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高二年级数学试题（8 周） 第一卷 共 60 分 一、选择题（每题有且仅有一个正确答案，请将正确答案填涂在答题卷相应位置，每小题 5 分，共 60 分） 1.函数 ( ) sin 1f x x  导数是 （A） cos x （B） cos 1x  （C） cos 1x  （D） cos x 答案：A 2．已知命题 0:p x R  ，使得 02 1x  ，则 p 是（ ） A. 0x R  ， 02 1x  B. 0x R  ， 02 1x  C. 0x R  ， 02 1x  D. 0x R  ， 02 1x  答案：D 3.复平面内表示复数 (1 2 )i i 的点位于( ) .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 4.为了调查胃病是否与生活规律有关，某同学在当地随机调查了 500 名 30 岁以上的人，并 根据调查结果计算出了随机变量 2K 的观测值 6.080k  ，则认为 30 岁以上的人患胃病与生 活无规律有关时，出错的概率不会超过 （A）0.001 （B）0.005 （C）0.010 （D）0.025 附表： 试题分析：选 D 5．若 3 2( ) 3 1f x x ax x    在定义域 R 内为单调递增函数，则实数 a 的取值范围为（ ） A.[ 1,1] B.[ 3,3] C.[ 3, 3] D.[ 2, 2] 试题分析： 3 2 2( ) 3 1 '( ) 3 2 3f x x ax x f x x ax        ， ( )f x 在 R 上单增，则 '( ) 0f x  在 R 上恒成立，则 0 [ 3,3]a     ，选 B 2 0( )P K k 0.40 0.25 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 0.708 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8286. 已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 3x  ， 3.5y  ，则由该观测的 数据算得的线性回归方程可能是( ) . 0.4 2.3A y x  . 2 2.4B y x  . 2 9.5C y x   . 0.3 4.4C y x   7.如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参 加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 试题分析：由题意，小明从街道的 E 处出发到 F 处最短路径的条数为 6，再从 F 处到 G 处 最短路径的条数为 3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 6 3 18  ，故选 B. 8.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A）20  （B）24  （C）28  （D）32  试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为 1 2π 2 4 16πS     ，圆锥的侧面积为 2 π 2 4 8πS     ，圆柱的底面面积为 2 3 π 2 4πS    ，故该几何体的表面积为 1 2 3 28πS S S S    ，故选 C.9.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到 该路口遇到红灯 ，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 （A） 7 10 （B） 5 8 （C） 3 8 （D） 3 10 试题分析：因为红灯持续时间为 40 秒,所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的 概率为 40 15 5 40 8   ，故选 B. 10.下列结论中，正确的是 （A）导数为零的点一定是极值点 （B）如果在 0x 附近的左侧 0)(' xf ，右侧 0)(' xf ，那么 )( 0xf 是极大值 （C）如果在 0x 附近的左侧 0)(' xf ，右侧 0)(' xf ，那么 )( 0xf 是极大值 （D）如果在 0x 附近的左侧 0)(' xf ，右侧 0)(' xf ，那么 )( 0xf 是极小值 试题分析：选 B 11. 已 知 函 数 ( )f x 在 R 上 可 导 ， 其 导 函 数 为 '( )f x ， 且 函 数 ( ) (1 ) '( )F x x f x  的图像如右图所示，零点分别为 1 ，1， 2 ，则 ( 1), (1), (2)f f f 的大小关系正确的是（ ） A. ( 1) (1) (2)f f f   B. ( 1) (1) (2)f f f   C. ( 1) (1) (2)f f f   D. ( 1) (2) (1)f f f   解析：讨论知 1x   时， '( ) 0f x  ， ( )f x 递减， 1 1x   时， '( ) 0f x  ， ( )f x 递增， 1 2x  时， '( ) 0f x  ， ( )f x 递增， 2x  时， '( ) 0f x  ， ( )f x 递减，所以 ( 1) (1) (2)f f f   ，选 B 12. 已知函数 2 4 , [2, ),( ) 2 , ( ,2), x xf x x x         若关于 x 的方程 0)(  kkxxf 有且只 有一个实根，则实数 k 的取值范围是 A. 0k  或 1k  B. 1 0 1k k k   或 或 C. 103 32  kkk 或或 D . 2 3 2 303 3k k k   或 或 解析：数形结合法，双曲线的右上半支和一条射线，注意双曲线的渐进线。