第 4 页 共 10 页
BC＝ 2 11
3
．
（1）求二面角 B—AP—C 大小的余弦值；
（2）求点 P 到底面 ABC 的距离．
22．（本小题 14 分）已知椭圆
2 2
1 2 2: 1( 0)x yE a ba b
，是椭圆
2 2
2 2 2: 1( 0, 1)x yE a b mma mb
，
则称椭圆 2E 是椭圆 1E “相似”.
（1）求经过点 ( 2,1) ，且与椭圆
2
2
1 : 12
xE y “相似”的椭圆 2E 的方程；
（2）若 4m ，椭圆 1E 的离心率为 2 ,2 P 在椭圆 2E 上，过 P 的直线l 交椭圆 1E 与 ,A B 两点，且 ABAP
1 若 B 的坐标为 (0,2) ，且 2 ，求直线 l 的方程；
2 ②若直线 ,OP OA的斜率之积为 1
2
，求 的值.
江苏省高邮中学高二年级二月份线上学习测试
数学试卷参考答案
1、 A 2、A 3、B 4、A 5、D 6、A 7、B 8、B 9、 C 10、B第 5 页 共 10 页
11、D 12、B 13、
3
1,2 14、50 15、8
5 16、 2 3( ,0)3 p
17、略
18、解（1）设 1 1 2 2, , ,A x y B x y
联立 2
1
4
y x
y x
，得 2 6 1 0x x
则 1 2 6x x ，
则 1 2 6 2 82 2
p pAB AF BF x x .
（2）设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ， AB 的中点为 M
联立 2 4
y x m
y x
，得 2 4 4 0y y m
则 1 2 4y y ，则 1 2 22M
y yy
则 (2 ,2)M m .
又 PAB 是以 ,PA PB 为腰的等腰三角形
∴ PM AB
∴ 1PM ABk k
∴ 4 1 13 m
∴ 1m .
19、解：（1）在等差数列中，设公差为 0d ，
由题意
2
1 5 2
3 5
a a a
a
，得
2
1 1 1
1
( 4 ) ( )
2 5
a a d a d
a d
，
解得 1 1
2
a
d
．
1 ( 1) 1 2( 1) 2 1na a n d n n ；
（2）由（1）知， 2 1na n ．
则
1
1 1 1 1 1( )( 1)( 1) 2 2( 1) 4 1n
n n
b a a n n n n
，第 6 页 共 10 页
1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( )] (1 )4 2 2 3 1 4 1 4( 1)n
nT n n n n
．
1
1 1 04( 2) 4( 1) 4( 1)( 2)n n
n nT T n n n n
，
{ }nT 单调递增，而 1
4( 1) 4n
nT n
，
要使
5n
mT 成立，则 1
5 4
m
，得 5
4m
，
又 m Z ，则使得
5n
mT 成立的 m 的最小正整数为 2．
20、证明： ( )I PA 底面 ABCD ， AD AB ，
以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
2AD DC AP ， 1AB ，点 E 为棱 PC 的中点．
(1B ，0， 0) ， (2C ，2， 0) ， (0D ，2， 0) ， (0P ，0， 2) ， (1E ，1，1)
(0BE ，1，1) ， (2DC ，0， 0)
0BE DC
，
BE DC ；
（Ⅱ） ( 1BD ，2， 0) ， (1PB ，0， 2) ，
设平面 PBD 的法向量 (m x ， y ， )z ，
由 0
0
m BD
m PB
，得 2 0
2 0
x y
x z
，
令 1y ，则 (2m ，1，1) ，
则直线 BE 与平面 PBD 所成角 满足：
2 3sin 3| | | | 6 2
m BE
m BE
，
故直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 3
3
．第 7 页 共 10 页
（Ⅲ） (1BC ，2， 0) ， ( 2CP ， 2 ， 2) ， (2AC ，2， 0) ，
由 F 点在棱 PC 上，设 ( 2CF CP ， 2 ， 2 )(0 1) ，
故 (1 2BF BC CF ， 2 2 ， 2 )(0 1) ，
由 BF AC ，得 2(1 2 ) 2(2 2 ) 0BF AC
，
解得 3
4
，
即 1( 2BF ， 1
2
， 3)2
，
设平面 FBA 的法向量为 (n a ， b ， )c ，
由 0
0
n AB
n BF
，得
0
1 1 3 02 2 2
a
a b c
令 1c ，则 (0n ， 3 ，1) ，
取平面 ABP 的法向量 (0i ，1， 0) ，
则二面角 F AB P 的平面角 满足：
| | 3 3 10cos | | | | 1010
i n
i n
，
故二面角 F AB P 的余弦值为： 3 10
10
21、解：（1）在 ABP 中作 BD AP ，垂足为 D ，
因为 5PB PC ， 2AB AC ， AP 为公共边，
所以 ABP ≌ ACP ，又 BD AP ，所以CD AP ，
所以 BDC 为二面角 B AP C 的平面角；…..2 分
又 2 2 2PB AB PA ，所以 90PBA ，
故 ABP 的面积 1 1
2 2ABPS AB PB PA BD ，
所以 2 5
3
AB PBBD PA
，同理 2 5
3CD ，
在 BCD 中，
2 2 2 1cos 2 10
BD CD BCBDC BD CD
，…..4 分
所以，二面角 B AP C 大小的余弦值为 1
10
．………..5 分
（2）（法一）取 BC 中点 E ，连结 AE ， PE ，在平面 PAE 中作 PO AE ，垂足为 O ．
因为 AB AC ，所以 AE BC ．同理 PE BC ．
又 AE PE E ， AE 平面 PAE ， PE 平面 PAE ，所以 BC 平面 PAE ．
因为 PO 平面 PAE ，所以 PO BC ．
P
A
B
C
D
E
O第 8 页 共 10 页
又 PO AE ， BC AE E ， BC 平面 ABC ， AE 平面 ABC ，
所以 PO 平面 ABC ，
因此，点 P 到底面 ABC 的距离即为 PO 的长；…………..8 分
在 Rt ABE 中， 2 2 2 21 5( )2 3AE AB BE AB BC ，
在 Rt PBE 中， 2 2 2 21 34( )2 3PE PB BE PB BC ，
在 PAE 中，
2 2 2 4cos 2 5
PA AE PEPAE PA AE
，……..10 分
所以， 2 3sin 1 cos 5PAE PAE ，
在 Rt PAO 中， 9sin 5PO PA PAE ，………..11 分
综上，点 P 到底面 ABC 的距离为 9
5
．……………..12 分
（法二）由（1）知 BD AP ， CD AP ，又 BD BCD 面 ，CD BCD 面 ， BD CD D
所以 AP BCD 面 ，则 1
3P ABC P BCD A BCD BCDV V V PA S ，
在 BCD 中， 2 5
3BD CD ， 1cos 10BDC ，
故 1 sin2BCDS DB DC BDC
2 21 2 5 1 1112 3 10 3
.
