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1 四川省双流中学 2019-2020 学年高二 3 月月考数学（文）试题 一、选择题：（每小题 5 分，总分 60 分，每小题仅有一个正确答案） 1．复数 1﹣2i（i 是虚数单位）的虚部是（　　） A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2 2．下列结论不正确的是（　　） A．若 f（x）＝0，则 f′（x）＝0 B．若 f（x）＝cosx，则 f′（x）＝sinx C．若푓(푥) = 1 푥，则푓(푥) = ― 1 푥2 D．若 f（x）＝lnx，则 f′（x） = 1 푥 3．已知互相垂直的平面 α，β 交于直线 l，若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则（　　） A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 4．已知复数 z 满足（1﹣i）z＝|2i|，i 为虚数单位，则 z 等于（　　） A．1﹣i B．1+i C．1 2 ― 1 2푖 D．1 2 + 1 2푖 5．如图所示，正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AA1＝2AB，E 为 AA1 的中点，则异面直线 BE 与 CD1 所成角 的余弦值为（　　） A． 10 10 B．1 5 C．3 10 10 D．3 5 6．下列说法错误的是（　　） A．命题“若 x2﹣4x+3＝0，则 x＝3”的逆否命题是“若 x≠3，则 x2﹣4x+3≠0”2 B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件 C．命题 p：“∃x∈R，使得 x2+x+1＜0”，则綈 p：“∀x∈R，x2+x+1≥0” D．若 p∧q 为假命题，则 p、q 均为假命题 7．若 f（x）＝2xf′（1）+x2，则 f′（0）等于（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 8．班主任要从甲、乙、丙、丁、戊 5 个人中随机抽取 3 个人参加活动，则甲、乙同时被抽到的概率为（　　） A． 1 10 B．1 5 C． 3 10 D．2 5 9．已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面垂直，体积为9 4，底面是边长为 3的正三角形．若 P 为底面 A1B1C1 的中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（　　） A．120° B．60° C．45° D．30° 10．已知 a∈R，设函数 f（x）＝ax﹣lnx 的图象在点（1，f（1））处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为（　　） A．1﹣a B．1 C．a﹣1 D．﹣1 11．如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，不能证明 AP⊥BC 的条件是（　　） A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB3 C．平面 BPC⊥平面 APC，BC⊥PC D．AP⊥平面 PBC 12．已知双曲线퐶：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 x﹣2y＝0，A，B 分别是 C 的左、右顶点，M 是 C 上异于 A，B 的动点，直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，若 1≤k1≤2，则 k2 的取值范围为（　　） A．[1 8，1 4] B．[1 4，1 2] C．[ ― 1 4， ― 1 8] D．[ ― 1 2， ― 1 4] 二、填空题（每小题 5 分，总分 20） 13．已知复数 Z＝a+i（a∈R），若 Z + 푍 = 4，则 Z 的共轭复数是　 　 14．已知曲线 y = 푥2 4 ― 3lnx 的一条切线的斜率为 ― 1 2，则切点的横坐标为　 　． 15．已知过点（0，1）的直线与抛物线 x 2＝4y 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若푦1 + 푦2 = 9 4，则|AB| ＝　 　． 16．已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1 交于 M，N 两点．若 → 푂푀• → 푂푁 = 12，其中 O 为坐标原点，则|MN|＝　 　． 三、解答题（总分 70 分，要求书写完整的推演步骤） 17．（1）计算：푖100 ―(1 ― 푖 1 + 푖)6（i 为虚数单位） （2）已知函数 f（x）＝3x2+xcosx+lgx，计算：f（x）的导函数 f′（x）． 18．已知函数 f（x）＝x3﹣3x 及 y＝f（x）上一点 P（1，﹣2），过点 P 作直线 l． （1）求使直线 l 和 y＝f（x）相切且以 P 为切点的直线方程； （2）求使直线 l 和 y＝f（x）相切且切点异于 P 的直线方程． 19．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的 2000 名学生中随机抽取 50 名学生的 考试成绩，被测学生成绩全部介于 65 分到 145 分之间（满分 150 分），将统计结果按如下方式分成八组： 第一组[65，75），第二组[75，85），……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方 图的一部分． （1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；4 （2）用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值 代表该组数据平均值）； （3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 2 名，求他们的分差的绝对值小于 10 分 的概率． 20．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且向量 → 푛 = (2푎 ― 푐，푐표푠퐶)与向量 → 푚 = (푏，푐표푠퐵) 共线． （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 → 퐵퐷 = 2 → 퐷퐶，且 CD＝1，AD = 7，求三角形 ABC 的面积． 21．如图，四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面为菱形，AC∩BD＝O． （1）证明：B1C∥平面 A1BD； （2）设 AB＝AA1＝2，∠퐵퐴퐷 = 휋 3，若 A1O⊥平面 ABCD，求三棱锥 B1﹣A1BD 的体积． 22．已知椭圆 C：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎＞푏＞0)过点(1， 7 2 )，且离心率푒 = 3 2 ． （1）求椭圆 C 的方程；5 （2）已知斜率为1 2的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同点 A，B，点 P 的坐标为（2，1），设直线 PA 与 PB 的 倾斜角分别为 α，β，证明：α+β＝π．