则 ”； B．“ 1x   ”是“ 2 5 6 0x x   ”的必要不充分条件； C．命题“若 x y ，则sin sinx y ”的逆否命题为真命题； D．若命题 2 2 0 0 0: , 1 0 : , 1 0p x R x x p x R x x          ，则 ． 9.已知方程 2 2 2 2 13 x y m n m n    表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取 值范围是 ( ) A. (–1,3) B. (–1, 3) C. (0,3) D. (0, 3) 10．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600,400，800，为了了解教师的教学 情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取 45 名学生实行座谈，则高一、高 二、高三年级抽取的人数分别为（ ） A．15,5,25 B．15,15,15 C．10,5,30 D．15,10,20 11．已知两点 (4,0), (0,2)P Q ，则以线段 PQ 为直径的圆的方程是（ ） A． 2 2( 2) ( 1) 5x y    B． 2 2( 2) ( 1) 10x y    C． 2 2( 2) ( 1) 5x y    D． 2 2( 2) ( 1) 10x y    12.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B 两点，交 C 的准线于 D、E 两点.已知|AB|= 4 2 ， |DE|= 2 5 ，则 C 的焦点到准线的距离为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 5(2 )x x 的展开式中，x3 的系数是_____________（用数字填写答案） __________64.14 2 的横坐标是，则点到其焦点的距离是上的点抛物线 AAxy  15.已知1, ,9x 成等比数列，则实数 x  ． ____________0)( ),0(0)()(,0)1()(.16 2 2 的解集是则不等式 上的奇函数，是定义在已知函数   xfx xx xfxfxfRxf三.解答题（共 70 分） 17.（本题满分 10 分） 已知数列 na 满足： 3 13a   ， 1 4n na a   ( 1, )n n N  .（1）求 1 2,a a 及通项 na ； （2）设 nS 是数列 na 的前 n 项和 nS ，则数列 1S ， 2S ， 3S ，…中哪一项最小？并求出这个 最小值. 22)()2( ,)1( 2)0,1()(,ln)( 12.18 2   xxf ba PPxfyxbaxxxf 证明： 的值；求 点处的切线斜率为，且在过曲线设函数 分）（本题满分 19．（本题满分 12 分）某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了 100 位职员 的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注 a 的数字模 糊不清. (1) 试根据频率分布直方图求 a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数； (2) 已知该公司有 1000 名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用很多于 8 元？20．（本题满分 12 分） 在直角梯形 PBCD 中， 4,2,2  PDCDBCCD  ，A 为 PD 的中点，如下 左图。将 PAB 沿 AB 折到 SAB 的位置，使 BCSB  ，点 E 在 SD 上，且 SDSE 3 1 ，如下右图。 （1）求证： SA 平面 ABCD； （2）求二面角 E—AC—D 的正切值； （3）在线段 BC 上是否存在点 F，使 SF//平面 EAC？若存在，确定 F 的位置， 若不存在， 请说明理由。 21．（本小题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 2 2 ，过椭圆 右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 和CD，当直线 AB 斜率为 0 时， 3 2AB CD  （1）求椭圆的方程； （2）求由 , , ,A B C D 四点构成的四边形的面积的取值范围． 22．（本题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 2x xf x     ( )R  （1）当 1   时，求函数 ( )f x 的零点； （2）若函数 ( )f x 为偶函数，求实数  的值; （3）若不等式 1 2 ≤ ( )f x ≤ 4 在 [0,1]x 上恒成立，求实数  的取值范围.