则 1 11
3 3P ABC BCDV PA S .
在 ABC 中， 2AB AC ， 2 11
3BC ，则 5 11
9ABCS .
设点 P 到底面 ABC 的距离为 h ，则 1 11
3 3P ABC ABCV hS ，故 9
5h .
22、解：⑴设椭圆 2E 的方程为
2 2
12
x y
m m
，代入点 ( 2,1) 得 2m ，
所以椭圆 2E 的方程为
2 2
14 2
x y
⑵因为椭圆 1E 的离心率为 2
2
，故 2 22a b ，所以椭圆 2 2 2
1 : 2 2E x y b
又椭圆 2E 与椭圆 1E “相似”，且 4m ，所以椭圆 2 2 2
1 : 2 8E x y b ，
设 1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , )A x y B x y P x y ，
①方法一：由题意得 2b ，所以椭圆 2 2
1 : 2 8E x y ，将直线 : 2l y kx ，
代入椭圆 2 2
1 : 2 8E x y 得 2 2(1 2 ) 8 0k x kx ，
解得 1 22
8 , 01 2
kx xk
，故
2
1 22
2 4 , 21 2
ky yk
，第 9 页 共 10 页
所以
2
2 2
8 2 4( , )1 2 1 2
k kA k k
又 2AP AB
uuur uuur
，即 B 为 AP 中点，所以
2
2 2
8 2 12( , )1 2 1 2
k kP k k
，
代入椭圆 2 2
2 : 2 32E x y 得
2
2 2
2 2
8 2 12( ) 2( ) 321 2 1 2
k k
k k
，
即 4 220 4 3 0k k ，即 2 2(10 3)(2 1) 0k k ，所以 30
10k
所以直线 l 的方程为 30 210y x
方法二：由题意得 2b ，所以椭圆 2 2
1 : 2 8E x y ， 2 2
2 : 2 32E x y
设 ( , ), (0,2)A x y B ，则 ( ,4 )P x y ，
代入椭圆得
2 2
2 2
2 8
2(4 ) 32
x y
x y
，解得 1
2y ，故 30
2x
所以 30
10k ，
所以直线 l 的方程为 30 210y x ………8 分
②方法一： 由题意得 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 1 1 2 22 8 , 2 2 , 2 2x y b x y b x y b ，
0 1
0 1
1
2
y y
x x
，即 0 1 0 12 0x x y y ，
AP AB
uuur uuur
，则 0 1 0 1 2 1 2 1( , ) ( , )x x y y x x y y ，解得
0 1
2
0 1
2
( 1)
( 1)
x xx
y yy
所以 2 2 20 1 0 1( 1) ( 1)( ) 2( ) 2x x y y b
则 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 1 1 0 0 1 12( 1) ( 1) 2 4( 1) 2( 1) 2x x x x y y y y b
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 1 0 1 1 1( 2 ) 2( 1)( 2 ) ( 1) ( 2 ) 2x y x x y y x y b
所以 2 2 2 2 28 ( 1) 2 2b b b ，即 2 24 ( 1) ，所以 5
2
方法二：不妨设点 P 在第一象限，设直线 : ( 0)OP y kx k ，代入椭圆 2 2 2
2 : 2 8E x y b ，
解得 0 2
2 2
1 2
bx
k
，则 0 2
2 2
1 2
bky
k
，
直线 ,OP OA的斜率之积为 1
2
，则直线 1: 2OA y xk
，代入椭圆 2 2 2
1 : 2 2E x y b ，
解得 1 2
2
1 2
bkx
k
，则 1 21 2
by
k
AP AB
uuur uuur
，则 0 1 0 1 2 1 2 1( , ) ( , )x x y y x x y y ，解得
0 1
2
0 1
2
( 1)
( 1)
x xx
y yy
，第 10 页 共 10 页
所以 2 2 20 1 0 1( 1) ( 1)( ) 2( ) 2x x y y b
则 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 1 1 0 0 1 12( 1) ( 1) 2 4( 1) 2( 1) 2x x x x y y y y b
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 1 0 1 1 1( 2 ) 2( 1)( 2 ) ( 1) ( 2 ) 2x y x x y y x y b
所以 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 28 2( 1)( ( ) 2 ) ( 1) 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
b bk bk bb b b
k k k k
，
即 2 2 2 2 28 ( 1) 2 2b b b ，即 2 24 ( 1) ，所以 5.2
微信/支付宝扫码支付