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1 江苏省南通中学线上课程居家测试 高二数学参考答案 一、单项选择题: （每题 5 分，共 60 分） 1．向量 a＝(1，－2)所对应的复数是 ( ) A. z＝1＋2i B. z＝1－2i C. z＝－1＋2i D. z＝－2＋i 【解答】 B 2．已知 A2n＝132，则 n 的值为( ) A. 11 B. 12 C. 13 D. 以上都不对 【解答】B 3．函数 y＝sinx·cosx 的导数是( ) A. y′＝cos2x＋sin2x B. y′＝cos2x－sin2 x C. y′＝2cosx·sinx D. y′＝cosx·sinx 【解答】 B 4．若正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3，则 ab 的最小值是( ) A.6 B.9 C.3 D. 12 【解答】B 5．已知复数 z 满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数 z 对应点的轨迹是( ) A. 1 个圆 B. 线段 C. 2 个点 D. 2 个圆 【解答】A 6．曲线 xey  在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A. 4e2 B. 2e2 C. e2 D. 1 2e2 【解答】D 7．设 S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1，则 S 等于下式中的( ) A. (x－2)4 B. (x－1)4 C. x4 D. (x＋1)4 【解答】C 8．楼道里有 12 盏灯，为了节约用电，需关掉 3 盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A. 56 种 B. 84 种 C. 120 种 D. 720 种 【解答】C 9.函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)( ) A. 无极大值点，有四个极小值点 B. 有三个极大值点，两个极小值点 C. 有两个极大值点，两个极小值点 D. 有四个极大值点，无极小值点 【解答】C 10．(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则 a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7 的值为( ) A. 32 B. －32 C. －33 D. －31 【解答】D2 11．设F1，F2分别是椭圆E： 19 2 9 22  yx 的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点， 11 3 BFAF  ， 若 5 3cos 2  BAF ，则 1AF 的长度为( ) A．1 B．3 C．6 D．9 【解答】B 12．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美 育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开 展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在 前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( ) A．120 种 B．156 种 C．188 种 D．240 种 【解答】A 二、填空题:（每题 5 分，其中第 16 题，第一空 2 分，第二空 3 分.） 13．若“x＜a”是“x2＞1”的充分不必要条件，则 a 的取值范围为________． 【解答】 ]1,(  14．设复数 z＝1＋2i，则z2＋3 z－1 ＝________. 【解答】2 15．若函数    2 2 xf x x ax e   在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是________． 【解答】 2 2 , . 16．已知圆 C： 48)3( 22  yx 和点 )0,3(B ，P 是圆上一点，线段 BP 的垂直平分线交 CP 于 M 点， 则 M 点的轨迹方程为______；若直线 l 与 M 点的轨迹相交，且相交弦的中点为  P 2,1 ，则直线 l 的方 程是______． 【解答】 2 2 112 3 x y  2 4 0x y   三、解答题: 17．(本小题 10 分) 设复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当 m 为何值时，(1)z 是实数；(2)z 是纯虚数. 解 (1)要使复数 z 为实数，需满足 m2－2m－2>0， m2＋3m＋2＝0，3 解得 m＝－2 或－1. 即当 m＝－2 或－1 时，z 是实数. (2)要使复数 z 为纯虚数， 需满足 m2－2m－2＝1， m2＋3m＋2≠0， 解得 m＝3.即当 m＝3 时，z 是纯虚数. 18．(本小题 12 分) 已知 na 是公比为 q 的无穷等比数列，其前 n 项的和为 nS ，满足 123 a ， .是否存在正 整数 k ，使得 2020kS ？若存在，求 k 的最小值；若不存在，说明理由. 从① 2q ，② 2 1q ，③ 2q 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解 当 2q 时，存在， 10min k . 当 2 1q 时，不存在. 当 2q 时，存在， 11min k . 理由分别如下： 当 2q 时， 31 a ， 123  n na ， 32321 233   n n nS 由 2020323  k 得 3 16742 k ， 51229  ， 1024210  ，  Nk ， 10min k 当 2 1q 时， 481 a ， 1)2 1(48  n na ， n n nS )2 1(9696 2 11 )2 1(4848     由 2020)2 1(9696  k 得 k)2 1(24 481  ，不等式无解，此时不存在. 