选 C 二、填空题（请将正确答案填在答题卷相应位置，每小题 5 分，共 20 分） 13.在两个变量 y 与 x 的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，且它们的 2R 的值的大小 （第 11 题图） 21-1 x y关系为： 2 2 2 2R R R R  模型3 模型4 模型1 模型2 ，则拟合效果最好的是 答案：模型 2 14.设复数 a+bi（a，bR）的模为 3 ，则（a+bi）（a-bi）=________. 【答案】3 15.若 x，y 满足约束条件 1 0, 3 0, 3 0, x y x y x           则 z=x−2y 的最小值为__________. 【答案】 5 16.已知 3x 是函数 22 3)( 23  xaxxf 的一个极值点, 不等式 ]4,2[),(  xxfb 时 恒成立，则b 的取值范围为 解 22 3)( 23  xaxxf xaxxf 33)(' 2  又 3x 是函数 )(xfy  的一个极值点 0)3('  f 3 1a 此时 )3(3)(' 2  xxxxxf 由 0)(' xf 得 30  xx 或 ， 0)(' xf 得 30  x 故 )(xf 的单增区间为 )3(),0,(  ，单减区间为 )3,0( 知： ]3,2[)( 在xf 上为减函数，在 ]4,3[ 上为增函数 ]4,2[ x当 时， 2 5)3()( min  fxf ]4,2[),(  xxfb 恒成立 即 min)(xfb  故 2 5b [来源:学*科*网 Z*X*X*K]三、解答题：本大题共 6 小题，第 17 题 10 分 ，第 18 题～第 21 题，每小题 12 分，，共 70 分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤． 17（本小题满分 10 分） 在某地区 2008 年至 2014 年中，每年的居民人均纯收入 y（单位：千元）的数据如下表： 对变量 t 与 y 进行相关性检验，得知 t 与 y 之间具有线性相关关系． （Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （Ⅱ）预测该地区 2016 年的居民人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 解：（Ⅰ）由已知表格的数据，得 1 2 3 4 5 6 7 47t        ， 2.7 3.6 3.3 4.6 5.4 5.7 6.2 4.57y        ， 7 1 ( )( ) ( 3) ( 1.8) ( 2) ( 0.9) ( 1) ( 1.2)i i i t t y y                0 0.1 1 0.9 2 1.2 3 1.7        16.8 ， 7 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( 3) ( 2) ( 1) 0 1 2 3 28i i t t              ， ∴ 16.8ˆ 0.628b   ． ∴ ˆ 4.5 0.6 4 2.1a     ．∴y 关于 t 的线性回归方程是 ˆ 0.6 2.1y x  ． （Ⅱ）由（Ⅰ），知 y 关于 t 的线性回归方程是 ˆ 0.6 2.1y x  ． 将 2016 年的年份代号 9t  代入前面的回归方程，得 ˆ 0.6 9 2.1 7.5y     ． 故预测该地区 2016 年的居民人均收入为 7.5 千元． 18 (本小题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本 年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0[来源:学|科|网] 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a[来源:Zxxk.Com] 1.25a 1.5a 1.75a 2a 年 份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.7 3.6 3.3 4.6 5.4 5.7 6.2随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (Ⅰ)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求 P(A)的估计值； (Ⅱ)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160％”. 求 P(B)的估计值； (Ⅲ)求续保人本年度的平均保费估计值. 试题解析：(Ⅰ)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内险 次数小于 2 的频率为 60 50 0.55200   ，故 P(A)的估计值为 0.55. （Ⅱ）事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出 险次数大于 1 且小于 4 的频率为 30 30 0.3200   ，故 P(B)的估计值为 0.3. (Ⅲ)由所给数据得 保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频 率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的 200 名续保人的平均保费为 0.85 0.30 0.25 1.25 0.15 1.5 0.15 1.75 0.10 2 0.05 1.192 5a a a a a a a            ， 因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a. 19．（本小题满分 12 分） 已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 4AB  ， 3AC BC  ， D 为 AB 的中点。 （Ⅰ）求点 C 到平面 1 1A ABB 的距离;（Ⅱ）若 1 1AB AC ，求二面角 1 1A CD C  的平面角的余弦值。 【解析】：（Ⅰ）因 3AC BC  ，D 为 AB 的中点，得CD AB 。又 1CD AA 故CD  面 1 1A ABB 所以C 到平面 1 1A ABB 的 距离为 2 2CD= 5BC BD （Ⅱ）：如答（19）图 1，取 1D 为 1 1A B 的中点，连接 1DD ，则 1 1 1// //DD AA CC 又由（Ⅰ） 知 CD  面 1 1A ABB 故 1CD A D ， 1CD DD 故 1 1A DD 为所求的二面角 1 1A CD C  的平面角。 因 1A D 是 1AC 在面 1 1A ABB 上的射影，又已知 1 1C,AB A 由三垂线定理的逆定理得 1 1D,AB A 从而 1 1A AB ， 1A DA 都与 1B AB 互余，因此 1 1 1A AB A DA   ，所以 1Rt A AD ≌ 1 1Rt B A A，因此 1 1 1 1 AA A B AD AA  ， 2 1 1 1 8AA AD A B   得 1 2 2AA  从而 2 2 1 1= 2 3,A D AA AD  所以在 1 1Rt A DD 中， 1 1 1 1 1 1 6cos 3 DD AAA DD A D A D    (20) (本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) ( 1)ln ( 1)f x x x a x    . (Ⅰ)当 4a  时，求曲线 ( )y f x 在 1, (1)f 处的切线方程； 恒成立，求 a 的取值范围 试题解析：（I） ( )f x 的定义域为 (0, ) .当 4a 时， 单调递增，因此 ( ) 0g x ； （ii）当 2a 时，令 ( ) 0 g x 得2 2 1 21 ( 1) 1, 1 ( 1) 1         x a a x a a . 由 2 1x 和 1 2 1x x 得 1 1x ，故当 2(1, )x x 时， ( ) 0 g x ， ( )g x 在 2(1, )x 单调递减， 因此 ( ) 0g x . 综上， a 的取值范围是 ,2 . 21（本小题满分 12 分，） 已知椭圆的中心为原点O ，长轴在 x 轴上，上顶点为 A ，左、右焦点分别为 1 2,F F ，线 段 1 2,OF OF 的中点分别为 1 2,B B ，且△ 1 2AB B 是面积为 4 的直角三角形。（Ⅰ）求该椭 圆的离心率和标准方程； （Ⅱ）过 1B 作直线l 交椭圆于 ,P Q ， 2 2PB QB ， 求直线l 的方程 【解析】：：（Ⅰ）如答（20）图，设所求椭圆的标 准方程为 2 2 a x + 2 2 b y =1（ 0 ba ）， 右焦点为 2 ( ,0)F C 因 1 2AB B 是直角三角形且 1 2| | | |AB AB ，故 1 2B AB 为直角，从而 2| | | |OA OB ，即 2 cb  ，结合 2 2 2c a b  得 2 2 24b a b  。故 2 25a b ， 2 24c b 离心率 2 5 5 ce a   ，在 1 2Rt AB B 中， 1 2 |OA B B 故 1 2 1 2 1 | | | |2S AB B B B OA   2| | | |OB OA  2 2 c b b   由题设条件 1 2 4S AB B  得 2 4b  ，从而 2 25 20a b  因此 所求 椭圆的的标准方程为： 2 20 x + 2 4 y =1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 2( 2,0), (2,0)B B ，由题意，直线 PQ 的倾斜角不为 0，故可设直线 PQ22（本小题满分 12 分） 已知函数 25( ) ln( 1) 22f x x x   . （Ⅰ）求此函数 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）设 2 5( ) ln ( ) 22 1 xg x f x xx    ．是否存在直线 y kx （ Rk∈ ）与函数 ( )g x 的 图象相切？若存在，请求出 k 的值，若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵ 25( ) ln( 1) 22f x x x   ， ∴ 2 5( ) 21 xf x x    2 2 2 5 2 1 x x x     2 (2 1)( 2) 1 x x x     ．令 ( ) 0f x  ，得 2 (2 1)( 2) 01 x x x    ， 解之，得 1 22 x  ；令 ( ) 0f x  ，得 2 (2 1)( 2) 01 x x x    ，解之，得 1 2x  ，或 2x  ． ∴函数 ( )f x 的单调递增区间是 1[ , 2]2 ，单调递减区间是 1( , )2  和 (2, )  ． （Ⅱ）∵ 25( ) ln( 1) 22f x x x   ， 2 5( ) ln ( ) 22 1 xg x f x xx    ， ∴ 2 2 5 5 5( ) ln ln( 1) 2 2 ln2 1 2 2 xg x x x x xx       ． ∴ 5( ) 2g x x   ． 假设存直线 y kx 与函数 ( )g x 的图象相切于点 0 0( , ( ))x f x （ 0 0x  ），[来源:Zxxk.Com]则这条直线可以写成 0 0 0( ) ( )( )y g x g x x x   ． ∵ 0 0 5( ) ln2g x x ， 0 0 5( ) 2g x x   ， ∴ 0 0 0 5 5ln ( )2 2y x x xx    ．即 0 0 5 5 5ln2 2 2y x xx    ． ∴ 0 0 5 ,2 5 5ln 0.2 2 k x x      解之，得 0 5 ,2 . k e x e     所以存在直线 y kx 与函数 ( )g x 的图象相切， k 的值是 5 2e ．