当 2q 时， 31 a ， 1)2(3  n na ， n n nS )2(1)2(1 2(33   ） 由 2020)2(1  k 得 2019)2(  k ， 512)2( 9  ， 1024)2( 10  ， 2048)2( 11  ，  Nk ， 11min k4 19．(本小题 12 分) 已知 n xx )2( 2 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为 36． (1)求 n 的值； (2)求展开式中含 2 3 x 的项及展开式中二项式系数最大的项． 解 （1）由题意知 1 2 36n nC C   , 2 72 0n n  得： , 得 8n  或 9n   （舍去）. (2) 8 2 2x x     的通项公式为： 8 5 8 2 1 8 82 2( ) ( ) ( 1) 2 k k k k k k k kT C x C xx        ，令 8﹣5k=3，求得 k=1， 故展开式中含 3 2x 的项为 3 3 1 2 2 2 82 16T C x x    ． 又由 8n 知第 5 项的二项式系数最大，此时 6 5 1120  xT . 20．(本小题 12 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点 E 为棱 PC 的中点. (1)求异面直线 BE 和 DC 所成角的大小； (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值. 解(1) 依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系如图，可得 B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2). 由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1,1,1). BE→＝(0,1,1)，DC→ ＝(2,0,0)，故BE→·DC→ ＝0，所以 BE⊥DC. 所以异面直线 BE 和 DC 所成的角为 2 π (2) BD→ ＝(－1,2,0)，PB→＝(1,0，－2). 设 n＝(x，y，z)为平面 PBD 的一个法向量， 则 n·BD→ ＝0， n·PB→＝0， 即 －x＋2y＝0， x－2z＝0. 不妨令 y＝1， 可得 n＝(2,1,1),于是有 cos〈n，BE→〉＝ n·BE→ |n||BE→| ＝ 2 6× 2 ＝ 3 3 ， 所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 3 3 .5 21．(本小题 12 分) 南通派出“最美逆行者”一行 A、B、C、D、E、F，6 名医务人员组成一支医疗队，奔赴武汉江夏区中 医院参与疫情防控、治疗工作，安排到呼吸、重症、感染、检验四个科室中去。求： （1）若每人都安排去一个科室，有多少种安排方法？ （2）若每人都安排去一个科室，每个科室至少有一人参加，有多少种安排方法？ （3）若每个科室只安排一人参加，A 不能去呼吸科，B 不能去检验科，则有多少种安排方法？ （4）若每人都安排去一个科室，每个科室至少有一人参加，A、B 不能去检验科，但能从事其他三项工 作，其他四人都能胜任四个科室工作，则有多少种安排方法？ 注：以上四问要有必要的解题过程，最后结果全部用数字作答. 解：（1） 409646  （2）1560 （3） 252 （4）840 22．(本小题 12 分) 已知函数   2 ln h x ax x   . （1）当 1a  时，求  h x 在   2, 2h 处的切线方程； （2）令    2 2 af x x h x  ，已知函数  f x 有两个极值点 1 2,x x ，且 1 2 1 2x x  ，求实数 a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若存在 0 21 ,22x       ，使不等式        2 0 ln 1 1 1 2ln 2f x a m a a       对任意 a （取值范围内的值）恒成立，求实数 m 的取值范围. 解：  1 当 1a  时，     12 ln , ' 2h x x x h x x       2x  时，    3' 2 , 2 4 ln 22h h      h x 在   2, 2h 处的切线方程为  34 ln 2 22y x     化简得：3 2 2ln 2 2 0x y     2 对函数求导可得，     2 2 1' 0ax axf x xx    令  ' 0f x  ，可得 2 2 1 0ax ax   2 0 4 4 0 1 1 2 a a a a           ，解得 a 的取值范围为  1,2  3 由 2 2 1 0ax ax   ，解得 2 2 1 21 , 1a a a ax xa a     6 而  f x 在 10, x 上递增，在 1 2,x x 上递减，在 2 ,x  上递增 1 2a  2 2 21 1 2 a ax a       f x 在 21 ,22      单调递增 在 21 ,22      上，    max 2 2 ln 2f x f a    0 21 ,22x        ，使不等式        2 0 ln 1 1 1 2ln 2f x a m a a       对 a M  恒成立 等价于不等式 2( 2 ln 2 ln 1 1 1 2) ) ( ) n( l 2a a m a a         恒成立 即不等式 2( )ln 1 ln 2 1 0a ma a m       对任意的  1 2a a  恒成立 令     2ln 1 ln 2 1g a a ma a m       ，则     12 1 21 0, ' 1 ma a mg g a a         ①当 0m  时，    ' 0,g a g a 在 1,2 上递减    1 0g a g  不合题意 ②当 0m  时，   12 1 2' 1 ma a mg a a        1 2a  若 11 12m       ，即 1 04 m   时，则  g a 在 1,2 上先递减  1 0g Q 1 2a   时，   0g a  不能恒成立 若 11 1,2m       即 1 4m   ，则  g a 在 1,2 上单调递增    1 0g a g   恒成立 m 的取值范围为 1, 4     